第四章 曲线运动 讲义-2027届高考物理一轮复习重点题型知识点归纳及典型案例

该高中物理讲义聚焦曲线运动高考核心考点，涵盖运动的合成与分解、平抛运动、圆周运动等内容，按概念规律-典型问题-解题策略逻辑架构，通过考点必记梳理基础、典型案例指导方法、题型训练强化应用，系统帮助学生突破难点。 资料以科学思维和物理观念为导向，如小船过河极值分析培养模型建构能力，平抛推论应用强化运动和相互作用观念，设置高频题、重点题、易错题分层训练，适配不同学情，助力学生高效掌握解题方法，为教师提供精准复习路径，提升应考能力。

高中物理高考重点题型知识点归纳及典型案例 第四章 曲线运动 考点必记 1.运动的合成与分解 运动的合成与分解是分析复杂运动时常用的方法。由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。运动的合成与分解遵从矢量运算法则。运动合成与分解的思想和方法对分运动是匀速运动或者变速运动的情况都是适用的。 方向关系 合成规律 共线 (右为正) 不共线 互相垂直 2.平抛运动 (1)平抛运动的定义 物体以一定的水平速度抛出，不考虑空气阻力，只在重力作用下的运动叫平抛运动。 (2)平抛运动的条件 初速度沿着水平方向、且只受到重力作用。 (3)平抛运动的性质 平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。 (4)平抛运动的基本规律 速度 位移 图示 水平分运动 水平速度 水平位移 竖直分运动 竖直速度 竖直位移 合运动 大小 方向：设速度方向与水平方向的夹角为θ， 大小 方向：设与水平方向的夹角为α, 3.描述圆周运动的物理量 (1)圆周运动 运动轨迹为圆周或一段圆弧的运动称为圆周运动。圆周运动是变速曲线运动。 (2)线速度 ①物理意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。 ②定义式： 公式中的△s是物体在△t时间内沿圆周通过的弧长。 ③方向：线速度是矢量，其方向沿切线方向，与半径垂直。 (3)角速度 ①物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。 ②定义式： 表示△t时间内连接运动质点和圆心半径扫过的角度。角度要用数学中的弧度制进行表示。 ③单位:弧度每秒,符号是 rad/s。 (4)频率和周期 ①频率：做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周转过的圈数。 ②周期：物体运动一周所用的时间。 ③关系式： (5)描述圆周运动的物理量之间的关系 4.向心力 (1)匀速圆周运动 ①定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。 ②特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心。 ③条件：合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 (2)向心力 ①作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 ②大小： ③方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 ④来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。 典型案例1 小船过河问题 知识点 小船渡河问题的极值讨论 情景：河宽为d、水流速度为v水(沿河岸指向下游)、船在静水中的速度为v静(沿船头指向) (1)最短时间：如图甲所示，船头垂直于河岸行驶，船向下游偏移的距离 (2)最短位移：①若 如图乙所示，则 所用时间 此时船的航向垂直于河岸，船头与上游河岸所成角θ满足 ②若 如图丙所示，则 所用时间 (3)最小速度：如图丁所示，要求船以最小速度到达指定位置A点，即航向在图示方向上，船的最小速度为 题型1 高频题 某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定。已知此人过河最短时间为T₁；若此人用最短的位移过河，则所需时间为T₂；已知船的划行速度大于水速。则船的滑行速率与水流速率之比为( ) A. B. C. D. 参考答案解析 【答案】A 【解析】设河宽为d，设船在静水中的速率为v₁，水流速度为v₂。以最短时间过河时，船在静水中的速度方向与河岸垂直，有 以最小位移过河时，速度合成如图， 则 联立①②解得 故A 正确,B、C、D错误。 题型2 模拟题 2014年7月15日，黄山市休宁县境内普降大到暴雨，该县万余名干群投入到抗洪抢险中。如图所示，一条救灾小船位于距安全区 的A点处，从这里向下游70m处有一危险区，当时水流速度为 。为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度大小至少是 ( ) A.2m/s B.3m/s C. D. 参考答案解析 【答案】B 【解析】若小船刚好避开危险区，小船沿AB方向以速度v行驶，如图所示。v₁为水 流速度，小船在静水中的速度至少应为 显然小船沿其他方向，如沿AC以速度v'行驶时，在静水中的最小速度要大于v₂。则小船在静水中的速度至少为 则B正确,A、C、D错误。 典型案例2 关联速度问题 知识点 (1)“绳+物”模型: 一般情况下，分运动表现在沿绳方向的伸长或收缩运动与垂直于绳方向的旋转运动。 (2)“杆+物”模型: 一般情况下，分运动表现在沿杆方向的运动与垂直于杆方向的旋转运动。 (3)处理方法 处理这类问题的关键是沿绳(杆)方向上各点的速度大小相等。具体思路如下： ①选取合适的连接点(该点必须能明显地体现出参与了某个分运动)； ②确定该点的合速度方向(物体的实际速度为合速度)，一般合速度方向不变； ③根据实际运动效果确定分运动方向； ④依据平行四边形定则作出速度分解的示意图，寻找速度关系。 题型3 高频题 如图所示，套在竖直固定的细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，环A从P由静止释放，此时绳与竖直杆间的夹角为α，沿杆上升经过Q点，经过Q点时A与定滑轮的连线处于水平方向，A的速度为vA(不等于零)。不计一切摩擦阻力，则下列说法正确的是( ) A.当A经过Q点时，B的速度等于vA B.当A经过Q点时，B的速度方向向下 C.当A从P至Q的过程中，B的速度先增大后减小 D.当A从P至Q的过程中，绳的拉力始终大于B的重力 参考答案解析 【答案】C 【解析】绳关联，沿绳方向的分速度相同。设绳与杆的夹角为θ，则有 则A到达Q点时 ，由题知A在P点时 则B向下先加速后减速，则绳对B的拉力先小于重力后大于重力。 题型4 重点题 如图所示，在水平面上，小车A通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块B，小车的速度为 当细绳与水平方向的夹角分别为30°和60°时，物块B的速度v₂为( ) A. B. C. D. 参考答案解析 【答案】B 【解析】对小车A的速度沿着绳子的方向与垂直绳子的方向进行分解，则沿着绳子方向的速度大小为 对B物体的速度沿着绳子的方向与垂直绳子的方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为 由于沿着绳子方向的速度大小相等，所以则有 因此 典型案例3 平抛运动的轨迹问题 知识点 平抛运动的推论 (1)设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为φ，位移方向与水平方向的夹角为θ,则tanφ=2tanθ。 (2)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。 (3)从同一斜面上以不同初速度水平抛出的物体落在斜面上时的速度方向与斜面的夹角恒定不变。 题型5 重点题 一滑雪运动员以一定的初速度从一平台上水平滑出，刚好落在一斜坡上的B点，恰与斜面没有撞击。则平台边缘A点和斜面B点连线与竖直方向的夹角α跟斜坡倾角θ的关系为(不计空气阻力)( ) A. B. θC. D. 参考答案解析 【答案】D 【解析】运动员在B点与斜坡没有碰撞，则其速度方向与斜面平行，由此可知此时的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为90°-α，因为做平抛运动的物体在某时刻的速度方向与水平方向的夹角的正切值是其位移与水平方向夹角的正切值的2倍, 即tanθ=2tan(90°-α), 解得tanθ·tanα=2, 故D正确, A、B、C错误. 题型6 模拟题 如图所示，四分之一圆柱体OAB的竖直截面的半径为R，从B点上方的C点水平抛出一个小球，小球的轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为( 则C点到B点的距离为( ) A. B. C. D. R 参考答案解析 【答案】A 【解析】由题意得小球通过D点时的速度方向与圆柱体相切，则有 小球从C到D，在水平方向上有 在竖直方向上有 联立解得 故C点到B点的距离为 典型案例4 斜面平抛问题 知识点 “倍速倍时间，位移倍平方”： 物体以不同的初速度从斜面顶端水平抛出后，落至斜面上。此过程中运动时间与初速度成正比，运动位移与初速度的平方成正比，速度偏角、位移偏角、与斜面的夹角大小均不变。 题型7 模拟题 如图所示，D点为固定斜面AC的中点，在A点先后分别以初速度v₀₁和v₀₂水平抛出一个小球，结果小球分别落在斜面上的D点和C点。空气阻力不计。设小球在空中运动的时间分别为t₁和t₂，落到D点和C点前瞬间的速度大小分别为v₁和v₂，落到D点和C点前瞬间的速度方向与水平方向的夹角分别为θ₁和θ₂。则下列关系式正确的是( ) A. B. C. D. 参考答案解析 【答案】C 【解析】小球分别落到斜面中点与斜面的底端，下降的高度分别为h₁、h₂，即 通过的水平位移分别为x₁、x₂，即 小球做平抛运动，下落的时间与高度有关，根据 可知， 故两次运动的时间之比 故A 错误； 小球在水平方向匀速运动， 故B错误； 小球落到C点，根据 联立解得 落地时速度与水平方向的夹角的正切值 与抛出时的速度无关，故 小球着地时的速度 故小球着落时的速度之比与初速度成正比，故 C正确，D错误. 题型8 易错题 如图所示，A、B、C三个小物块分别从斜面顶端以不同的速度水平抛出，其中A、B落到斜面上，C落到水平面上。A、B落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角分别为α、β，C落到水平面上时的速度方向与水平方向的夹角为γ，则有( ) A. α=β>γ B. α=β=γ C. α=β<γ D. α<β<γ 参考答案解析 【答案】A 【解析】设落在斜面上的小物块的初速度为v₀，落在斜面上时的速度方向与水平方向的夹角为θ'，斜面倾角为θ。由 解得 与初速度大小无关，即物块落到斜面上时的速度方向与水平方向的夹角均相等，所以α=β。 设小物块落在斜面底端时的速度与水平方向夹角为γ'，其初速度为v₁；设落在水平面上C点时的小物块的初速度为v₂，由于下落高度相同，平抛速度时间相等，设此时间为t₁,则 由于 所以 由以上分析可知 所以α=β>γ。 题型9 重点题 如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v₀抛出一个小球，小球落在斜面上Q点处，设小球落在斜面上的速度方向与斜面的夹角为α。若把初速度变为kv₀,则( ) A.小球的水平位移和竖直位移之比变为原来的k倍 B.小球在空中的运动时间变为原来的k倍 C. PQ间距变为原来间距的k倍 D.小球落到斜面上时的速度方向与斜面的夹角将变为原来的k倍 参考答案解析 【答案】B 【解析】设小球从P运动到Q时，位移方向与水平方向的夹角为θ，设小球在Q点时速度方向与水平方向的夹角为α+θ，由平抛运动的推论，物体运动的位移与水平方向夹角的正切值为物体速度与水平方向的夹角的正切值的 由于斜面足够长，当小球被水平抛出的速度变为 时，小球正好打在斜面上，则小球的位移与水平方向的夹角仍为θ，小球的水平位移与竖直位移之比将不变，故A错误；根据上述分析知，小球的速度与水平方向的夹角仍为(θ+α)，当水平方向的速度 时，此时竖直方向的速度变为 竖直方向的速度变为原来的k倍。根据 可知，小球在空中运动的时间变为原来的k倍，故B正确；当水平方向的速度变为kv₀时，小球运动时间变为原来的k倍，根据 可知水平方向的位移变为原来的k²倍，则根据几何关系可知PQ间距变为原来间距的 倍，故C错误；根据上述分析中平抛运动的推论可知，由于小球的位移与水平方向的夹角θ没变，故小球的速度与水平方向的夹角α+θ也将不变，即落到斜面上时，小球的速度与斜面的夹角不变，故D错误。 典型案例5 传动问题 知识点 用列表法处理传动装置的比例计算问题 位置标记 半径 角速度 线速度 周期 向心加速度 A 2 1 2 1 2 B 1 1 1 1 1 C 2 2 4 0.5 8 D 1 2 2 0.5 4 (1) 填半径; (2)找出共角速度的位置，填写角速度值(A、B填1，C、D先不填)； (3)利用v=ωr填线速度，然后再利用共线速度的特征补齐角速度(填完A、B，再填D, 再补齐C); (4)利用 填写周期； (5)利用a=ωv填写向心加速度。 题型10 易错题 如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为 A轮的半径大小与C轮的相同，它与B轮紧靠在一起。当A轮绕其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中( ) A.线速度大小之比为 3 :2 :2 B. 角速度之比为 3 : 3 : 2 C. 转速之比为 2 :3:2 D.向心加速度大小之比为 9 ∶ 6 ∶4 参考答案解析 【答案】D 【解析】轮A、轮B靠摩擦传动，两轮边缘点的线速度大小相等，故 根据公式v=rω, 有( 根据ω=2πn, 有 根据a=vω,有 ；轮B、轮C是共轴传动，两轮的角速度相等，故( 根据公式v=rω，有 根据ω=2πn,有 根据a=vω,有 综合得到7 题型11 重点题 (多选)如图所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是 若皮带不打滑，则A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的( ) A. 角速度之比为 1 : 2 : 2 B. 角速度之比为 1:1:2 C.线速度大小之比为 1:2 :2 D.线速度大小之比为 1 ∶ 1∶2 参考答案解析 【答案】AD 【解析】点a和点b是共线转动边缘点，两者的线速度大小相等，故 根据v=rω,有 点b和点c是同轴传动，两者的角速度相等，故 根据v=rω,有 综合以上，有 典型案例6 圆盘问题 知识点 (1)圆盘单物块临界分析步骤： ①受力分析 ②判断小物块的最大静摩擦力是否可以提供足够向心力。 (2)圆盘多物体临界分析步骤： ①根据圆盘单物块临界分析的方法确定最容易发生滑动的物块； ②根据各个物块间的相互作用(一般为杆、绳连接等)进行受力分析； ③分析最终整体滑动的临界角速度。 题型12 高频题 如图所示，匀速转动的水平转台上，沿半径方向放置两个用细线相连的小物块A、B(均可视为质点)。已知物块的质量分别为 细线长L=1m, A、B与转台间的动摩擦因数均为μ=0.4。开始转动时，A放在转轴处，细线刚好拉直但无张力。重力加速度g取10m/s²，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)要使细线刚好拉直但无张力，则转台转动的最大角速度ω₁为多少? (2)改变物块B的质量，当转台转动的角速度ω₂为6 rad/s时，A仍能保持相对静止，则物块B的质量应满足什么条件? 参考答案解析 【答案】(1) 2 rad/s 【解析】(1)当转台的角速度为ω₁时，B与转台间的摩擦力恰好达最大静摩擦力，细绳的弹力刚好为零，有 代入数值解得 (2)当转台的角速度为ω₂时，A、B与转台间的摩擦力都达到最大静摩擦力 对A有 对B有 代入数值解得 则物块B的质量应该满足 题型13 重点题 两个质量分别为2m和m的小木块a和b (均可视为质点)放在水平圆盘上，a到转轴OO'的距离为L，b到转轴的距离为2L，a、b之间用长为L的强度足够大的轻绳相连，两木块与圆盘间的最大静摩擦力均为各自所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，开始时轻绳刚好伸直但无张力，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( ) A. a比b先达到最大静摩擦力 B. a、b所受的摩擦力大小始终相等 C. 是b开始滑动的临界角速度 D.当 时，a所受摩擦力的大小为 参考答案解析 【答案】D 【解析】木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得 此时 所以当圆盘的角速度增大时，b的静摩擦力先达到最大值，故A错误；在b的摩擦力没有达到最大值前，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得木块所受的静摩擦力 a和b的质量分别是2m和m，而a与转轴的距离为L，b与转轴的距离为2L，所以开始时a和b受到的摩擦力大小是相等的，当b受到的静摩擦力达到最大值后，b受到的摩擦力与绳子拉力的合力提供向心力，即 对a有 联立得： 可知二者受到的摩擦力大小不一定相等，故B错误； 当b刚要滑动时，有 解得 故C错误；当 时，a所受摩擦力的大小 故 D正确。 典型案例7 圆锥摆问题 知识点 (1)圆锥摆模型： 绳子拉着小球在水平面做圆周运动，绳子的拉力平衡重力后提供小球圆周运动的向心力。即 其中g为当地的重力加速度，h为小球做圆周运动的轨迹的圆心到绳子悬挂点的距离。 (2)圆锥摆模型的拓展应用 圆锥摆的结论公式不只适用于简单的圆锥摆，还适用于各种由一个指向同一点的外力平衡重力后提供向心力的模型，如倒三角模型、碗模型等。 题型14 高频题 如图所示，长为l的细线上端固定于悬点O，细线下面悬挂一质量为m的小钢球。钢球在水平面内以O'为圆心做匀速圆周运动时，细线与(OO'的夹角为θ。忽略空气阻力，重力加速度为g。则( ) A.小钢球受重力、拉力和向心力 B.细线的拉力大小为 mg cosθ C.小钢球所受向心力的大小为 mg tanθ D.小钢球运动的角速度大小为 参考答案解析 【答案】C 【解析】小钢球受重力和拉力，二者的合力提供向心力，故A错误；细线的拉力的竖直分力大小等于重力大小，即 mg=Tcosθ，解得 故B错误；细线拉力的水平分力提供向心力， 故 C 正确；细线的拉力的水平分力提供向心力，根据 解得 故 D错误。 题型15 重点题 (多选) 如图所示，一固定的且内壁光滑的半球面的球心为O，最低点为C，两个可视为质点且质量相同的小球A和B在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨道平面高于B球的轨道平面，A、B两球和O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为α=53°和β=37°, 已知sin37°=0.6, cos37°=0.8则( ) A. A、B两球所受支持力的大小之比为 3 ∶ 4 B. A、B两球运动的周期之比为 2 ： C. A、B两球的角速度之比为 2 : D. A、B两球的线速度之比为 参考答案解析 【答案】CD 【解析】由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得 则 故A错误；小球受到的合力为 解得 则 故B错误；根据 得 故C正确；根据 得 所以 故 D 正确。 典型案例8 竖直圆周问题 知识点 (1)如图所示，用绳子拴住或紧贴圆弧内侧轨道的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。小球过最高点的情况(绳模型)。 ①临界条件：小球到达最高点时绳子的拉力(或对轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即 式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度， ②能过最高点的条件： ③不能过最高点的条件： (实际上球还没有到最高点就脱离了轨道)。 (2)如图所示，用杆或圆形管道束缚住的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况(杆模型)。 ①临界条件：由于杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 ②如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况如下： 当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即 当 时，杆对小球的支持力的方向竖直向上，其大小随速度的增大而减小，取值范围是 当 时， 当 时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。 ③如图乙所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况如下： 当 时，管的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力FN，其大小随速度的增大而减小，取值范围是 当 时， 当 时，管的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大。 题型16 重点题 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球。现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，F-v²|图像如图乙所示，则( ) A. 当 时，小球受到的弹力大小是其重力大小的2倍 B.当地的重力加速度大小为 Rb C.小球的质量为 D. 当 时，小球对杆的弹力方向向下 参考答案解析 【答案】C 【解析】在最高点时, 若v=0, 则N= mg=a; 若N=0, 由图乙知 则有 解得 若 则 解得N=mg，即小球受到的弹力大小与其重力大小相等，故A、B错误，C正确。 由图乙可知当 时，杆对小球的弹力方向向上；当 时，杆对小球的弹力方向向下；所以当 时，杆对小球的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，故D错误。 题型17 易错题 如图所示，半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体。今给小物体一个水平初速度 (g为重力加速度)，则物体将( ) A.沿球面滑至M点 B.立即离开半球面做平抛运动 C.先沿球面滑至某点N再离开球面做斜下抛运动 D.沿半径大于R的新圆弧轨道运动 参考答案解析 【答案】B 【解析】设小物体的质量为m，小物体的向心力为 由此可知物体刚好脱离球面，假如物体做平抛运动，运动时间 水平位移为 假设成立,A、C、D错误;B 正确。 — 3 — 学科网（北京）股份有限公司 $