湖南衡阳市衡南县2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

衡南县高二期末考试试卷 数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 11 答案 C B C B C A D AC ABD BCD 1.C【详解】由题知阴影部分表示的集合为A∩(C2B)={-1,2,4}.故选：C. 2026(2)103 (-1)1o3。-1 2详解】2==-己= 所以：的实部为-弓故选：A 3.B【详解】若a=1,数据为1,2,3,4,5,6，极差为6-1=5，所以“a=1”是“数据a,2a ,3a,4a,5a,6a的极差为5”的充分条件； 数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5，则a-6a=5,解得a=±1，所以“a=1 ”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的不必要条件； 因此“a=1”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的充分不必要条件.故选： B. 4.c【详解】si2a=co(2a-）=eo[2(a-平】=2o(a-平)-1，又 wa-召）=子sina=2×(层)-1=-行故选：C 5.B详解】由an+1=an+2得an+1-an=2,所以{an}是首项a1=4,公差d=2的等 差数列，因此an=a1+(n-1)d,将an=24代入得24=4+(n-1)×2,解得n=11 ,故选：B 6详解】因为1，B两点之同的距离为10.所以周别牙-、√(-3=4， 则T=16. 又T=2西，u>0,所以w=牙=语=号，则x)=3simg+又3)=0， 且结合图象及周期可知，3)=0应在上升图象上，所以由s(8×3+)=0,可得 3西+9=2km,k∈Z,解得g=-3西+2km,k∈Z.又1gl<T,所以0=-3 8 8 -10=3sim[g×(-1D-g]=3sim-）=-3, 故选：C 7.A【详解】因为f八x)=x-1在[a,+o)内单调递增，则f(x)≥f(a)=a-1, ”高二数学试卷参考答案第1页（共10页）器 可知函数f八x)在[a,+∞)内的值域为[a-1,+∞)；又因为fx)=log2x在(0，a)内 单调递增，则fx)<log2a,可知函数fx)在(0，a)内的值域为(-o,log2a); 由题意可知：log2a≥a-1,即a-log2a-1≤0，令g(a)=a-log2a-1,a>0,则 g(a)≤0， 因为g(=11=22令g(o)>0,解得u>2令g()<0, aln2 解得0<a<n2 可知ga)在(0，位)内单调递减，在（品+） 内单调递增，又因为g(1)=g(2)= 0,且1<立<2，则不等式g(a)≤0的解集为1,2】，所以实数a的取值范围为 [1,2].故选：A. 8DL详解]设双曲线C的际准方程为三-茶=1a>0,6>0),则双曲线G能标准 方程为卡-号=1(a>0,6>0),所以6=还 b u ab a ab ()+ ()+1 设=>0，则（日+》=行设0=>0）.则r0 =+21+1==（1-102+2 (2+1)2 (2+1)2 令f(t)=0,解得t=1±2，又因为t>0,所以t=1+2, 当0<t<1+2时，∫(t)>0,函数f(t)在(0,1+2)上单调递增， 当1>1+2时，f(t)<0,函数f()在(1+√巨，+)上单调递减， 所以当t=1+2,函数)有最大值1+2)=1+2)+(1+2)=1+2 (1+√2)2+1 2 所以仔+》的最大值为'专豆故选：D 9.AC 【详解1A选项，D(n=4D0=4×4×日×(1-日)=子，A正确： B选项，在线性回归分析中，若R值越大则模型的拟合效果越好，B错误； 器高二数学试卷参考答案第2页（共10页）器 C选项，正态曲线关于直线x=6对称，所以P(2<x<6)=P(6<x<10)=a, 又P(x>6)=2,所以P(x>10)=P(x>6)-P(6<x<10)=3-a,C正确： D选项，C0+C。+C3+…+C8=20-C。=1024-1=1023,D错误.故选：AC. 10.ABD 【详解】A选项，设圆锥的母线长为1，由题意可知1=√5，所以圆锥的侧面积为2× 2π×√5=5π，A正确： B选项，因为过两条母线的截面为等腰三角形， 且os∠BsA=SB+SA-AB=5+5一4=等≥0，所以顶角∠BSA为锐角，散 2SB·SA 2×5×5 过两条母线的截面面积的最大值为轴截面面积，其面积为？×2×2=2，B正确： C选项，设内切球球心为O1,半径为r,过O1作OE⊥SA, 则0E=O01=r,∠OSA=∠ES01,∠S0A=∠OES,则△SE01与△S0A相似， 则2-器，即=，=5，C错误： D选项，过点A作AC/BM交底面圆于C,如图所示： 则∠CAS即为SA与MB所成角或其补角， 因为MA=MB,所以△ABM为等腰直角三角形， 所以M为弧AB的中点，C为弧AB的中点， 故AC=BM=√B02+MO2=√2， 所以es∠C4S=sC-D°+(5°-（5).而 2CA·SA 2×√2×W5 10 所以则S1与MB所成角的余弦值为D 10 ,D正确.故选：ABD 11.BCD 【详解】A选项，当m=0时，S。=-1,则a1=S1=-1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-1+1=0,41=-1不满足an=0, 故an= -1,n=1 10,n≥2 故当m=0时，{an}不是等比数列，A错误； B选项，当m=-1时，a,}是首项-2，公比为？的等比数列， 故a.=(-》×(分)=-(2)： 则a.+aa=-(2)广-（分）”<-(（3)广=-2(2)=2aB正确： 器高二数学试卷参考答案第3页（共10页）器 C选项，当m=2时，{an}为首项1，公比2的等比数列，故an=2- 则nan=n·2-l, 设数列{nan}的前n项和为Tn,则T。=2°+2×2+3×22+…+n×2-1, 2Tn=1×2+2×22+3×23+…n×2”,两式作差可得：-T.=1+2+22+23+… +2-0×2 -n×2”=2”-1-n×2”=(1-n)2"-1 故T。=(n-1)·2”+1,C正确； D选项，当m=3时，a,}是首项为子，公比为弓的等比数列， 故a,=2×( =6.则6，= 2n3 6-6,=2m+1产×(2°-2m×(号)=2×（号）×[子n+1-] 2×(号)×(-3+2m+2m+子)， 令)=-}+22+2x+子，x>0,则(x)=-t+4r+2=-（x-2》2+6, 2 故当x∈(0,6+2)时，∫(x)>0,fx)单调递增；当x∈（6+2，+)时，f(x) <0,八x)单调递减：又0)=子>0，则6+2)>0， 又6)=-方×6+2×6+12+号-警>0,7)=-日×7+2×49+14+号 5 =-3<0 故当m=1,2345,6时，-+2i+2m+号>0,61-4>0： 当a≥7neN时，-写2+2n+2n+号<0,61-么<0： 故数列{}满足<6：<6，<…<6，>6>6，>… 故其第7项的值最大，D正确。 故选：BCD 12.【答案】x+y=0 【详解】由题意，设x=x+yi(x,y∈R),|a+2=x+2+yi=√(x+2)2+, |2+iz|=2+i(x+yi)|=|2-y+xi训=√(2-y)2+x2,则√(x+2)2+y= √(2-y)2+x2, 器高二数学试卷参考答案第4页（共10页）器 化简得x+y=0,所以z在复平面内对应点Z(x,y)满足的方程为x+y=0. 故答案为：x+y=0, 131答案】图 【详解)云：方=4，n=品=(A+1D,类似可得方-h+3, 4. m+nl (A+1)a+4A+7 4 A+即+a6D1P+2A+1). √4（入+1）2+(4入+1)2+2(X+1)(4入+1)=√28A2+26A+7 2(a++= ,27、3/21 14￥ 当且仅当=一是时等号成立 4【答案】8丽， 【详解】由题意知，OA=OB= AB=4,所以△OAB是正三 角形 如图，在平面AOB内，以AB的中 A 点O,为坐标原点，分别以AB所 在直线及AB的垂直平分线为x, y轴，建立直角坐标系， 则A(-2,0),B(2,0)0(0,25).设P(x,y), 由动点P满足|P4=5|PB,得√（x+2)2+y2=√5·√(x-2)2+y2, 化简得，(x-3)2+y2=5,即点P在平面A0B内的轨迹为以C(3,0)点为圆心，半径 为5的圆.转化到空间中：当以AB为轴旋转一周时，动点P依然满足|PA|= 51PB|, 故空间中点P的轨迹为以C(3,0)为球心，半径为5的球. 同时点P在球O上，故点P的轨迹为两球的交线，是一个圆. 因为|0C=9+12=√2I,|0P|=4,|CP|=5, 所以IOC2=|OP2+|CP2,所以OP⊥CP, 所以点P的轨迹（圆）的半径为0PCP=4×5-4105 √21 21 器高二数学试卷参考答案第5页（共10页）器 即其周长为点P的轨迹长度为2厅×4亚。8严。 21 15.【答案】(1)0.92 (2)随机变量X的分布列为： X 1 2 3 3 3 1 P 10 5 10 E)=号 【详解】(1)根据统计表格中的数据， 可得==3，三或=1+4+9+16+25=5， 以及=68.5，x0=206.8,-5=0.2 ………3分 5 -- ∑x-5xy 可得样本相关系数r= -√公- 206.8-68.5×3 1.3 ≈0.92. 6分 55-5x9×0.2√2 (2)根据题意，可得随机变量X的取值为1,2,3， CC 3 则P(X=1)= GC C 10分 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 12分 P 3 3 1 10 所以期望为E()=1× 10+2x 3 +3×10 9 5 13分 16.【答案】(1)证明见解析 (2)a=6 2 3 【详解】(D由A+onBG,可移oM 2cosB 3cosC sinA …2分 sinB sinC 由正弦定理可得oA+2C台=3Co.sC b …3分 故becosA+2 accosB=3 abeosC.… …4分 由余弦定理可得子(6+2-d)+(a+心-6)=多(d+6-).…6分 柴高二数学试卷参考答案第6页（共10页）器 化简得a2+2b2=3C2.. 7分 (2)因为角C取得最大值，所以A,B为锐角，tanM>0,tanB>0, 因为+品c所以 tanA tanB >0,所以3 tanc >0, 所以tanC>0,所以C为锐角， ……9分 则cosC=a2+b2-2 a+63-(a2+26) 子+ …11分 2ab 2ab 2ab 3 当且仅当子知2=宁》即6=a时取等号。 12分 此时C最大，且inC=万 3 13分 所以Sc=6sinc= =√4 3 14分 解得a=√6.… 15分 17.【答案】(1)当a>0时，fx)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+0)上单调递增； 当a<0时，f八x)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+∞)上单调递增 2)[8,+】 【详解】(1)由f(x)=alnx+ 1 +x（a≠0)，x>0, 则/=受+片答--2s-红-2a0+ ,…2分 4x2 4x2 ①当a>0时，令(x)>0,得x>2a,令f(x)<0,得0<x<2a, 所以函数f八x)在(0,2a)上单调递减，在（2a,+o)上单调递增； ……4分 ②当a<0时，令f(x)>0,得x>-6a,令f(x)<0,得0<x<-6a, 所以函数fx)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+o)上单调递增…5分 综上所述：当a>0时，fx)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+o)上单调递增； 当a<0时，fx)在(0，-6a)上单调递减，在(-6a,+∞)上单调递增 …6分 2)当a合时水)=石m+子+会 …7分 由(1)知，函数f八x)在[1，e]上单调递减， 而)=后+子，水e)=后则名=1，阳时，)=后后+引，…9分 对任意x1∈[1,4]，存在x2∈【1，e],使g(x1)≤f八x2), 即等价于g(≤后+子恒成立.即2-e≤0， ≥2对任意无山，41恒成立。 所以m≥ 10分 器高二数学试卷参考答案第7页（共10页）器 设h(x)=2 e,x∈1,4]，则h'(x)= 2x(2-x) 11分 令h'(x)>0,得1≤x<2,令h'(x)<0,得2<x≤4， 所以h(x)在[1,2)上单调递增，在(2,4]上单调递减，…13分 所以=h2)=8则m≥ e3, 14分 即实数m的取值范围为 15分 18.【答案】(1)(i)证明见解析：（ⅱ）2 5 (2)存在，tan0=3,35 14 【详解】(1)(i)由椭圆c:香+苦=1，得a=2,6=5e=1,则F,(-1,0, F2(1,0), 当0=牙时，直线1的方程为y=5(x+1D,…1分 y=5(x+1) 「x=0 联立 。,解得 =√3 所以4(0，B(-9,-5 2分 如图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴 正半轴所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则折叠后4(0,0，w),B(5,-0),F0,-1,0), F2(0,1,0),0(0,0,0), 所以0=(0,0，-5).BF=（35,30),…3分 则A'0.BF=0,即A'01BF2;… 4分 (i)由(i)知，A店=(33，-，-5)，F=(0,-1,-),F= （0,1，一5），…5分 设平面A'BF,的一个法向量为m=(x,y,), 则 a,m=子-号-5=0 ,故可m=(1,5,-1),…7分 m.'F=-y-3x=0 则点F,到平面A'BF的距离为 |A'F·ml25_2⑤ m 5 …9分 5 (2)建立与(1)相同的空间直角坐标系， 器高二数学试卷参考答案第8页（共10页）器 设折叠前A(x1y),B(x2y2),则折叠后A'(0,-x1,y),B(2,-x2,0), 因为折叠前△1B,周长是4u=8,依题意折叠后△1BF:的周长是受。 +AFl+IBFl+I4BI=8.IAFI=Fl. 故|AB-A'B=2, 10分 设l方程为x=my-1,依题意m>0, [x my -1 联立 ,消去x可得(3m2+4)y2-6my-9=0, +3 4 6m -9 显然△>0，则1+方=3m2+4,y2=3m2+4, …11分 而A'B|=√(x,-x)+y+y2,|AB=√x,-)2+(-y2)2, 则1AB-14'B=√x1-)2+(1-)2-√(-)2++乃=2，① 1 则 -2y1y2 √（x1-x2)2+(y1-y2)2+√(x1-x2)2++月 =2’ 所以√（x1-x)2+（y1-y2)2+√(x1-x2)2+yi+斤=-4y13,② 由①2可得-2+（%-=-2，…13分 因为√x1-)2+(-)2=√+m√+2)2-42， 则得(1+m2)[(1+)2-421=(任-2) 所以1+d+的（传·d化简H( 3m2+4 + 所以号=子+4解得m 3m2+4=43m2+4 45，…16分 因为0<6<受，所以am0=点=3图 。。。。。 17分 14 19.【答案】(1)X2的分布列为： X, 2 3 4 1 P 1 6 3 3 (2)11 器高二数学试卷参考答案第9页（共10页）器 (3)m(n+1) m+1 【详解】(1)当n=4,m=2时，随机从编号1~4的4个小球中取出2个共有C= 6种情况， X2的可能取值为2,3,4， P=2)=6rX=3》=名=写，PX==名=方， .31 …2分 分布列如表所示： X2 2 3 4分 6 3 2 (2)Xn-1的可能取值为n-1或n,…5分 …7分 所以5X)=(n-1Dx+n×1-)=a-升 9分 因此Dx)=(n-1-n+)x+(n-n+)广x(1-)=- 10分 (3)选取m个不同的元素，有Cm种方法， 要满足Xm=k,则需取出元素k,其余(m-1)个元素是从小于k的(k-1)个元素 中选出的， 所以P(X。=k)= C(k=m,m+1,…,n）,… 12分 E(Xm)= ∑kP(X。=k)=∑kC 13分 k·(k-1)! he! 因为k.=m-12m】灯=mm-m=mG，15分 所以(X)=去三mG=岩三分-0(c++6+…+G =2(C+C+C+…+C)=2(Cc+C+…+C2)=…=2C- Cm m(n+1) m+1 …17分 器高二数学试卷参考答案第10页（共10页） 衡南县高二期末考试试卷 数 学 时量：120分钟 总分：150分 命题人： 注意事项：请考生把答案写在答题卡上。答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的实部为 A． B． C． D． 3．已知，则“”是“数据，，，，，的极差为”的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则 A． B． C． D． 5．在数列中，，，若，则 A． B． C． D． 6．已知函数，的部分图象如图所示，，两点之间的距离为，且，则 A． B． C． D． 7．已知实数，函数的值域为，则的取值范围为 A． B． C． D． 8．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知，互为共轭双曲线，且，的离心率分别为，，则的最大值是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。） 9．下列结论正确的是 A．随机变量服从二项分布，，则 B．在线性回归分析中，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．随机变量服从正态分布，且，则 D． 10．已知一个圆锥的底面半径为，高为，则下列对该圆锥的表述正确的是 A．侧面积为 B．过两条母线的截面面积的最大值为 C．圆锥的内切球半径为 D．设是圆锥的底面圆直径，是底面圆周上一点，若，则与所成角的余弦值为 11．记为数列的前项和，已知，为实数，则 A．当时，是等比数列 B．当时，则 C．当时，数列的前项和为 D．当时，数列第7项的值最大 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．在复平面内，若复数满足，则在复平面内对应点满足的方程为_________． 13．已知向量，满足，，，若，，且，分别是在，上的投影向量，则的最小值为_________． 14．设，是半径为的球的表面上两定点，且，球的表面上一动点满足，则点的轨迹长度为_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素．小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将年记为年份代码，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码，表示年份代码为的产量，经计算得 ，，． （1）求样本的相关系数；（精确到） （2）现从这年中随机抽取年，记这年中小麦产量大于千万吨的年数为，求的分布列与数学期望． 附：相关系数 ，． 16．（15分）内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 17．（15分）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设（…为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方）如图。将平面沿轴向上折叠，使点折至点位置且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图。 （1）当时， （i）求证：； （ii）求点到平面的距离； （2）是否存在，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19．（17分）袋子里有编号的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为． （1）当，时，求的分布列；、 （2）当时，求； （3）求． 学科网（北京）股份有限公司 $