精品解析：山西吕梁市交口县2025-2026学年上学期期末水平达标自测八年级数学

交口县2025-2026学年第一学期学业水平达标卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. 任意三角形 B. 直角梯形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可得出答案． 【详解】解：A．任意三角形不一定都是轴对称图形，不符合题意， B．直角梯形不存在对称轴，不是轴对称图形，不符合题意， C．平行四边形不一定都是轴对称图形，不符合题意， D．等腰三角形存在对称轴，是轴对称图形，符合题意． 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 3. 据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体类物质），该直径用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘除，积的乘方，完全平方公式法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原选项运算错误，不符合题意； B、，原选项运算错误，不符合题意； C、，原选项运算错误，不符合题意； D、，原选项运算正确，符合题意； 故选：D． 5. 对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（ ） A. 长方形的任意一个顶点处 B. 长方形两条对角线的交点处 C. 长方形的一条边上 D. 长方形的外部 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了重心的概念，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 匀质规则形状物体的重心在其几何中心，对于长方形，几何中心是两条对角线的交点． 【详解】解：∵长方形薄板匀质且形状规则， ∴重心位于几何中心， 又∵长方形的几何中心是两条对角线的交点， ∴重心在两条对角线的交点处， 故选：B． 6. 如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】已知，为公共角，根据全等三角形的判定，进行解答，即可． 【详解】解：已知，是公共角； A、，无法判定三角形全等，不符合题意； B、，无法判定三角形全等，不符合题意； C、， 则， ∴ ，符合题意； D、，无法判定三角形全等，不符合题意； 7. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据因式分解的核心特征：左边为多项式，右边是几个整式的乘积形式，判断各选项． 【详解】解：A选项，是整式乘法运算，不符合因式分解定义． B选项，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合定义． C选项，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的对象要求． D选项，的右边为和的形式，不是整式乘积，不符合定义． 8. 如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　） A. 180° B. 240° C. 300° D. 360° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，得∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG，两式相加再减去∠A，根据三角形的内角和是180°可求解． 【详解】∵∠B+∠C=∠CGE=180°-∠AGF，∠D+∠E=∠DFG=180°-∠AFG， ∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=360°-（∠AGF+∠AFG+∠A）， 又∵∠AGF+∠AFG+∠A=180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E-∠A=180°， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质以及三角形内角和等于180度是解题的关键． 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 10. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式在图形面积中的应用．设正方形的边长为，正方形的边长为，可得，，利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则：，， 由得：， 解得：， 图中阴影部分面积为：， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴对称， 横坐标取相反数为，纵坐标不变为， 因此对称点的坐标为． 故答案为：． 13. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】整理后提取公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据∠BAC的角平分线AD交BC于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解：  ． 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 已知锐角的两条高，相交于点，且． 求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O， ∴∠BEC=∠CDB=90°， ∵∠BEC+∠BCE+∠EBC=∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°， 又∠OBC=∠OCB，∠BEC=∠CDB=90° ∴∠DBC=∠ECB， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； 【解析】 【分析】由OB=OC，即可求得∠OBC=∠OCB，又由，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，根据三角形的内角和等于180°，即可证得△ABC是等腰三角形． 【详解】略． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．此题难度不大，证明过程中注意等腰三角形性质和判定的应用． 19. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求．由图可得，点的坐标为． （2） （3） 点即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图和性质，准确作图是解题的关键． （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可； （2）根据关于关于轴对称的点的坐标的特征写出答案即可； （3）根据轴对称的性质取点关于轴的对称点，连接交轴于点，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【小问3详解】 如图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 20. 阅读下列材料，完成相应任务． 阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴ ∵当时，有最小值为0 ∴当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列任务： 任务一：填空：__________（ ）2 任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值． 任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系． 【答案】任务一：，；任务二：，－27；任务三：， 【解析】 【分析】任务一：根据完全平方式即可确定； 任务二：先配方成，进一步求出最小值； 任务三：分别表示出和，再计算，即可比较大小． 【详解】解：任务一：. 故答案为：，； 任务二：， 当时，的最小值为－27； 任务三：， ， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，多形式乘以多项式，熟练掌握是解题的关键． 21. （1）问题：如图甲，点A为线段外一动点，且．填空：当点A位于 时，线段的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）； （2）应用：点A为线段外一动点，且．如图乙，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连结． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段长的最大值． 【答案】（1）的延长线上，； （2），理由如下： ∵等边三角形和等边三角形， 即 在和中， ； 线段长的最大值为4． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质以及全等三角形的性质． （1）根据点A为线段外一动点，且可得当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为 （2）①根据等边三角形和等边三角形， 可得根据全等三角形的性质可得 ②根据全等三角形的性质可得，线段长的最大值=线段长的最大值，而当线段的长取得最大值时，点D在的延长线上，此时可得 【详解】解：（1）如图1， ∵点A为线段外一动点，且 ∴当点A位于的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值为， 故答案为：的延长线上，； （2）略 线段长的最大值为4，理由如下： ∵线段长的最大值线段长的最大值， ∴当线段的长取得最大值时，点D在的延长线上，此时 ． 22. 下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； （1）请你补全以上方法的过程； （2）请你列出方法的方程并解出该方程； （3）学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） 【答案】（1）英雄故事类书籍的单价为元；英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量； （2）解：所列方程为； 解得， 经检验是原方程的解； ∴，， 答：英雄故事类书籍单价为元，抗战纪实类书籍单价为元． （3）解分式方程必须检验，将求得的根代入最简公分母，若最简公分母为，则该根为增根，需舍去．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【小问1详解】 解：设英雄故事类书籍的单价为元； 等量关系：英雄故事类书籍的数量抗战纪实类书籍的数量本； 可列方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． （1）初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； （2）如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； （3）深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； （2） （3）证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． （4）的长为或 【解析】 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交口县2025-2026学年第一学期学业水平达标卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上． 3．答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在答题卡相应位置涂黑． 1. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. 任意三角形 B. 直角梯形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形 2. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 据悉神舟系列飞船的传感器可探测到直径约的太空微小碎片（这类碎片也属于太空中的小型天体类物质），该直径用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 对一个形状规则的匀质长方形薄板，其重心位置在（ ） A. 长方形的任意一个顶点处 B. 长方形两条对角线的交点处 C. 长方形的一条边上 D. 长方形的外部 6. 如图，点在上，点在上，．下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，∠B+∠C+∠D+∠E―∠A等于（　　） A. 180° B. 240° C. 300° D. 360° 9. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 12 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 13. 因式分解：________． 14. 如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 15. 如图，在中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点，连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若，则______． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解答下列各题： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 已知锐角的两条高，相交于点，且． 求证：是等腰三角形． 19. 如图，已知的顶点分别为． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； （2）若点是内部一点，则点关于轴对称的点的坐标是______． （3）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． 20. 阅读下列材料，完成相应任务． 阅读材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求的最小值 解： ∵不论取何值，总是非负数，即． ∴ ∵当时，有最小值为0 ∴当时，有最小值，最小值是1. 根据上述材料，解答下列任务： 任务一：填空：__________（ ）2 任务二：探索：将变形为的形式，并求出的最小值． 任务三：应用：如图所示的第一个长方形边长分别是、，面积为，第二个长方形边长分别是、，面积为，试用含的式子表示的值，并说明与的大小关系． 21. （1）问题：如图甲，点A为线段外一动点，且．填空：当点A位于 时，线段的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）； （2）应用：点A为线段外一动点，且．如图乙，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，连结． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段长的最大值． 22. 下面是小明同学学习了“分式方程（一题多解）”后的课堂学习笔记： 题目 为弘扬历史文化，树立爱国情怀，某校需购进一批图书，现小红和小丽一起去购买书籍，她们先用元购买抗战纪实类书籍，又用元购买英雄故事类书籍．已知抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高，且购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本．求这两种书籍的单价各是多少元？ 分析问题 方法．设_________________________， 根据购买的抗战纪实类书籍比英雄故事类书籍少本， 得到等量关系_________________________， 可列方程为_________________________； 方法．设英雄故事类书籍的数量为本， 根据抗战纪实类书籍的单价比英雄故事类书籍高， 得到等量关系抗战纪实类书籍的单价英雄故事类书籍的单价， 可列方程为_________________________； （1）请你补全以上方法的过程； （2）请你列出方法的方程并解出该方程； （3）学习完今天的知识，你认为在解分式方程的过程中应该注意什么（至少写出一条） 23. 综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． （1）初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； （2）如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； （3）深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． （4）连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $