精品解析：辽宁大连市第十二中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学（D卷）

2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学（D卷） 注意事项： 1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，对于任意，且，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分． 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 设随机变量，若方差，则 C. 设随机变量，若，则 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 10. 已知等比数列满足，，其前n项积，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是单调递增数列 B. 数列的最大值为8 C. 满足的正整数n的个数为4 D. 存在正整数n，使得 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上． 12. 已知随机事件A，B相互独立，且，，则________． 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人. 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？ （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附：，其中 α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知数列，满足，，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 已知函数． （1）当时，若恒成立，求的值； （2）当时，函数在有一个零点，求的取值范围； 19. 袋子里有除了颜色外其他完全一样的5个球，其中红球3个，白球2个．从袋子中一次随机取出两个球，如果取出的球是白球，则将它放回袋子里；如果取出是的球是红球，则不放回袋子里，另外补充相同数量的白球放入袋子里，重复上述操作n次后，袋子里白球的个数记作 （1）求两次操作后，袋子里小球颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学（D卷） 注意事项： 1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故. 2. 命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题，，则为：，. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 所以. 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式、导数四则运算法则、复合函数求导法则逐一验证各选项即可． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 故，的值不确定. 故选：D. 6. 已知直线与曲线相切，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为为等差数列，所以； 因为为等差数列，所以且； 又因为，所以，即， 则. 8. 已知函数，，对于任意，且，不等式恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把不等式变形构造新函数，由条件判断单调递减，从而转化为导数在区间上恒小于等于0，再分离参数通过换元找二次函数的最值即可. 【详解】因为对于任意，且，不等式恒成立，即. 令，则，则在上单调递减， 代入函数，，得， 所以在上恒成立，即， 令，即在上恒成立，则只需即可. 令，则该函数是开口向上的二次函数，对称轴为， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以，即a的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的或不选得0分． 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 设随机变量，若方差，则 C. 设随机变量，若，则 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用条件概率的公式得到，利用独立事件的定义得到结论；选项B，利用二项分布的方差公式列出关于的方程，解出，利用二项分布的概率公式求出，从而得解.选项C，利用正态分布的对称性求解；选项D，利用回归直线过样本中心点求解. 【详解】选项A，因为， 所以， 因为， 所以，即， 则相互独立，A正确. 选项B，因为，所以方差为， 解得或， 若，则， 若，则， 存在两种结果，不一定等于，B错误. 选项C，因为，所以正态曲线关于直线对称， 由对称性得到，则， 则，C正确. 选项D，因为回归直线过样本中心点， 所以，解得 ，即， D正确. 10. 已知等比数列满足，，其前n项积，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是单调递增数列 B. 数列的最大值为8 C. 满足的正整数n的个数为4 D. 存在正整数n，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】先推导等比数列的通项公式，进一步得到前项积的指数型表达式，结合指数函数性质、数列单调性逐一分析选项. 【详解】，则前项积， 选项A：， 所以当时，，即，，数列单调递减， 当时，，即，，数列单调递增，故选项A错误； 选项B：由选项A可知，当时，数列取到最大值，故选项B正确； 选项C：，即，则，解得， 因为，所以只能取，故选项C正确； 选项D：，即，则， 化简可得，解得，故选项D错误. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，有极值 B. 当时，只有一个零点 C. 当时，， D. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】对A：结合函数单调性与极值定义即可得；对B：利用函数单调性及即可得；对C：构造函数，利用导数计算其单调性可得，即可得时，有；构造函数，可得，结合函数单调性可得恒成立，再构造函数，利用导数求出其最大值即可得解. 【详解】对于A，当时，，则， 所以在上单调递减，所以函数无极值，A错误； 对于B，由选项A可知，在上单调递减，又因为， 所以只有一个零点，所以B正确； 对于C，当时，，令， 则，可知在上单调递减，在上单调递增，， 所以，所以， ，故C错误； 对于D，，即， 设，则问题可转化为， 因为是上的增函数，所以，即恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，于是，故D正确. 三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸的相应位置上． 12. 已知随机事件A，B相互独立，且，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为随机事件A，B相互独立，且，， 所以. 13. 已知数列满足，且．设，则数列的前n项和_______． 【答案】 【解析】 【详解】，即， 所以数列是公差为1的等差数列， 因为， 所以， 因此， 则， 所以数列的前项和. 14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对进行分类讨论，当时，利用函数最小值满足的条件求解参数范围. 【详解】当时，，满足恒成立，符合题意； 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，，，故， 所以存在使得，不满足题意； 当时，令，得， 当时，，当时，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令且，所以，解得， 综上，实数a的取值范围为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）. （2）最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，进一步利用点斜式表示切线方程； （2）先通过导数判断函数在的单调性，再根据单调性求最值. 【小问1详解】 ，所以， 因此在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为，令，解得（舍负）， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 又因为， 所以最大值为. 16. 羽毛球广受大众喜爱，某厂商推出碳纤维材质的碳音人造羽毛球，相比传统天然羽毛球性价比更高，使用者看法各不相同.现调查男性、女性羽毛球爱好者各100名，统计结果如下：样本中偏好碳音羽毛球的人数占总人数的45%，其中偏好碳音羽毛球的女性爱好者有50人. 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为两种羽毛球的偏好与性别有关联？ （2）现从男性羽毛球爱好者中按对碳音羽毛球和天然羽毛球的偏好采用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中偏好碳音羽毛球的人数为X，求X的分布列和数学期望． （3）若某羽毛球俱乐部的男女比例为．将样本的频率视为概率，现从该俱乐部中随机抽取一人，已知此人偏好碳音球，求其为男性的概率． 附：，其中 α 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）补充列联表如下： 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联. （2）X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据可计算得到补全列表列联表所需的数据，进而补全列联表，并计算，由此可得结论； （2）根据男性两类偏好人数的比例，确定分层抽样抽取的10人中偏好碳音和天然羽毛球的人数，再确定服从超几何分布，计算取各可能值的概率得到分布列，再计算期望； （3）将样本频率视为概率，分别计算随机抽取一人是男性且偏好碳音的概率、随机抽取一人偏好碳音的总概率，再根据条件概率公式计算所求概率. 【小问1详解】 由题意可知，样本总人数为200人，偏好碳音羽毛球的人数为(人)； 由表可得偏好碳音羽毛球的女性有50人，则偏好碳音羽毛球的男性有(人)； 男性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的男性有(人)； 女性总人数为100人，则偏好天然羽毛球的女性有(人). 则列联表补充如下： 偏好碳音羽毛球 偏好天然羽毛球 合计 男性 40 60 100 女性 50 50 100 合计 90 110 200 根据列表中的数据，计算； 在的独立性检验下，不能认为两种羽毛球的偏好与性别有关联. 【小问2详解】 男性羽毛球爱好者中，偏好碳音羽毛球40人，偏好天然羽毛球60人. 按分层抽样抽取10人，则抽取的10人中，偏好碳音羽毛球的人数为(人)，偏好天然羽毛球的人数为(人). 从这10人中随机抽取3人，的可能取值为0，1，2，3. ；； ；. 的分布列为： 0 1 2 3 . 【小问3详解】 设事件为“抽取一人是男性”，事件为“抽取一人偏好碳音球”. 由羽毛球俱乐部的男女比例为，则，. 由样本频率估计概率可知，，. 由全概率公式得. . 其为男性的概率为. 17. 已知数列，满足，，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由等差中项可知数列是等差数列，即可得数列的通项公式，分析可知数列是等比数列，可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用分组求和法，结合等差数列求和公式以及错位相减法运算求解. 【小问1详解】 因为，且，，即， 可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 又因为，可得， 且，可知数列是等比数列，首项为3，公比为3， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， 因为， 令，则， 两式相减得， 可得， 所以. 18. 已知函数． （1）当时，若恒成立，求的值； （2）当时，函数在有一个零点，求的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数唯一极小值也就是最小值，构造关于参数的新函数研究最值，由最小值非负即可得出唯一解； （2）通过导数划分函数单调区间，分和两种情况进行分类讨论，利用极小值为负，右端趋向于正无穷，从而判定时在上存在唯一零点. 【小问1详解】 当时，，则， 令，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 令，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以， 因为，则必有，即. 【小问2详解】 当时，，则， 当时，，所以在单调递增，此时， 所以在上无零点； 当时，令，则， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增， 又因为，所以，且当时，， 所以在有一个零点，符合题意， 综上可得的取值范围为. 19. 袋子里有除了颜色外其他完全一样的5个球，其中红球3个，白球2个．从袋子中一次随机取出两个球，如果取出的球是白球，则将它放回袋子里；如果取出是的球是红球，则不放回袋子里，另外补充相同数量的白球放入袋子里，重复上述操作n次后，袋子里白球的个数记作 （1）求两次操作后，袋子里小球颜色全部相同的概率； （2）求随机变量的分布列； （3）求． 【答案】（1） （2） 2 3 4 5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合独立事件概率乘法公式运算求解即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式结合独立事件概率乘法公式求对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，分析可知数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【小问1详解】 设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件A， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后袋中5个球的颜色都为白色”，2次操作，其中1次取出1红1白，另一次取出2红， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：的取值可能为2，3，4，5． 则； ； ； ． 所以的分布列为 2 3 4 5 【小问3详解】 记按照上述次述操作后，袋子里白球个数为． 设，，且， 则； ； ； ． 可得 ， 即，整理可得， 又因为， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $