精品解析：青海海东市第二中学2025-2026学年高一下学期6月知识巩固练习数学试题

2025－2026学年高一下学期数学6月知识巩固练习 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 3. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 4. 某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ） A. 乙车间产量的中位数为6月份的产量 B. 甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C. 甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D. 甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 5. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 7. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 13. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 14. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求： （2）若与平行，求实数的值． 16. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角： （2）若，且的面积为，求三角形的周长． 17. 如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 19. 甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年高一下学期数学6月知识巩固练习 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及复数的几何意义即可得解. 【详解】由题意，所以复数在复平面内对应的点为，它在第一象限. 故选：A. 2. Token是AI大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词元”，已知2024年—2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量（单位：百万亿次）依次为9，246，1117，2875，8509，25033，则这组数据的分位数为（ ） A. 2875 B. 5692 C. 8509 D. 16771 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以这组数据的分位数为8509. 3. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 4. 某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（ ） A. 乙车间产量的中位数为6月份的产量 B. 甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C. 甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D. 甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 【答案】D 【解析】 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 5. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 6. 已知两个随机事件A，B相互独立，，则（ ） A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98 【答案】C 【解析】 【详解】事件，相互独立，， ，; . 7. 若复数满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 是纯虚数 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的基本概念及虚数单位，结合复数的运算性质即可逐项进行判断. 【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误； 对B：由，所以，，所以，B正确； 对C：因为实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确； 对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误. 10. 已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（ ） A. 该组数据的极差为 B. 该组数据的70%分位数为 C. 剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D. 剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】利用极差、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 11. 如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 直线与平面所成的角等于 C. 点C到平面的距离为 D. 线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合线面垂直的判定证面，进而确定直线与平面所成的角、C到平面的距离，由，异面直线和所成角即为与所成角求大小，过作于，再过作于，利用线面垂直及勾股定理求的最小值. 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确； 因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，且，则在方向的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算. 【详解】因为，， 所以在方向上的投影向量为. 13. 为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中型血的人数比型血的人数多，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出样本中型血、型血的人数，结合题意可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为感染人群中型血、型血、型血、型血的人数比为， 所以，抽取样本量为的样本中，型血的人数为， 型血的人数为， 所以，，解得. 故答案为：. 14. 圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用侧面展开扇形弧长等于圆锥底面周长，解出母线长，由中点和平行截面用相似得到圆柱底面半径和高，分析剩余几何体的表面积组成，判断内部圆形面抵消，只保留圆锥全表面积 与圆柱侧面积即可得解. 【详解】由题意，，设圆锥母线的长度为，则，解得，即，所以圆锥的高， 因为点是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为，且圆柱的高， 则剩下几何体的表面积由圆锥原来的侧面积、圆锥原来的下底面圆面积和挖去圆柱后新增的圆柱侧面积组成， 即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求： （2）若与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用夹角公式建立关于的方程，再结合夹角余弦值符号确定的取值，写出的坐标，最后求其模长即可. （2）使用平面向量平行的坐标充要条件列方程求解参数即可. 【小问1详解】 因为，可得，，且， 又因为与的夹角为，可得， 解得， 所以， 则，所以． 【小问2详解】 因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得． 16. 已知中，角所对的边分别为，且． （1）求角： （2）若，且的面积为，求三角形的周长． 【答案】（1）； （2）6 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和化简原式，结合正弦定理将角的关系式转化为边的等式，再通过余弦定理求出角； （2）先用三角形面积公式求出的值，再结合已知边长与角，借助余弦定理配完全平方算出，最后相加得到三角形周长. 【小问1详解】 因为； 所以， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； 【小问2详解】 ，则， 由余弦定理可得，即，即， 则，． 所以三角形的周长为． 17. 如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 取的中点为，连接、， 为的中点， 为的中位线， ，且， 又在直棱柱中，侧棱，，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 直线平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直三棱柱的性质，结合已知条件，利用线面平行判定定理证明结论； （2）利用线面垂直判定定理得出线面垂直，进而求出三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 在直三棱柱中，侧棱底面，底面， ， 又、为侧面内的两条相交直线， 侧面， 由（1）得侧面， 为三棱锥的高， 三棱锥的体积． 18. 为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中的值； （2）估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 【答案】（1） （2） 平均数为 ，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由频率之和为1即可求出； （2）由频率分布直方图结合平均数和中位数求法即可求出； （3）列出任取2个的所有基本事件，即可求出概率. 【小问1详解】 由图知，组距，由，得． 【小问2详解】 各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． 【小问3详解】 由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 19. 甲、乙两人参加某公司的招聘考试，考试分为文化测试和体能测试，其中文化测试有道题，要求至少答对其中的道题才能通过，通过得分，不通过得分；体能测试有道题，全部合格才能通过，通过得分，不通过得分；假设甲答对每道文化测试题的概率为，乙答对每道文化测试题的概率为，甲、乙两人每一道体能测试题合格的概率都是，甲乙两人各自参加完这两项测试，且回答每道题都是独立的． （1）求甲恰好答对两道文化测试题的概率（用表示）； （2）两项测试得分的和为该人的总分，当时，解决下列问题： ①求甲总分为分的概率； ②求甲的总分高于乙的总分的概率． 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）确定道文化题甲作答正确与错误的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）①求出甲在文化测试中得分和其在体能测试中得分的概率，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； ②设甲的得分为，乙的得分为，求出、、、、、对应的概率，则，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 记事件甲恰好答对两道文化测试题， 则道文化题甲作答正确与错误的情况有：对对错、对错对、错对对， 故. 【小问2详解】 ①若道文化题甲答对两道或全答对，概率为； 若甲在体能测试中得分，则道体能测试题甲全答对，其概率为. 记事件甲总分为分，则甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者甲在文化测试中得分，在体能测试中得分， 故； ②设甲的得分为，乙的得分为， 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； ； 若，则甲在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 由题意可知，乙在文化测试中得分的概率为， 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则； 若，则乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 或者乙在文化测试中得分，在体能测试中得分， 则； 若，则乙在文化测试中和体能测试中得分均为分，则. 所以 ， 因此甲的总分高于乙的总分的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $