精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

绝密★启用前 衡阳市八中2026年高一下学期期末考试试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部. 【详解】解：， 所以其共轭复数为，其虚部为 故选：B 2. 已知，则下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的数量积坐标运算，共线、垂直向量的坐标表示，结合夹角、模长公式，逐个计算验证即可. 【详解】对于A：因为且，则，解得，A正确； 对于B：若，所以，解得，故B正确； 对于C：因为，则， 所以，解得或，故C正确； 对于D：若与的夹角为钝角，则且与为不共线向量， 即且， 取满足题意，但是且不成立，故D错误. 故选：D 3. 设表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　) A. ，若，则∥ B. ，若∥，则∥ C. ，若，则 D. ，，若，则 【答案】C 【解析】 【详解】A的逆命题为：，若∥，则，成立； B的逆命题为：，若∥，则∥，由线面平行的判定定理可知结论成立； C的逆命题为：，若，则， 当时，若，满足，而此时不成立，所以C的逆命题不成立； D的逆命题为：，，若，则， 因为，，所以， 因为，所以，所以D的逆命题成立. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 【答案】A 【解析】 【分析】根据标准差的定义可判断A，通过举反例可判断B，利用相关系数的概念可判断C，根据残差分析中残差点所在的水平带状区域的意义可判断D. 【详解】对于A，根据标准差的定义，一组数据的标准差时， 显然有，故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据， 它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和2，故B错误； 对于C，相关系数，若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越弱， 若相关系数越接近于1，则两个变量的相关性越强，故C错误； 对于D，残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高， 水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故D错误. 故选：A. 5. 若平面向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 所以 6. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，由题意中，，，外接圆的半径为，设，由正弦定理可得，，，则整理化简后由三角函数的性质求解. 【详解】设，则， ，与的夹角为， 中，，， 由正弦定理可得：，的外接圆的半径为，点B为圆上与OA不重合的动点， 设， 由正弦定理可得，，， 则 ， 当时，取得最大值，且为. 故选：C. 7. 2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每个体育馆至少派一名裁判总的方法数，再求出事件A，B分别发生的情况数与事件A，B同时发生的情况数，得到，判断出A错误， 同理可得B错误； 利用条件概率求解公式得到C错误，D正确. 【详解】记三座体育馆依次为①②③，每个体育馆至少派一名裁判，则有种方法， 事件A：甲派往①，则若①体育馆分2人，则只需将乙、丙、丁与三个体育馆进行全排列即可，有种， 若①体育馆分1人：则将乙、丙、丁分为两组，与体育馆②③进行全排列，有种，共有种， ∴， 同理， 若甲与乙同时派往①体有馆，则①体育馆分两人，只需将丙，丁与体育馆②③进行全排列，有种， ∴，故事件A与B不相互独立，A错误； 同理可得，， 若甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生，若丙丁2人都去往体育馆③，有种， 若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况， 综上：甲派往①体有馆与乙派往②体育馆同时发生的情况有种， 故，B错误； ，D正确； 事件C：裁判乙派往②体育馆，若②体育馆分2人，则只需将甲、丙、丁与三个体育馆进行全排列，有种， 若②体育馆分1人，则则将甲、丙、丁分为两组，与体育馆①③进行全排列，有种，共有种， ∴， 若事件A，C同时发生， 若丙丁2人都去往体育馆③，有种， 若丙丁只有1人去往体育馆③，剩余的1人去往体育馆①或②，有种情况， 综上：事件A，C同时发的情况有种， ∴，，C错误； 故选：D 8. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出正四面体的棱长，根据向量的加减法表示出，然后利用即可求解； 【详解】设正四面体的棱长为，则， 为正四面体，均为正三角形, ， , , 异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，，的平均数为 B. 设a，，则样本数据，，，的方差为 C. 样本数据，，，的平均数为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据平均数与方差的概念逐项计算，即可判断得结论. 【详解】由题意，， 对于A，，，，的平均数为 ，故A正确； 对于B，，，，的平均数为， 其方差为 ，故B正确； 对于C，举反例，如1，2，3这3个数的平均数为2，但，，这3个数的平均数为，故C不正确； 对于D. ，故D不正确. 故选：AB. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（　　 ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】通过向量平行、垂直的坐标运算规则，结合三角函数的同角关系分析选项A、C；利用向量数量积公式和辅助角公式分析选项B；通过向量模的平方运算与辅助角公式分析选项D. 【详解】选项A：若，则，两边同除以（），得，故A错误. 选项B：, 因为正弦函数的值域为，所以的最小值为，故B正确. 选项C：若，则，即，移项得， 两边同除以（），得，故C错误. 选项D： 当时，取得最大值， 因此的最大值为，故D正确. 故选：BD 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理可求，再根据余弦定理可求，从而可求面积. 【详解】由题意和正弦定理可得，（为外接圆半径1）， ∵，∴， 由余弦定理可得， 代入数据可得，解得或（舍）， 故. 故答案为： 13. 已知集合，且，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】由，分别令，求出的值代回集合检验即可. 【详解】因为， 所以有或， ①当， 此时，不满足题意， ②当， 解得或（舍去） 当时，集合满足题意， 综上所述：若，则， 故答案为：0. 14. 已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集，所以分别求两个函数的值域，利用子集关系可求实数a的取值范围. 【详解】由题意可知，函数在[3，+∞) 的值域是函数在[3.+∞)上值域的子集， ，等号成立的条件是，即x=3 ，成立， 即函数在[3.+∞)的值域是[4.+∞)， ，是增函数，当x∈[3.+∞)时，函数的值域是， 所以，解得: 1<a≤2， 所以实数a的最大值是2. 故答案为: 2. 【点睛】本题考查双变量的函数关系求参数的取值范围，重点考查函数的值域，子集关系，属于较难题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，所对的边分别为，且满足． （1）求; （2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案； （2）利用直角三角形的知识得出为正三角形，结合面积公式可求答案. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得 因为，所以，则， 因为，所以， 又因为，所以; 【小问2详解】 在中，，可得， 又，可得，又，，可得为正三角形， 故面积为. 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程求得，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，利用分层抽样的方差的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质，可得， 解得． 各组的组中值依次为，对应频率依次为， 所以数据的平均数 ， 所以估计这100个样本数据的平均数为． 【小问2详解】 解：由于样本数据在与内的频率之比为， 所以两组的总平均数为， 所以总方差． 17. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求的不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到的解析式，然后根据不动点的定义计算即可； （2）（i）将时，有唯一的不动点转化为函数在上只有一个零点，然后列不等式求解即可； （ii）将有两个不相等的不动点，且转化为方程有两个不相等的正根，然后结合韦达定理和基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 ， 则不动点满足，即， 整理得， 因为，所以， 当时，，解得，满足； 当时，，无解， 所以的不动点为. 【小问2详解】 （i）， 当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解， 即函数在上只有一个零点， 当时，，，满足要求； 当，即时，，解得或， 时，，在上只有一个零点1， 时，，在上只有一个零点1， 所以的取值范围为. （ii）令，整理得， 则 ，解得， ， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：一元二次方程根的分布问题： （1）图形法：考虑开口、对称轴、和端点处函数值的正负等因素； （2）韦达定理的方法：根据和的正负判断根的正负. 18. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1） 平面，平面， ， 在中，， 由正弦定理，则， ，又，平面， 平面，又分别为棱PC，PB的中点， ，则平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面，可得，在中，，由正弦定理可得，则得平面，再由，即可证得平面平面； （2）取中点，连接，可得平面，得即为二面角的平面角，再由棱长关系即可求得，进而得到二面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点，连接， 又为PB的中点， ，， 由平面， 平面， 又平面，， 由（1）知， ， 平面，， 平面，又平面， ， 则即为二面角的平面角， 设，则，， ， 所以在直角三角形中， ，， 即二面角的大小为. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若是偶函数，求的值； （3）求关于的方程在上所有的实数根之和． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象可知，，可求出，再由函数图象经过点，结合即可求出函数解析式； （2）根据偶函数满足的条件可得，，结合求出的值即可； （3）根据正弦函数性质，可知在一个周期内有两个根，且两个根关于对称轴对称，找出对称轴即可解决问题. 【小问1详解】 由图可得最小值为，则，又， ，令，则有，， 解得，又，故，即． 【小问2详解】 因为是偶函数， 则，，所以，， 又，所以当时，；当时，， 所以或. 【小问3详解】 令，则， 当时，， 由，则，则有四个不同的根， 设这四个根从小到大分别为，，，，由有对称轴与， 则，， 即，，故实数根之和为； 另外：利用换元法（整体思想），令， 当时，，即， 所以，， 则，， 即有，， 故实数根之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 衡阳市八中2026年高一下学期期末考试试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论不正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若与的夹角为钝角，则且 3. 设表示三条直线，表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　) A. ，若，则∥ B. ，若∥，则∥ C. ，若，则 D. ，，若，则 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等 B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等 C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强 D. 残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 5. 若平面向量满足，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 设向量，的夹角为，定义，若平面内互不相等的两个非零向量，满足：，与的夹角为，的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 2022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办．将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔，贾努布，阿图玛玛三座体育馆进行执法，每座体育馆至少派1名裁判，A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”；B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”；C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 8. 已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）有一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（ ） A. 设，则样本数据，，，的平均数为 B. 设a，，则样本数据，，，的方差为 C. 样本数据，，，的平均数为 D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（　　 ） A. 若，则 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 的最大值为 11. 已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A. B. C. 为奇函数 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 顶点在单位圆上的中，角所对的边分别为．若，，则____． 13. 已知集合，且，则_____． 14. 已知函数，．若，，使得，则实数的最大值为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，所对的边分别为，且满足． （1）求; （2）点在线段AC的延长线上，且，若，求的面积． 16. 某烘焙店为调研某款全麦面包的质量情况，随机抽取了100个这款全麦面包，将称重后得到的数据分成六组，分别为[，，…，（单位：克），得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计这100个样本数据的平均数；（同一组中的数据以该组所在区间的中点值为代表） （2）若样本在内的平均质量是65克，方差是6，在内的平均质量为75克，方差是3，求这两组质量的总方差． 17. 对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点． （1）若，求的不动点； （2）对于二次函数． （i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； （ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 18. 如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点. （1）求证：平面平面； （2）若，求二面角的大小. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若是偶函数，求的值； （3）求关于的方程在上所有的实数根之和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $