专题 13角 暑假预习讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题13角暑假预习讲义 ①识记：掌握角的静态、动态两种定义，熟知角三种规范表示方法，能区分平角、周角、直角、锐角、钝角。 ②换算：牢记度、分、秒进制为60进制，熟练完成度转度分秒、度分秒换算成度两类基础运算。 ③度量：学会量角器量角、直尺量角器画指定度数角的操作步骤，读数时规避内外圈刻度看错的问题。 ④辨析：精准理解余角、补角定义，明确互余两角和为90°、互补两角和为180°，可快速判定两角是否互余、互补。 ⑤计算：已知任意角度，能够列式求解它的余角度数、补角度数；熟练完成余角、补角相关角度综合计算题。 ⑥定理：吃透核心定理：同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，并能运用定理推理、证明角度相等。 ⑦作图：掌握角平分线定义，能用尺规简单作角平分线，明确角平分线拆分出的两个角度数值相等。 ⑧比较：掌握叠合法、度量法两种角的大小比较方式，可对多个角进行大小排序。 ⑨避错：规避常见易错点，度分秒换算误用10进制、忽略互余互补只看数量关系不限位置、混淆角平分线相关数量关系。 ⑩素养：建立角度量化思维，夯实角度计算基础，为后续相交线、三角形相关几何计算做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.平角与周角的定义 3.角的表示方法 4.角的度量 5.角的分类 6.比较角的大小 7.用度量器作一个角的已知角 8.角的核心运算 9.余角与补角 10.高频易错点汇总 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 常考题型 精讲精练 5.方向角的表示 6.与方向角的表示 7.角的单位与角度制 8.角的度数大小比较 9.角的比较 10.三角板中角度计算问题 11.几何图形中角度计算问题 12.角度的四则运算 13.实际问题中角度计算问题 14.尺规作一个角等已知角 15.角平分线的有关计算 16.角n等分线的有关计算 17.求一个角的余角 18.求一个角的补角 19.与余角.补角有关的计算 20.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题11题 知识点01：角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转到另一位置所形成的图形。起始射线叫始边，终止射线叫终边。 关键点：角的两条边是射线，可无限延伸。 知识点02：平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 1 所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图 2 所示。 知识点03：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点04：角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点05:角的分类 角的类型 度数范围 核心特征 简单举例 锐角 大于0∘，小于90∘ 开口小，尖尖的 三角尺上的30∘、45∘角 直角 正好等于90∘ 两条边互相垂直，有直角符号 “┐” 课本的角、黑板的角 钝角 大于90∘，小于180∘ 开口比直角大，比平角小 张开的剪刀形成的角 平角 正好等于180∘ 两条边在同一直线上，方向相反 一条直线上的角（如直尺的边缘） 周角 正好等于360∘ 两条边完全重合，形成一个完整的圆 钟表一圈的角度 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点07：用度量器作一个角等于已知角 知识点08:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 知识点09：余角与补角 1. 定义 互余：两个角和为90，称这两个角互为余角； 互补：两个角和为180，称这两个角互为补角。 2. 核心性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 3. 关键提醒 互余、互补只看度数和，与位置无关，不需要相邻。 知识点10：高频易错点 1.用单个字母表示角时，顶点多个角不能只用顶点字母； 2.度分秒是 60 进制，误当成 10 进制换算； 3.平角、周角误认为直线、射线（角有顶点，直线没有）； 4.互余只适用于锐角，钝角没有余角；任意角都有补角； 5.方位角顺序写反，写成东偏北、西偏南； 6.角平分线计算倍数关系颠倒。 题型1.角的概念理解 【典例】下图中几何图形共有________个角． 【答案】9 【分析】观察图形，该几何图形是一个五边形，内部有一条连接两个不相邻顶点的线段（对角线）. 数角时，需要分别数出每个顶点处的角，包括基本角和由基本角组成的组合角，对于没有被内部线段分割的顶点，只有1个角；对于被内部线段分割的顶点，有2个基本角和1个组合角，共3个角． 【详解】解：设五边形的顶点顺时针依次为（上）、（右）、（右下）、（左下）、（左）， 内部线段连接顶点和,在顶点处，有1个角：； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、； 在顶点处，有1个角：； 在顶点处，内部线段将分为两个角，故共有3个角：、、 综上所述，图中共有个角． 【跟踪专练1】图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 【跟踪专练2】下列关于角的说法正确的有________（填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【答案】（4）（5） 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及性质，正确理解角的概念是解题的关键． 根据角的相关概念以及性质分别判断即可． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； （2）角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，原说法错误； （3）角的大小与这个角的两边长短无关，可以度量，原说法错误； （4）角的大小与这个角的两边长短无关，正确； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，正确； （6）平角是由一条射线绕着它的端点旋转180度而成的角，是由处在同一直线上具有公共端点且方向相反的两条射线构成的角，不是一条直线，原说法错误； （7）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，此时终边和始边重合，但它有顶点和两条重合的边，而射线只有一个端点，周角与射线是不同的概念，原说法错误； 故答案为：（4）（5）． 【跟踪专练3】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型2.角的表示方法 【典例】如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有____________（填序号）。 【答案】①④⑥ 【分析】要判断每个角的表示是否正确，需依据角的表示规则逐一分析每个选项． 【详解】解：①：角可以用三个大写字母表示且顶点字母在中间.图中画有弧线的角的顶点为，两边分别为和，故①正确； ②：两边是和，并非图中画有弧线的角的两边，故②错误； ③：顶点处有多个角，不能用单个大写字母表示，故③错误； ④：图中用数字“”标注了弧线的角，故④正确； ⑤：是较大的角，两边为和并非弧线标注的角，故⑤错误； ⑥：与一致，故⑥正确． 故答案为：①④⑥ ． 【点睛】本题考查了角的表示方法，解题关键是掌握角的不同表示形式的适用条件． 【跟踪专练1】下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A．B． C．D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型3.角的分类 【典例】1周角=______平角，3平角=______直角． 【答案】 2 6 【分析】本题主要考查周角和平角．根据周角、平角、直角的定义可知，1周角度，1平角度，1直角度．根据度数关系，找倍数关系． 【详解】解：1周角平角；3平角直角． 故答案为：2，6． 【跟踪专练1】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题是对钝角与锐角的取值的考查． 【详解】解：一个钝角与一个锐角的差可能是直角，也可能是锐角，也可能是钝角， 故选：D． 【点睛】本题主要考察角的计算，角的概念，解答的关键是对角的概念的掌握． 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 题型4.钟面角 【典例】早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【答案】/75度 【分析】本题根据钟表刻度的角度特征，确定8点30分时针与分针的位置，再计算两者的夹角即可． 【详解】钟表一周为，被平均分为个大格，因此每个大格的度数为， 8点30分时，分针指向数字，时针指向数字与的正中间，此时时针与分针间隔个大格， 因此夹角为． 【跟踪专练1】如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 【跟踪专练2】时钟9点35分时，分针和时针之间形成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】钟面上每一大格对应，时针每分钟转动，分针每分钟转动，据此解答即可； 【详解】解：9点整时，时针对应的角度为， 经过35分钟后，时针转动的角度为，此时时针对应的总角度为（从12点位置开始计算）， 35分钟时，分针对应的角度为（从12点位置开始计算）， 因此分针与时针的夹角为． 【跟踪专练3】小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确钟表上时针和分针的转动规律，计算出6点55分时时针与分针分别相对于12点位置的转动角度，再计算二者的度数差得到夹角，即可解题． 【详解】解：∵钟面一圈为，共分为12个大格， ∴时针每小时转动，分针每分钟转动，时针每分钟转动． 6点55分时时针和分针的转动角度： 时针转动角度：， 分针转动角度：， ∴时针与分针的夹角为． 题型5.方向角的表示 【典例】如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 【跟踪专练1】某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 【跟踪专练2】某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【答案】020078 【分析】先计算钟面上每个刻度对应的角度，再求出北偏东对应的时刻，最后按照代码规则组合出完整代码． 【详解】解：；； 时对应的代码为； 故北偏东方向的位置，可用代码表示为． 【跟踪专练3】指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方位角的表示，根据四个方位将四等分，根据进而得出对应的方向角，即可求解． 【详解】解：∵指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西； ∴当指南针显示的方位角为东南时， 即对应的方向角为南偏东 故选：C． 题型6.与方向角的表示 【典例】如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． 【跟踪专练1】如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【答案】C 【分析】利用角的和差求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C ． 【跟踪专练2】一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 【跟踪专练3】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 题型7.角的单位与角度制 【典例】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 【跟踪专练1】若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据的换算关系将两个角度统一单位，再比较大小． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 【跟踪专练2】___________度． ______º_____ _____． 【答案】 18.505 36 22 30 【分析】根据进行转化即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴； ∵， ， ∴． 【跟踪专练3】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 题型8.角的度数大小比较 【典例】已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 【跟踪专练1】如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】取格点E，作射线，则．由图可得，，进而可得出． 【详解】解：如图所示，取格点E，作射线，则． 由图可得，， ． 【跟踪专练3】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 题型9.角的比较 【典例】．若，，则________．（填“”或“”或“”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小，与角的换算，解题的关键在于度与分的换算关系． 将两个角的单位统一为度分形式，再依据角的大小比较规则进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 则. 又因为，， 所以． 故答案为：>． 【跟踪专练1】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角钝角的定义确定和的取值范围，推导得到的取值范围，对比选项得到正确结果. 【详解】∵为锐角，为钝角. ∴，， ∴， ∴， 四个结果中，只有在该范围内； ∴正确结果为. 【跟踪专练2】如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，再比较大小即可． 【详解】解：由图，可知为等腰直角三角形， ∴， 由图，可知为直角三角形且，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和与差，由网格线可知，，可得：，又因为，可得． 【详解】解：如下图所示，由网格可知，， ， 即， ， ． 故选：B． 题型10.三角板中角度计算问题 【典例】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【答案】/75度 【分析】先根据邻补角定义求出，再根据三角形内角和求出，然后利用角的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征判断和的度数，利用角的和差关系求解． 【详解】解：由图可知，， ∴． 【跟踪专练2】如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，若比的4倍还大，则______． 【答案】74 【分析】根据平角的定义可推出，再根据题意可得，则，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵比的4倍还大， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角板的性质可知其在直线上的角为 ，利用平角的定义及对顶角性质建立 与 的关系，即可求解． 【详解】解： 三角板是含有 的等腰直角三角板 ， 三角板在直线上的角为 ， ∴ 与 的邻补角构成直角， ， ， ， ． 题型11.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，直线，相交于点，，若，则_________． 【答案】/度 【详解】解：∵直线，相交于点，，， ∴． 【跟踪专练1】一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵法线垂直于水面， ∴法线与水面夹角为， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】 /120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 【详解】解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【跟踪专练3】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 题型12.角度的四则运算 【典例】计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 【跟踪专练1】若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和为的两个角互为补角，利用度分的减法规则计算即可． 【详解】解：∵ 和为的两个角互为补角， ∴ 的补角为， 将转化成再计算，得 ． 【跟踪专练2】______，____°____′____′′． 【答案】 126 18 36 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，根据，进行解答； 要将用度表示，需先将化为分，即除以，再加上，并将结果化为度，据此得到答案； 要将用度分秒表示，需将先化为分，即乘以，再将小数点后的数字化为秒，据此解答． 【详解】解：， ， ， ∴； ， ， ∴． 故答案为：①②126③18④36． 【跟踪专练3】下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的度分秒的换算与加减运算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．本题考查角的度分秒的转换与加减运算，解题思路是利用，的换算关系，对每个选项逐一进行计算，判断其正确性，从而找出错误的式子． 【详解】解：∵，， ∴A选项：，，，故A项正确，不符合题意． B选项：，，故B项错误，符合题意． C选项：，故C项正确，不符合题意． D选项：，，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是________． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键．利用360度除以平分的份数就是每份的圆心角度数． 【详解】解：每份的圆心角度数是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 【跟踪专练2】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 题型14.尺规作一个角等已知角 【典例】如图，，根据尺规作图的痕迹，的度数为____ 【答案】 【分析】本题考查尺规作图的原理，角的和差计算，理解尺规作图的痕迹是解题关键． 根据尺规作图痕迹可知，再根据进行计算即可． 【详解】解：根据作图痕迹可知，是通过两次作等于的角得到的， 则． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图--作一个角等于已知角，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的尺规作图，正确步骤为：④→②→③→①， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 【跟踪专练3】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图中尺规作图的痕迹，可得，进而判定，再根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得，故B选项正确； ∴， ∴，，故选项A、D正确； ∵，，而和的关系不确定， ∴和的关系不确定，故C选项错误． 题型15.角平分线的有关计算 【典例】如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【跟踪专练2】若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，由于未确定的位置，需分两种情况讨论：在内部和在外部，结合角的和差定义与角平分线的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当在内部时， ， 平分，平分， ，， ； 当在外部时， ， 平分，平分， ，， ， 综上，或，或． 【跟踪专练3】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，可得的度数，由是的平分线，可得的度数，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 题型16.角n等分线的有关计算 【典例】已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 【跟踪专练1】，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等分线的有关计算．根据射线是它的四等分线，将均分为四份，根据图形可得是其中的3份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的四等分线， ∴ ∴ 故选：C． 【跟踪专练2】射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为． 【详解】解：设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况： 若为靠近的三等分线，则，解得； 若为靠近的三等分线，则，解得． 因此的最大度数为． 故答案为： 【跟踪专练3】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 题型17.求一个角的余角 【典例】已知，则的余角是______． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的定义.角的运算知识点.掌握和为的两个角互为余角是解题的关键.根据余角的定义列式计算即可； 【详解】解：由题意可得的余角为； 【跟踪专练1】如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据补角的定义求出这个角的度数，再根据余角的定义计算即可得到结果． 【详解】解：一个角的补角是， 这个角的度数为， 这个角的余角是． 【跟踪专练2】一个锐角是，它的余角是________度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，由此逐一判断即可． 【详解】解：A、图中，但不一定互余，不符合题意； B、图中，不互余，不符合题意； C、图中，不互余，不符合题意； D、图中，互余，符合题意； 题型18.求一个角的补角 【典例】已知，则的补角是________°． 【答案】 【详解】解：的补角是． 【跟踪专练1】已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴这个角的度数为． 【跟踪专练2】若，则的补角为__________． 【答案】 【分析】本题考查了补角的计算，熟记互为补角的两个角的和等于是解题的关键． 根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与互补， ∴， ∴． 题型19.与余角.补角有关的计算 【典例】已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据互余的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角度数即可． 【详解】解：与互余， ∴， ∴的补角的度数为． 【跟踪专练1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日贵阳市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 【跟踪专练2】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】根据题意由的度数及求得的度数，结合利用角的和差关系求出，进而得到的度数，计算出的度数，最后根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的补角为． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可． 【详解】解：A、如图： ∵，， ∴，和不互余，故本选项不符合题意； B、， ∴和互余，故本选项符合题意； C、∵， ∴和不互余，故本选项不符合题意； D、∵， ∴和互补，而不互余，故本选项不符合题意． 题型20.同等角的余补角相等的应用 【典例】在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 【答案】同角的余角相等 【分析】根据同角的余角相等可证． 【详解】解：是的余角，是的余角， ，， （同角的余角相等）． 【跟踪专练1】已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“同角的补角相等”即可推出与的关系，即可求解． 【详解】解∶∵和互为补角，和互为补角， ∴． 【跟踪专练2】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查余角的性质，将角度进行转化得到关系是解题的关键． 首先根据正方形的性质得到角度为，再进行角度转化即可得到、、三个角的数量关系． 【详解】解：如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点O重合放置， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知，且，则图中互为余角的共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中互为余角的共有4对 ． 解答题 1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 【答案】10个；，，，，，，，，， 【分析】分别写出以，，，为角的一条边的角，即可求解． 【详解】解：以为顶点的角有10个： 以为角的其中一条边：，，，， 以为角的其中一条边：，，， 以为角的其中一条边：，， 以为角的其中一条边：． 3．在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？ 【答案】在7点分时，分针与时针成直线 【分析】7点时，时针与分针的夹角为150度，当时针与分针成直线时，二者的夹角为180度，求出分针比时针多走30度的时间即可得到答案． 【详解】解：，， ， 分， 答：在7点分时，分针与时针成直线． 4．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 【答案】见详解 【分析】本题考查方位角的概念，方位角的作图方法．通过明确方向基准，确定角度关系绘制射线是解题的关键． 根据射线表示正南方向，射线表示正东方向，“南偏东”是指从正南方向（射线）向东（射线）偏转，绘制射线． 【详解】解：如图，射线即为所求，以点为顶点，以射线为始边，向正东方向作一个的角，这个角的终边即为射线，即为从学校到小明家的方向． 5．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)北偏西 (3)，，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义画图即可； （2）过点O作，根据垂直的定义以及角平分线的定义求出与，然后求出，然后根据方位角的定义解答即可； （3）利用平角的定义可得，利用角平分线的定义求出，然后求出，从而得解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求； （2）解：如图，过点O作， ∵， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴射线表示北偏西方向； （3）解：∵ ∴，即与互补； ∵平分 ∴ ∴ ∴，即与互补， 综上，与互补的角有，． 6．把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）由平分可得，根据角的和差即可求解； （2）根据角的和差即可求解； （3）根据余角的定义可知的余角为，进而根据已知结论列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）略； （3）解：∵的余角的4倍等于， ∴ ∵， ∴， 即， 解得：． 7．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；；②；； (2)当与没有重合部分时，结论依然成立；理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 、． 【分析】（1）①利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解；②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①由图可得，，； ②， ， ， ； （2）略 8．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 9．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） 【答案】（1）①；②不变，；（2）①；②；（3）． 【分析】（1）①根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； ②根据线段间的数量关系推出，再利用线段中点的定义算出，最后根据计算求解，即可解题； （2）①根据角平分线定义得到，进而推出，再结合①中条件求解，即可解题； ②由①同理可知，，推出，再根据求解，即可解题； （3）根据角之间的数量关系得到，进而推出，再结合，求解，即可解题． 【详解】解：（1）①，，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； 故答案为：． ②不变， ，， ， 点C和点D分别是的中点， ， ； （2）①射线和射线分别平分和， ， 则 ， ，， ， ， 故答案为：； ②由①同理可知，， ，， ， 解得， ， ． （3），， ， ， ，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段的和与差，线段中点的定义，角平分线定义，角的和差，解题的关键在于灵活运用相关知识． 10．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图题，尺规作一个角等于已知角，求一个角的余角，解题关键是掌握上述知识点． （1）通过作或的垂线即可； （2）为的正方形的对角线，过点找到类似的线即可． 【详解】（1）解：如图， ，， ，， 所以与即为所求作； （2）如图，点、、都满足要求． 11．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ， ； （2）解：， ； （3）解：，理由如下： ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13角暑假预习讲义 ①识记：掌握角的静态、动态两种定义，熟知角三种规范表示方法，能区分平角、周角、直角、锐角、钝角。 ②换算：牢记度、分、秒进制为60进制，熟练完成度转度分秒、度分秒换算成度两类基础运算。 ③度量：学会量角器量角、直尺量角器画指定度数角的操作步骤，读数时规避内外圈刻度看错的问题。 ④辨析：精准理解余角、补角定义，明确互余两角和为90°、互补两角和为180°，可快速判定两角是否互余、互补。 ⑤计算：已知任意角度，能够列式求解它的余角度数、补角度数；熟练完成余角、补角相关角度综合计算题。 ⑥定理：吃透核心定理：同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，并能运用定理推理、证明角度相等。 ⑦作图：掌握角平分线定义，能用尺规简单作角平分线，明确角平分线拆分出的两个角度数值相等。 ⑧比较：掌握叠合法、度量法两种角的大小比较方式，可对多个角进行大小排序。 ⑨避错：规避常见易错点，度分秒换算误用10进制、忽略互余互补只看数量关系不限位置、混淆角平分线相关数量关系。 ⑩素养：建立角度量化思维，夯实角度计算基础，为后续相交线、三角形相关几何计算做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.平角与周角的定义 3.角的表示方法 4.角的度量 5.角的分类 6.比较角的大小 7.用度量器作一个角的已知角 8.角的核心运算 9.余角与补角 10.高频易错点汇总 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.钟面角 常考题型 精讲精练 5.方向角的表示 6.与方向角的表示 7.角的单位与角度制 8.角的度数大小比较 9.角的比较 10.三角板中角度计算问题 11.几何图形中角度计算问题 12.角度的四则运算 13.实际问题中角度计算问题 14.尺规作一个角等已知角 15.角平分线的有关计算 16.角n等分线的有关计算 17.求一个角的余角 18.求一个角的补角 19.与余角.补角有关的计算 20.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题11题 知识点01：角的定义 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。公共端点叫角的顶点，两条射线叫角的两条边。 动态定义：一条射线绕着它的端点旋转到另一位置所形成的图形。起始射线叫始边，终止射线叫终边。 关键点：角的两条边是射线，可无限延伸。 知识点02：平角与周角的定义 一条射线绕着它的端点旋转，当终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 1 所示；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角，如图 2 所示。 知识点03：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点04：角的度量（基础核心，无复杂计算） 度量单位：度（°）、分（′）、秒（″） ，遵循 “六十进制”（和时间换算一致，易理解）。 换算关系（必背，考试直接考）：1∘=60′，1′=60′′，1∘=3600′′（简单记：大单位换小单位乘 60，小单位换大单位除以 60）。 度量工具：用直尺配套的量角器，测量时注意 “顶点对齐量角器中心、一条边对齐 0 刻度线”，避免读错刻度。 知识点05:角的分类 角的类型 度数范围 核心特征 简单举例 锐角 大于0∘，小于90∘ 开口小，尖尖的 三角尺上的30∘、45∘角 直角 正好等于90∘ 两条边互相垂直，有直角符号 “┐” 课本的角、黑板的角 钝角 大于90∘，小于180∘ 开口比直角大，比平角小 张开的剪刀形成的角 平角 正好等于180∘ 两条边在同一直线上，方向相反 一条直线上的角（如直尺的边缘） 周角 正好等于360∘ 两条边完全重合，形成一个完整的圆 钟表一圈的角度 补充说明 平角、周角仅作基础了解，不深入考查计算，重点掌握前 3 种（锐角、直角、钝角）。 易错点：平角不是 “一条直线”，而是 “两条反向射线组成的角”，考试常考辨析。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点07：用度量器作一个角等于已知角 知识点08:角的核心运算（基础易懂，无复杂步骤） （一）角的和差运算 核心逻辑：两个角可以直接相加、相减，结果仍为角（单位统一为度、分、秒）。 示例：∠1=30∘20′，∠2=25∘40′，则∠1+∠2=56∘，∠1−∠2=4∘40′（注意分的加减，满 60 进 1、不够减借 1 当 60）。 （二）角的平分线（高频考点） 定义：从角的顶点出发，画一条射线，把这个角分成两个完全相等的小角，这条射线就是角的平分线。 核心结论：若 OC 是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（简单记：平分就是 “平均分”，两个小角相等）。 易错提醒：平分线是 “射线”，不是线段，没有长度，只表示平分角度的位置。 知识点09：余角与补角 1. 定义 互余：两个角和为90，称这两个角互为余角； 互补：两个角和为180，称这两个角互为补角。 2. 核心性质 同角（等角）的余角相等； 同角（等角）的补角相等。 3. 关键提醒 互余、互补只看度数和，与位置无关，不需要相邻。 知识点10：高频易错点 1.用单个字母表示角时，顶点多个角不能只用顶点字母； 2.度分秒是 60 进制，误当成 10 进制换算； 3.平角、周角误认为直线、射线（角有顶点，直线没有）； 4.互余只适用于锐角，钝角没有余角；任意角都有补角； 5.方位角顺序写反，写成东偏北、西偏南； 6.角平分线计算倍数关系颠倒。 题型1.角的概念理解 【典例】下图中几何图形共有________个角． 【跟踪专练1】图中有______个角． 【跟踪专练2】下列关于角的说法正确的有________（填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【跟踪专练3】如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型2.角的表示方法 【典例】如图，给出画有弧线的角的表示方法： ①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的有____________（填序号）。 【跟踪专练1】下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A．B． C．D． 【跟踪专练2】如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【跟踪专练3】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 题型3.角的分类 【典例】1周角=______平角，3平角=______直角． 【跟踪专练1】一个钝角与一个锐角的差是（   ） A．锐角 B．钝角 C．锐角或直角 D．不能确定 【跟踪专练2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 题型4.钟面角 【典例】早上8点30分，时针与分针的夹角为_____． 【跟踪专练1】如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】时钟9点35分时，分针和时针之间形成的角的大小为__________． 【跟踪专练3】小明周二晚上6点55分做完数学作业，此时钟表的时针和分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 题型5.方向角的表示 【典例】如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【跟踪专练1】某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【跟踪专练2】某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【跟踪专练3】指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 题型6.与方向角的表示 【典例】如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【跟踪专练1】如图，有三个地点，测得，地在地北偏东的方向上，那么地在地的（     ） A．南偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏西的方向上 D．北偏西的方向上 【跟踪专练2】一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【跟踪专练3】如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 题型7.角的单位与角度制 【典例】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【跟踪专练1】若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练2】___________度． ______º_____ _____． 【跟踪专练3】下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型8.角的度数大小比较 【典例】已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【跟踪专练1】如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，那么_________（填“”“”或“”）． 【跟踪专练3】如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 题型9.角的比较 【典例】．若，，则________．（填“”或“”或“”） 【跟踪专练1】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图是的正方形网格，点A，B，C，D，O均为格点，则________（填“”或“”或“”）． 【跟踪专练3】在每个小正方形的边长为的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，和的顶点均在格点上，试比较与的大小关系（　　） A． B． C． D．无法确定 题型10.三角板中角度计算问题 【典例】将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为_____． 【跟踪专练1】如图，一块三角尺中的与另一块三角尺的叠放在一起，使顶点与重合，角边与角边重合，角边与在重合一边的同侧，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，若比的4倍还大，则______． 【跟踪专练3】将一块含有的等腰直角三角板按照如图方式摆放，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型11.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，直线，相交于点，，若，则_________． 【跟踪专练1】一束光从空气斜射入水中，入射光线和折射光线如图所示，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【跟踪专练3】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 题型12.角度的四则运算 【典例】计算：_____________． 【跟踪专练1】若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】______，____°____′____′′． 【跟踪专练3】下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 题型13.实际问题中角度计算问题 【典例】如图，把一个蛋糕等分成8份，每份的圆心角度数是________． 【跟踪专练1】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【跟踪专练3】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 题型14.尺规作一个角等已知角 【典例】如图，，根据尺规作图的痕迹，的度数为____ 【跟踪专练1】如图，点在的边上，需要用尺规作．以下是作图步骤，其正确的顺序是（    ） ①作射线，则就是所求作的角． ②以为圆心，长为半径画弧，交于点． ③以M为圆心，长为半径画弧，交弧于点D． ④以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，． A．①→②→③→④ B．②→④→①→③ C．④→②→③→① D．④→③→②→① 【跟踪专练2】如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【跟踪专练3】如图，观察图中的尺规作图痕迹，下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 题型15.角平分线的有关计算 【典例】如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【跟踪专练1】如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则____________；若是的平分线，是的平分线，则____________． 【跟踪专练3】如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型16.角n等分线的有关计算 【典例】已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【跟踪专练1】，射线是它的四等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________． 【跟踪专练3】已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 题型17.求一个角的余角 【典例】已知，则的余角是______． 【跟踪专练1】如果一个角的补角是，那么这个角的余角是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个锐角是，它的余角是________度． 【跟踪专练3】将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆放中∠1与∠2互为余角的是（     ） A． B． C． D． 题型18.求一个角的补角 【典例】已知，则的补角是________°． 【跟踪专练1】已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，则的补角为__________． 【跟踪专练3】已知与互补，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型19.与余角.补角有关的计算 【典例】已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【跟踪专练1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日贵阳市正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为__________． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使和互余的摆放方式是（     ） A． B． C． D． 题型20.同等角的余补角相等的应用 【典例】在括号中填写推理的依据： 是的余角，是的余角， ____________． 【跟踪专练1】已知和互为补角，和互为补角．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则、、三个角的数量关系为________． 【跟踪专练3】如图，已知，且，则图中互为余角的共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 解答题 1．计算： (1)． (2)． 2．如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 3．在7点钟到8点钟之间，分针与时针什么时候成直线？ 4．已知小明的家在学校南偏东方向．如图，射线分别表示东、南、西、北方向，射线表示北偏东方向．如果点表示学校，画出从学校到小明家方向的射线． 5．如图，，过O点作射线． (1)请画出的平分线； (2)如果，射线、分别表示从点O出发东、西两个方向，那么射线表示_________方向； (3)在（1）的条件下，当时，在图中找出所有与互补的角，并说明理由． 6．把一副三角板的直角顶点O重合在一起． (1)如图①，当平分时，求与的和； (2)如图②，当不平分时，与有什么关系？请说明理由； (3)若的余角的4倍等于，的度数是多少？ 7．综合实践：【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，学习小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点． (1)①填空：如图1，若，则的度数是_________，的度数是_________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请说明理由． 8．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 9．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是的中点． ①若，则_________； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，则_________度； ②若，，求的值； （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，，则的度数为_________．（用含有、的式子表示） 10．图①、图②均是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点在格点上，格点在边上，按下列要求在给定的网格中画图： (1)在图①中画的一个余角； (2)在图②中射线的右侧画，使． 11．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $