06空间向量及其运算讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间向量的线性运算、基本定理及数量积运算等高考核心考点，按概念-定理-坐标表示的逻辑层次梳理知识，通过回归教材例题、考点分类解析、方法小结及跟踪练习，帮助学生构建空间向量运算体系，突破共线共面判断、夹角与模计算等难点。 资料以回归教材为基础，将教材习题与高考考点深度融合，如通过共面向量定理证明四点共面的教材原题变式训练，培养学生用数学语言表达空间关系的能力和逻辑推理的数学思维。分层设计跟踪练习，配合考点小结，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间向量应用及应考能力。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——06 空间向量及其运算 知识梳理 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反但模相等的向量 共线向量（或平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 概念 语言描述 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使a＝λb 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z， 且x＋y＋z＝1 3.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b(b≠0)⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.1.1节例1】 如图，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面． 【人教A版选择性必修一第1.1.1节练习第2题】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【人教A版选择性必修一第1.1.1节练习第5题】 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） ；（2）；（3） 【人教A版选择性必修一第1.1.2节练习第2题】如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【人教A版选择性必修一习题1.1第6题】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【人教A版选择性必修一第1.2节例1】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示． 【人教A版选择性必修一习题1.2第3题】在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量． 【人教A版选择性必修一习题1.2第4题】如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，. 【人教A版选择性必修一第1.3.1节例1】如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，C，，四点坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 【人教A版选择性必修一第1.3.1节练习第1题】已知，，求： （1）； （2）； （3）； （4）， 【人教A版选择性必修一第1.3.1节练习第2题】已知，，且，求x的值． 【人教A版选择性必修一习题1.3第2题】是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 【人教A版选择性必修一习题1.3第3题】如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【人教A版选择性必修一习题1.3第9题】是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 考点梳理： 考点一、空间向量的线性运算 例. 如图所示，在长方体中，下列各式运算结果为向量的是( ) 例、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． （1）化简－－； （2）用，，表示． 小结：空间向量的线性运算的三个关键点 1.结合图形，明确图形中各线段的几何关系； 2.正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义； 3.平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立. 考点二、空间向量的基本定理及应用 例、在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　) A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0 例、已知,,,,,,,,为空间的9个点（如图所示），并且，，，，.求证： （1） ,,,四点共面，,,,四点共面；（2） . 小结： 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ(λ∈R)且同过点P ＝x＋y(x∈R，y∈R) 对空间任一点O，＝＋t(t∈R) 对空间任一点O，＝＋x＋y(x∈R，y∈R) 对空间任一点O，＝x＋(1－x)(x∈R) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)(x∈R，y∈R) （或） （或或） 考点三、空间向量的数量积运算 例、已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 例、如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， . （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. 小结：空间向量数量积的应用 求夹角 设向量,的夹角为，则，进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 利用公式，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用,，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 跟踪练习： 1.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝(　　) A．－2 B．5 C．1 D．－3 2．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 3．已知，，，若共面，则实数等于（    ） A． B． C． D． 4．设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 5、已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． 6．(多选)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b B．b∥c C．〈a，c〉为钝角 D．向量c在向量a上的投影向量为(4，0，4) 7．（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 8．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 9、（多选）已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)， D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 11．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 13. 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·＝________，cos〈，〉＝________． 14. 如图所示，在平行六面体中，为的中点.设,,. （1）用,,表示； （2）设是棱上的点，且，用,,表示. 15. 如图，在四面体A－BCD中，＝λ，＝λ，＝(1－λ)，＝(1－λ)，λ∈(0，1)． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若λ＝，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用，，，表示. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——06 空间向量及其运算 知识梳理 1、空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反但模相等的向量 共线向量（或平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 概念 语言描述 共线向量定理 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使a＝λb 共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P 都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z， 且x＋y＋z＝1 3.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉． 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘向量 λa＝(λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b(b≠0)⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 回归教材： 【人教A版选择性必修一第1.1.1节例1】 如图，已知平行四边形，过平面外一点O作射线，，，，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使．求证：E，F，G，H四点共面． 分析：欲证E，F，G，H四点共面，只需证明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由，，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为．所以，，，． 因为四边形是平行四边形，所以． 因此 ，由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点E，从而E，F，G，H四点共面． 【人教A版选择性必修一第1.1.1节练习第2题】如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点、化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据空间向量加减运算的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 【人教A版选择性必修一第1.1.1节练习第5题】 如图，已知正方体，E，F分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中x，y的值： （1） ；（2）；（3） 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）化简即得解；（2）化简即得解； （3）化简即得解. 【详解】（1），所以； （2）， 所以； （3） ,所以. 【人教A版选择性必修一第1.1.2节练习第2题】如图，正方体的棱长为1，设，，，求： （1）；（2）；（3）． 【答案】（1）0；（2）1；（3）1 【分析】在正方体中，根据线线关系，结合空间向量运算法则对每个小题进行运算即可. 【详解】（1）在正方体中，，，故 （2）由（1）知， （3）由（1）及知， 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据代入计算化简即可. 【详解】故选：B. 【人教A版选择性必修一习题1.1第6题】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件利用空间向量的线性运算，结合空间向量共面定理即可得解.. 【详解】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ，于是得：，即共面，它们有公共点E， 所以E，F，G，H四点共面. 【人教A版选择性必修一第1.2节例1】如图，M是四面体的棱的中点，点N在线段上，点P在线段上，且，，用向量，，表示． 分析：，，是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底{，，}，可以用基底{，，}表示出来． 解： ． 【人教A版选择性必修一习题1.2第3题】在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理结合图象即可得出答案. 【详解】如下图所示： ， 所以，. 【人教A版选择性必修一习题1.2第4题】如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，. 【答案】，. 【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得； 【详解】连接 所以 【人教A版选择性必修一第1.3.1节例1】如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，C，，四点坐标； （2）写出向量，，，的坐标． 解：（1）点在z轴上，且，所以． 所以点的坐标是．同理，点C的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是．点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）；； ；． 【人教A版选择性必修一第1.3.1节练习第1题】已知，，求： （1）； （2）； （3）； （4）， 【答案】（1），（2），（3），（4）. 【分析】根据空间向量的坐标运算算出答案即可. 【详解】因为， （1）所以， （2） （3） （4） 【人教A版选择性必修一第1.3.1节练习第2题】已知，，且，求x的值． 【答案】 【分析】解方程即得解. 【详解】因为，所以，所以，所以. 【人教A版选择性必修一习题1.3第2题】是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标； （1）与点M关于轴对称的点； （2）与点M关于y轴对称的点； （3）与点M关于z轴对称的点； （4）与点M关于原点对称的点． 【答案】（1），（2），（3），（4）. 【分析】（1）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可； （2）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可； （3）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可； （4）根据空间直角坐标系的知识直接写出答案即可； 【详解】若是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则 （1）与点M关于轴对称的点为 （2）与点M关于y轴对称的点为 （3）与点M关于z轴对称的点为 （4）与点M关于原点对称的点为 【人教A版选择性必修一习题1.3第3题】如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标． 【答案】，，，，，. 【分析】根据图形写出各点的坐标即可. 【详解】因为正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，所以，，，，，. 【人教A版选择性必修一习题1.3第9题】是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量． 【答案】 【分析】设，然后整理解方程组即可. 【详解】设，即有， 因为是空间的一个单位正交基底，所以有， 所以. 考点梳理： 考点一、空间向量的线性运算 例. 如图所示，在长方体中，下列各式运算结果为向量的是( ) 【答案】BC [解析] ，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误.故选. 例、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． （1）化简－－； （2）用，，表示． 答案：（1）；（2）＋＋； 解析：（1）－－＝－(＋)＝－＝＋＝. （2）因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋. 小结：空间向量的线性运算的三个关键点 1.结合图形，明确图形中各线段的几何关系； 2.正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义； 3.平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍然成立. 考点二、空间向量的基本定理及应用 例、在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　) A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0 答案：A 解析：∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴＝(0，1，－1)，＝(－2，2，2)，＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴解得2x＋y＋z＝1.故选A. 例、已知,,,,,,,,为空间的9个点（如图所示），并且，，，，.求证： （1） ,,,四点共面，,,,四点共面；（2） . [解析]（1）证明：因为，所以，，为共面向量， 因为，，有公共点，所以，，，四点共面， 因为，所以，，为共面向量， 因为，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）证明：因为，，， ， 所以，因为，无公共点，所以. 小结： 证明三点共线和空间四点共面的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ(λ∈R)且同过点P ＝x＋y(x∈R，y∈R) 对空间任一点O，＝＋t(t∈R) 对空间任一点O，＝＋x＋y(x∈R，y∈R) 对空间任一点O，＝x＋(1－x)(x∈R) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)(x∈R，y∈R) （或） （或或） 考点三、空间向量的数量积运算 例、已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 解：(1)∵c∥，∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)． ∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝，|b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴a与b夹角的余弦值为－. (3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－. 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. 例、如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， . （1）求线段的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求证：. [解析]（1）设，，， 则，，， . 因为， 所以 ，所以线段的长为. （2）设异面直线与所成的角为 ，因为，， 所以， ， 则， 即异面直线与所成的角的余弦值为. （3） 因为，，所以， 所以，即. 小结：空间向量数量积的应用 求夹角 设向量,的夹角为，则，进而可求两异面直线所成的角 求长度（距离） 利用公式，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题 利用,，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 跟踪练习： 1.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝(　　) A．－2 B．5 C．1 D．－3 答案：D 解析：因为＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以解得所以m＋n＝－3. 2．对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【分析】根据题意，化简得到，得到四点共面，即可求解. 【详解】由，得，可得，由于，根据空间向量的基本定理，得四点共面.故选：B. 3．已知，，，若共面，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可. 【详解】解：因为共面，所以存在实数，使得，所以 所以，解得： ，故选：D 4．设，向量，，，且，，则（    ）． A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】由条件结合垂直向量的坐标表示和平行向量的坐标关系求，由此可求的坐标，再求其模即可. 【详解】因为，，，所以，所以， 因为，，，所以，所以，所以， 所以.故选：D. 5、已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则E为BC的中点，＝(＋)＝(－2＋)，则＝＝(－2＋)，又＝3＝3(－)，所以＝＝(＋)＝＝(＋＋)，所以x＝y＝z＝.故选A. 6．(多选)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是(　　) A．a⊥b B．b∥c C．〈a，c〉为钝角 D．向量c在向量a上的投影向量为(4，0，4) 答案：BD 解析：因为1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cos〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是钝角，C错误；向量c在向量a上的投影向量为|c|cos〈a，c〉＝a＝(1，0，1)＝(4，0，4)，D正确．故选BD. 7．（多选）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确，对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 8．（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知任意非零向量，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，则三点共线 【答案】BD 【分析】由向量平行的性质判断A；根据空间向量共面定理即可判断选项B；用向量运算法则判断C；由共线向量定理判断D. 【详解】对于：若，则，且，故错误； 对于，若对空间中任意一点，有，， 四点共面，故B正确；对于， 是空间中的一组基底， 且， 共面，不可以构成空间的一组基底，故C错误； 对于，若空间四个点，，， 三点共线，故D正确.故选：BD 9、（多选）已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)， D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 【答案】ABD 【分析】首先求出向量，，，，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D. 【详解】易知，，，，， 因为，所以 ，故选项 A正确；因为，且四点不共线，所以，故选项B正确；因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误；易知当时，A，B，C，D共面，即，所以， ，  解得，，所以A，B，C，D共面，故选项D正确. 故选：ABD. 10．（多选）下列说法正确的是（    ） A．在长方体中，可以构成空间的一个基底 B．已知三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内 C．若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为 D．已知是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，若满足，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合空间基底的意义、空间向量运算逐项分析判断即可. 【详解】对于A，在长方体中，共面，则不能构成空间的一个基底，A错误；对于B，，而，则四点共面，从而在平面内，B正确；对于C，依题意，，设， 即，则，解得， 因此向量在基底下的坐标为，C正确； 对于D，，， 则， ，， ，D正确.故选：BCD 11．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中，连接，则是边长为的等边三角形， ..故选： 12．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是 . 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】易知向量在向量上的投影向量为. 13. 如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·＝________，cos〈，〉＝________． 答案：　 解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝a·c＝.因为＝＝c－a，＝－a，所以·＝·(－a)＝－a·c＋a2＝－＋＝.由＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c，则||2＝(－a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝，所以||＝，所以·＝·b＝－a·b＋b2＋c·b＝，所以cos〈，〉＝＝＝. 14. 如图所示，在平行六面体中，为的中点.设,,. （1）用,,表示； （2）设是棱上的点，且，用,,表示. [解析]（1）因为为的中点，,,， 所以，所以. （2）因为， 所以. 15. 如图，在四面体A－BCD中，＝λ，＝λ，＝(1－λ)，＝(1－λ)，λ∈(0，1)． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若λ＝，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用，，，表示. 解：(1)证明：因为＝－＝λ－λ＝λ，＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(1－λ)， 所以＝，则∥，因此E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知，＝，＝，因此＝，EH，FG不在同一条直线上，所以EH∥FG， 则＝＝，则＝，即－＝(－)，因为＝，即－＝(－)， 可得＝＋，因为＝，即－＝(－)，可得＝＋， 所以＝＋＝＋＝＋＋＋. 学科网（北京）股份有限公司 $