精品解析：陕西西安市第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

西安市第一中学 2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下面问题中，是排列问题的是（ ） A. 由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B. 从40人中选5人组成篮球队 C. 从100人中选2人抽样调查 D. 从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 3. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 4. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 5. 用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（ ） A. 20 B. 60 C. 120 D. 210 6. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 7. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 8. 已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 11. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为240 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 13. 如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有______条（每条线路仅含一条通路）． 14. 已知事件和满足，，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 （1）年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 17. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）系数的值是多少； （3）求. 18. 某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. （1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； （2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 19. 已知函数. （1）设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第一中学 2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下面问题中，是排列问题的是（ ） A. 由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B. 从40人中选5人组成篮球队 C. 从100人中选2人抽样调查 D. 从1，2，3，4，5中选5个数组成集合 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列和组合的定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数， 则共有种排法，是排列问题； 对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题； 对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题； 对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题. 故选：A. 2. 二项式的展开式中的常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项公式为， 令，解得，所以二项式的展开式中的常数项为. 3. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 4. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 所以. 5. 用1，2，3，5，6，8可以组成n个无重复数字的三位数，则（ ） A. 20 B. 60 C. 120 D. 210 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可得. 6. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 7. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国的半个象棋棋盘（的矩形中每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到处，也可跳到处，用向量，表示马走了“一步”．若马从图中的B处跳到C处，且要求走的步数最少，则马不同的行走路径有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 5种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】枚举即可得. 【详解】“马”从B处走到C处，最少需要3步，不同的行走路线有（如图所示）： 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法； 若第一步为，再从到有2种走法， 所以不同的行走路径有种． 8. 已知函数，若满足对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解析： 或． 综上所述或. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 10. 已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 11. 已知的展开式中，的系数记为，则（ ） A. 该展开式共有15项 B. C. D. 的最大值为240 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据多项式乘法的性质和二项展开式中的项数可判断A选项；根据二项展开式中特定项的系数可判断BCD选项． 【详解】对于A，展开式中共有4项，展开式中共有6项， 故展开式共有24项，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，对于，令，则可得展开式的各项系数和为， 即， ，故C正确； ，令，解得， 故当或时，的值最大， 为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 我国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中记载了“杨辉三角”，在如图所示的“杨辉三角”中，除每行两端的数值外，每一个数值等于其肩上两数之和，若第n行所有数字之和为128，则______. 【答案】 7 【解析】 【详解】在“杨辉三角”中，第n行所有数字之和为， 因此，所以. 13. 如图，当一条电路从处到处接通时，不同的线路共有______条（每条线路仅含一条通路）． 【答案】8 【解析】 【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有2条，下线路中有（条）． 根据分类加法计数原理，得不同的线路共有（条）． 故答案为：8 14. 已知事件和满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由，所以，得. 所以， 又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 秦腔是陕西最具代表性的戏曲艺术，2006年被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为研究是否喜爱秦腔与年龄之间的关系，并为传统文化保护提供数据支持，某文化调研队在西安市随机抽取了200名当地居民进行调查，得到如下列联表： 单位：人 秦腔 年龄 合计 40岁以下 40岁及以上 喜爱 45 45 90 不喜爱 75 35 110 合计 120 80 200 （1）年龄在40岁及以上的当地居民中，喜爱秦腔的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜爱秦腔与年龄有关？ 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附：. 【答案】（1）. （2）可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）用样本中 40 岁及以上居民喜爱秦腔的频率，作为总体概率的估计值； （2）通过列联表数据计算卡方统计量，与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验，判断两个变量是否有关. 【小问1详解】 用样本频率估计总体概率，因为年龄在40岁及以上的当地居民喜爱秦腔的频率为， 所以的估计值为. 【小问2详解】 假设 ：是否喜爱秦腔与年龄无关， 题意可知， 因为，所以假设不成立， 即在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为是否喜爱秦腔与年龄有关. 16. 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响． （1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率； （2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）3次射击中甲恰好比乙多击中目标2次，分别为甲击中目标2次且乙击中目标0次与甲击中目标3次且乙击中目标1次，分别求出其概率，再相加即可； （2）甲的设计过程可看作独立重复试验，所以，根据二项分布即可求解. 【小问1详解】 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件， 则， 所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以． 17. 已知二项式，且其二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）系数的值是多少； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）由二项式系数之和，得，再得出展开式的通项，可得； （3）把令，求得结果． 【小问1详解】 因为二项式系数之和，则 【小问2详解】 展开式的通项，其中为前面的系数. 令，则； 【小问3详解】 令，则； 令，则； 所以. 18. 某高中学校在一次高二数学监测后，为了解本次监测的成绩情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于130分为优秀. （1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于90分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； （2）在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，再从这13名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 期望为【解析】 【分析】（1）先根据频率和为1，求出的值.再利用频率取估计概率即可. （2）先明确13名同学的构成，再利用超几何分布，写出的概率分布，并求其期望. 【小问1详解】 依题意，得， 解得， 则不低于90分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为. 【小问2详解】 成绩在内的有人； 成绩在内的有人； 成绩在内的有20人； 故采用等比例分层抽样抽取的13名学生中，成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题意可知，的可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故. 19. 已知函数. （1）设， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当时，求函数的值域. （2）对任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）0；（ⅱ） （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）令，，则，利用二次函数的基本性质可求出的最小值； （ⅱ）利用复合函数法可求得函数的值域； （2）令，可化为，记函数在上的最大值为，最小值为，问题转化为，对实数的取值进行分类讨论，分析二次函数在上的单调性，结合可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 易知函数的定义域为， （ⅰ）令，，则， 当，即时，取得最小值，最小值为0. （ⅱ）当时，， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，函数的值域为. 【小问2详解】 当时，易知， 可化为， 记函数在上的最大值为，最小值为， 则对任意，，恒成立，等价于， 函数的图象开口向上且对称轴为直线， 当时，在上单调递增， 可得，， 由，得，解得，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 结合二次函数图象的对称性易知，当时，， 由，可得，即， 解得，此时，符合题意； 当时，， 由，可得， 解得，此时，符合题意； 当时，在上单调递减， 可得，， 由，可得，解得，不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $