精品解析：吉林省吉林市田家炳高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

吉林市田家炳高级中学2025－2026学年下学期高一年级期末考试 数学学科试卷 满分：150分；考试时间：120分钟；命题审题：高二年级数学学科命题组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：共8题，每题5分，共40分． 1. 样本数据1，1，2，3，3，4，5，5的第70百分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4. 设，，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总人数为800 B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D. 按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 10. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 11. 已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 13. 如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 14. 随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子（6个面的点数分别为），则3枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为______． 四、解答题：共5小题，77分． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17. 在中，内角的对边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； 18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 19. 在直角梯形中，，，（如图1），把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和的中点（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）若、分别为线段与上一点，使得（如图3），令与和所成的角分别为和，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市田家炳高级中学2025－2026学年下学期高一年级期末考试 数学学科试卷 满分：150分；考试时间：120分钟；命题审题：高二年级数学学科命题组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：共8题，每题5分，共40分． 1. 样本数据1，1，2，3，3，4，5，5的第70百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】由样本数据1，1，2，3，3，4，5，5，共有8个数据， 则，可得样本数据的第70百分位数为从小到大的第6个数据， 所以样本数据的第70百分位数为4. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数及复数的定义求解即可. 【详解】，， 所以的虚部为. 3. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为300的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ） A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】先求出高二学生的占样本的抽样比，再乘以即可. 【详解】由题意：从高二年级抽取的学生人数为：. 故选：B 4. 设，，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 5. 已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】若，，则或相交（墙角模型），故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或异面，故C错误； 若，，则或相交，故D错误. 6. 在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 7. 如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 8. 在中，已知，是边上一点，如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中用余弦定理，求出，之后在中，用正弦定理计算的长度. 【详解】在中，,所以,. 在中, ，，由余弦定理可得， 代入数值：,整理得，解得(舍去负根)； 在中，,根据正弦定理：代入数值：. 故答案为：C 二、多选题：共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生、政史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则（ ） A. 该校高一学生总人数为800 B. 该校高一学生中选择物化政组合的人数为90 C. 该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数少 D. 按选科组合用分层随机抽样从该校高一学生抽取40人，则生史地组合应抽取8人 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，该校高一学生总人数为人，A正确； 对于B，该校高一学生中选择物化生组合的人数为人， 所以选择物化地和物化政组合的人数为人， 因为选择物化地和物化政组合的人数相等，所以选择物化政组合的人数为人，B错误； 对于C，选择物理的人数有人，选择历史的人数有人， 所以该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多，C错误； 对于D，生史地组合应抽取人，D正确. 10. 将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥侧面展开图扇形圆心角为 D. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题中等边三角形就是圆锥轴截面，得出圆锥母线长，底面半径，高，然后计算体积、侧面积，圆锥侧面展开图扇形圆心角，过圆锥顶点的截面面积的最大值判断各选项． 【详解】由题意圆锥的母线长为，底面半径为，高为， ，A错； 侧，B正确； 圆锥侧面展开图扇形圆心角为，C正确； 由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角， 因此过圆锥顶点的截面面积的最大值，D正确． 故选：BCD． 11. 已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理结合倍角公式可得，进而分析判断；对于B：由锐角三角形可得，结合正弦函数单调性分析判断；对于C：根据题意结合正弦定理分析求解；对于D：整理可得，利用正、余弦定理可得，进而分析判断. 【详解】对于A，若，由正弦定理得，即， 因为，可得或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以A不正确； 对于B，由为锐角三角形，可得，可得， 因为，可得，所以， 即，所以B正确； 对于C，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围为，所以C正确； 对于D，若，可得， 可得，由正弦定理得， 又由余弦定理得，且，所以， 但不确定，所以无法判定为锐角三角形，所以D错误. 第II卷（非选择题） 三、填空题：共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 13. 如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 14. 随机投掷3枚质地均匀的正方体骰子（6个面的点数分别为），则3枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有可取完全平方数并计算概率总和. 【详解】由题意得可取的完全平方数为. 对于，有效的三元组为，个数为，因此. 对于，有效的三元组为，，，，，， 个数依次为，总个数为，因此. 对于，有，，个数为，因此. 综上所述，. 四、解答题：共5小题，77分． 15. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求： （1）的长； （2）直线与AC所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【小问1详解】 设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 16. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的上四分位数； （3）已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）； （2）84； （3）总平均数为65；总方差为37. 【解析】 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【小问1详解】 因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； 【小问3详解】 成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 17. 在中，内角的对边分别为，若，且. （1）求角的大小； （2）若，点是的中点，且，求的值； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，结合正弦定理和余弦定理，即可求解； （2）根据，两边平方后，利用数量积公式表示边长的关系，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，， 由正弦定理可知， 整理为， 由余弦定理可知， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知，，即，① ，即， 即②， 由①②可知，，，解得：，或，， 所以或 18. 如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. （1）求证: 直线平面 （2）求证：平面 平面 （3）求与平面所成的角的正切值. 【答案】（1）证明如下： 设，连接， 在三棱柱中， 底面，且为正三角形， 三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形， 为的中点，又为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面. （2）证明如下： 连接， 底面，平面， ， 又为正三角形，为的中点， ， 又， 又平面，平面， 平面，又平面， 平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明，，再由线面垂直的判定定理证明平面，再用面面垂直的判定定理证明即可； （3）由（2）可知平面，先找到在平面内的射影，再根据线面角的定义，得到即为与平面所成的角，在中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知平面，即为在平面内的射影， 即为与平面所成的角， 三棱柱为正三棱柱，且， ，， . 19. 在直角梯形中，，，（如图1），把沿翻折，使得平面，连接，，分别是和的中点（如图2）． （1）证明：平面平面； （2）若、分别为线段与上一点，使得（如图3），令与和所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】（1）因为，且点是的中点， 所以， 因为是等腰直角三角形，，， 所以， 因为，所以， 在中，，，， 所以由余弦定理得， 因为， 所以， 因为点，分别是，的中点， 所以，则， 因为，且，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理证明线线垂直，再根据线面垂直证明面面垂直； （2）根据比例相同得到线线平行，结合线面垂直得到线线垂直，从而得到两角相加等于，再根据三角函数诱导公式和正弦函数的性质进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在线段上取点，使得，如下图所示 则且，即，， 由（1）可知平面， 因为平面， 所以， 因为，， 所以，即， 因为在中，， 所以，即， 因此是一个锐角，即， 所以， 因此， 因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $