专题2.6 有理数的乘方（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版七年级数学上学期培优讲义

专题2.6 有理数的乘方 【本节预习目标】 1.理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的相关概念，能准确识别乘方各部分的名称与含义。 2.掌握有理数乘方的符号法则，能熟练进行有理数的乘方运算，提升运算的准确率与规范性。 3.理解科学记数法的意义，会用科学记数法表示绝对值大于10的数，能将科学记数法表示的数还原为原数。 4.体会转化、分类、归纳的数学思想，能运用乘方知识解决生活、跨学科情境问题，发展数学运算与数学抽象核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数乘法 有理数乘法法则；多个有理数相乘的符号规律 乘方是特殊的乘法运算（相同因数连续相乘），乘方的符号法则可由乘法符号规律推导得出 有理数性质 有理数的分类；绝对值、相反数的意义与性质 乘方运算的符号判断依赖数的正负属性；偶次幂的非负性与平方、绝对值的非负性一致 大数认知 万、亿等计数单位换算；大数的读写与比较 科学记数法依托乘方形式简化大数的书写，是大数表示与运算的重要工具 知识点1：有理数的乘方 1.乘方的相关概念 定义：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 表示与读法：个相乘记作，其中叫做底数，叫做指数，读作“的次方”（或“的次幂”）。 补充约定：一个数可以看作它本身的1次方，指数1通常省略不写；一个数的二次方也叫平方，三次方也叫立方。 2.乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是。 >拓展性质：任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数）。 3.易混形式辨析：、与 对比项目 底数 运算意义 个相乘的积 个相乘的积的相反数 个相乘的积 为奇数时 与互为相反数 与相等 与相等 为偶数时 与相等 与互为相反数 与相等 知识点2：科学记数法 1.定义 一般地，一个绝对值大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 2.参数与的确定方法 参数 确定方法 示例 将原数的小数点移到左边第一个非零数字的后面，得到的数即为 60800000000中， 方法一：原数的整数位数减1； 方法二：原数的小数点向左移动的位数 60800000000是11位整数， 3.科学记数法的还原 将还原为原数时，把的小数点向右移动位，数位不足时用补齐。 示例：，。 【基础巩固题型】 【题型1】乘方的概念辨析与各部分识别 1.核心知识点 乘方的定义；底数、指数、幂的概念 2.解题方法技巧 ①识别底数时注意：负数、分数作为底数必须用括号括起，否则底数仅为数字部分； ②明确“平方”“立方”分别对应二次方、三次方，掌握特殊指数的名称； ③判断乘方意义时紧扣“个相同因数相乘”的本质，区分乘方与普通乘法。 【例题1】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【题型2】有理数乘方的基础运算 1.核心知识点 乘方的符号法则；乘方向乘法的转化 2.解题方法技巧 ①运算遵循“先定符号，再算绝对值”的原则，根据底数正负与指数奇偶判断幂的符号； ②带分数乘方先化为假分数，小数可化为分数再计算； ③牢记的乘方规律：的偶次幂为，奇次幂为，可快速简化计算。 【例题2】.（2026·天津和平·二模）计算的结果等于（   ） A． B．6 C． D．9 【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山西太原·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【变式题2-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型3】用科学记数法表示大数 1.核心知识点 科学记数法的定义；参数与的确定方法 2.解题方法技巧 ①先确定：保证，将小数点移到首位非零数字之后； ②再确定：用整数位数减1，或数小数点向左移动的位数； ③带“万”“亿”单位的数，先转化为原数再用科学记数法表示，避免单位换算错误。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆渝中·期末）2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）2026年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游客541400人次，实现旅游综合收入2.21亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法表示．下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为______________吨（用科学记数法表示）． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽宣城·期末）根据人民网报道，2025年宣城市生产总值突破2148亿元，按不变价格计算，同比增长6%，则2148亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【题型4】科学记数法的还原 1.核心知识点 科学记数法的逆运算；小数点移动规律 2.解题方法技巧 ①还原时将的小数点向右移动位，数位不足时在末尾补； ②负数还原时保留负号，仅对数字部分进行小数点移动； ③可通过“整数位数=”验证还原结果的合理性。 【例题4】.（2026·山西朔州·二模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【变式题4-1】.（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【变式题4-3】.（2026·重庆秀山·一模）某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（    ） A． B． C． D． 【题型5】数值转换机中的乘方运算 1.核心知识点 乘方与四则混合运算；程序逻辑理解 2.解题方法技巧 ①先读懂运算程序，理清输入、运算步骤、判断条件、输出的逻辑关系； ②代入输入值时严格遵循运算顺序：乘方优先级高于乘除，乘除高于加减； ③循环运算类题目逐次计算，直到满足输出条件，注意每一步计算的准确性。 【例题5】.（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【培优提升题型】 【题型6】乘方的末尾数字规律探究 1.核心知识点 乘方的个位数字循环规律；归纳推理思想 2.解题方法技巧 ①先计算低次幂的个位数字，找出循环周期； ②用指数除以周期，根据余数判断对应周期内的第几个数字； ③多个乘方相加的个位数字，分别求个位再相加，取结果的个位即可。 【例题6】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【题型7】乘方的实际情境应用（生活/跨学科） 1.核心知识点 乘方的实际意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①折纸、细菌分裂等问题抓住“每次翻倍”的特征，建立的乘方模型； ②结合生物、物理等跨学科背景，提取数量关系，转化为乘方运算求解； ③计算厚度、总数等实际量时注意单位换算，确保结果符合实际意义。 【例题7】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【变式题7-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在棋盘上的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米，………以此类推，放满整个棋盘就行． (1)国际象棋棋盘共有64个格子，则在第64格中应放________粒米（用幂表示）． (2)请探究第（1）问中的数的末位数字是多少（简要写出探究过程）． 【压轴素养题型】 【题型8】乘方背景下的进制转换问题 1.核心知识点 乘方的运算意义；多进制与十进制的互转规则 2.解题方法技巧 ①多进制转十进制：将各数位数字按权展开（对应基数的乘方），求和得到十进制数 ②十进制转多进制：采用短除取余法，除到商为0为止，倒序排列余数得到结果 【例题8】.（25-26七年级上·天津红桥·期末）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为( )3． 【变式题8-1】.（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·广东惠州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的，将二进制数1011转换为十进制的方法是：；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒序排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下： 我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒序排列就是对应的二进制数1011，即．依照前面的方法，则十进制数，则括号内应填写的数是__________． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【题型9】乘方背景下的新定义运算 1.核心知识点 乘方的运算本质；新定义的理解与转化 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则，将新运算转化为常规的乘方与四则运算； ②按照运算优先级逐步计算，注意括号与符号的处理； ③含参数的新定义方程，先代入规则整理，再根据乘方的意义求解参数。 【例题9】.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【变式题9-1】.（23-24七年级下·广东河源·期末）定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作． (1)根据D数的定义，填空： ， ． (2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示） 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 易错点 1、底数判断错误：负数、分数作为底数时遗漏括号，错误将当作计算，或混淆与的运算结果。 2、符号判断失误：负数乘方时忽略指数奇偶性对符号的影响，偶次幂算成负数、奇次幂算成正数；混淆负号在括号内、外的不同意义。 3、科学记数法参数错误：确定时不满足的范围；计算时数错整数位数或小数点移动位数，带单位的数未换算就直接记数。 4、非负性应用疏漏：忽略偶次幂的非负性前提，或多个非负数和为0时，漏解某个非负数为0的条件。 重点 1、有理数乘方的意义与符号法则，能准确进行乘方运算，正确区分易混的乘方形式。 2、科学记数法的表示与还原方法，能规范表示大数并进行简单的相关计算。 3、偶次幂的非负性，能结合非负性解决简单的代数式求值问题。 难点 1、乘方的规律探究问题，包括末尾数字规律、数值变化规律的归纳与灵活应用。 2、乘方的简便运算，以及乘方与其他知识点结合的综合应用问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6 有理数的乘方 【本节预习目标】 1.理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的相关概念，能准确识别乘方各部分的名称与含义。 2.掌握有理数乘方的符号法则，能熟练进行有理数的乘方运算，提升运算的准确率与规范性。 3.理解科学记数法的意义，会用科学记数法表示绝对值大于10的数，能将科学记数法表示的数还原为原数。 4.体会转化、分类、归纳的数学思想，能运用乘方知识解决生活、跨学科情境问题，发展数学运算与数学抽象核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知内容 本节新知关联 有理数乘法 有理数乘法法则；多个有理数相乘的符号规律 乘方是特殊的乘法运算（相同因数连续相乘），乘方的符号法则可由乘法符号规律推导得出 有理数性质 有理数的分类；绝对值、相反数的意义与性质 乘方运算的符号判断依赖数的正负属性；偶次幂的非负性与平方、绝对值的非负性一致 大数认知 万、亿等计数单位换算；大数的读写与比较 科学记数法依托乘方形式简化大数的书写，是大数表示与运算的重要工具 知识点1：有理数的乘方 1.乘方的相关概念 定义：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 表示与读法：个相乘记作，其中叫做底数，叫做指数，读作“的次方”（或“的次幂”）。 补充约定：一个数可以看作它本身的1次方，指数1通常省略不写；一个数的二次方也叫平方，三次方也叫立方。 2.乘方的符号法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 的任何正整数次幂都是。 >拓展性质：任意有理数的偶次幂都是非负数，即对于任意有理数，都有（为正整数）。 3.易混形式辨析：、与 对比项目 底数 运算意义 个相乘的积 个相乘的积的相反数 个相乘的积 为奇数时 与互为相反数 与相等 与相等 为偶数时 与相等 与互为相反数 与相等 知识点2：科学记数法 1.定义 一般地，一个绝对值大于10的数可以表示成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 2.参数与的确定方法 参数 确定方法 示例 将原数的小数点移到左边第一个非零数字的后面，得到的数即为 60800000000中， 方法一：原数的整数位数减1； 方法二：原数的小数点向左移动的位数 60800000000是11位整数， 3.科学记数法的还原 将还原为原数时，把的小数点向右移动位，数位不足时用补齐。 示例：，。 【基础巩固题型】 【题型1】乘方的概念辨析与各部分识别 1.核心知识点 乘方的定义；底数、指数、幂的概念 2.解题方法技巧 ①识别底数时注意：负数、分数作为底数必须用括号括起，否则底数仅为数字部分； ②明确“平方”“立方”分别对应二次方、三次方，掌握特殊指数的名称； ③判断乘方意义时紧扣“个相同因数相乘”的本质，区分乘方与普通乘法。 【例题1】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 【变式题1-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·山西晋中·期末）的4次幂应记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数乘方的表示方法，熟练掌握乘方的书写是解题的关键，根据乘方中底数与指数的对应关系即可得到答案． 【详解】解：∵求的4次幂，是将作为底数，4作为指数， ∴应记为， 故选：C． 【题型2】有理数乘方的基础运算 1.核心知识点 乘方的符号法则；乘方向乘法的转化 2.解题方法技巧 ①运算遵循“先定符号，再算绝对值”的原则，根据底数正负与指数奇偶判断幂的符号； ②带分数乘方先化为假分数，小数可化为分数再计算； ③牢记的乘方规律：的偶次幂为，奇次幂为，可快速简化计算。 【例题2】.（2026·天津和平·二模）计算的结果等于（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【详解】解：表示个相乘， ． 【变式题2-1】.（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·山西太原·期中）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负． 【详解】∵是偶数，根据乘方运算规则，的偶次幂结果为， ∴． 故选：B． 【变式题2-3】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型3】用科学记数法表示大数 1.核心知识点 科学记数法的定义；参数与的确定方法 2.解题方法技巧 ①先确定：保证，将小数点移到首位非零数字之后； ②再确定：用整数位数减1，或数小数点向左移动的位数； ③带“万”“亿”单位的数，先转化为原数再用科学记数法表示，避免单位换算错误。 【例题3】.（25-26八年级下·重庆渝中·期末）2026长安汽车重庆马拉松于1月18日8：30在南滨路、巴滨路开跑，来自全球各地的25000名跑友齐聚重庆，以赛阅城，用奔跑一览重庆的山水人文，数据25000用科学记数法可表示为___________． 【答案】 【详解】将用科学记数法表示，把小数点向左移动位，得到，满足，，因此． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·湖南株洲·期末）2026年“五一”假期期间，某市中型城市动物园累计接待游客541400人次，实现旅游综合收入2.21亿元．为便于数据上报与媒体发布，需将游客人数用科学记数法表示．下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 【变式题3-2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）我国渤海、黄海、东海、南海海水含有不少化学元素，其中铝、锰元素总量均约为8000000吨，则铝、锰元素总量的和约为______________吨（用科学记数法表示）． 【答案】 【详解】解：吨． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·安徽宣城·期末）根据人民网报道，2025年宣城市生产总值突破2148亿元，按不变价格计算，同比增长6%，则2148亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：2148亿． 【题型4】科学记数法的还原 1.核心知识点 科学记数法的逆运算；小数点移动规律 2.解题方法技巧 ①还原时将的小数点向右移动位，数位不足时在末尾补； ②负数还原时保留负号，仅对数字部分进行小数点移动； ③可通过“整数位数=”验证还原结果的合理性。 【例题4】.（2026·山西朔州·二模）中国自主研发建造的“长益号”超大型集装箱船，该舰的最大载重量为吨，这个用科学记数法表示的数据的原数为（   ） A．24200吨 B．242000吨 C．2420吨 D．2420000吨 【答案】B 【分析】根据科学记数法的定义，将（n为正整数）还原时，把a的小数点向右移动n位即可得到原数． 【详解】解：∵给定数为，其中， ∴将2.42的小数点向右移动5位，可得原数为242000， 即原数为242000吨，对应选项为B． 【变式题4-1】.（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题． 【详解】解：， 数原数可得，原数中0的个数为7． 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河南周口·期中）北斗卫星导航系统是中国自主研发的全球卫星导航系统，其定位精度达到米级甚至厘米级．其中一种信号的传输速度约为米/秒，还原原数表示为（    ） A．30000000 B．300000000 C．0.00000003 D．0.000000003 【答案】B 【详解】解：． 【变式题4-3】.（2026·重庆秀山·一模）某劳动实践基地2025年第一季度共接待参加劳动实践人数约为人，这个数的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，根据科学记数法的规则，对，将的小数点向右移动位即可得到原数． 【详解】． 【题型5】数值转换机中的乘方运算 1.核心知识点 乘方与四则混合运算；程序逻辑理解 2.解题方法技巧 ①先读懂运算程序，理清输入、运算步骤、判断条件、输出的逻辑关系； ②代入输入值时严格遵循运算顺序：乘方优先级高于乘除，乘除高于加减； ③循环运算类题目逐次计算，直到满足输出条件，注意每一步计算的准确性。 【例题5】.（24-25七年级上·湖南·期中）按如图所示的程序进行计算，则输出的结果为______． 【答案】160 【分析】按照框图的计算顺序进行计算即可． 【详解】解：把40输入得： ， 把80输入得： ， ∴输出结果为：160． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·广西贵港·期中）根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·四川达州·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是8，第1次输出的结果是5，依次继续下去，……，第2028次输出的结果是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的运算、数字规律的探究以及周期问题的求解，熟练掌握运算程序的规则并能找出循环周期是解题的关键． 先根据运算程序依次计算前几次的输出结果，找出循环规律，再用总次数除以循环周期，根据余数确定第2028次输出的结果． 【详解】解：第1次输出：； 第2次输出：； 第3次输出：； 第4次输出：； 第5次输出：； 第6次输出：； 第7次输出：； 第8次输出：； 第9次输出：； ．．． 从第4次开始，输出结果按，，循环，周期为3； ，余数为0，对应循环中的第3个数； 故答案为：4． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·湖南娄底·期末）如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是（  ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，关键是根据输入值的类型(整数或分数)选择对应的运算，再判断运算结果是否为奇数，若不是则循环执行，直到结果为奇数时输出． 【详解】解：输入，是整数，执行运算， 是分数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是分数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； ∵是整数，执行运算， 是整数，不满足“结果为奇数”的条件，继续执行运算； 是整数，执行运算， 是奇数，满足“结果为奇数”的条件，输出结果； 故选：A． 【培优提升题型】 【题型6】乘方的末尾数字规律探究 1.核心知识点 乘方的个位数字循环规律；归纳推理思想 2.解题方法技巧 ①先计算低次幂的个位数字，找出循环周期； ②用指数除以周期，根据余数判断对应周期内的第几个数字； ③多个乘方相加的个位数字，分别求个位再相加，取结果的个位即可。 【例题6】.（25-26七年级上·安徽宿州·期中）计算，，，，，…归纳计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是______． 【答案】1 【分析】本题主要考查数字规律，通过计算的个位数字，发现其规律为以1、3、7、5每4个循环一次，根据2025除以4的余数，可确定的个位数字． 【详解】解：，，，，，… 可以发现：个位数字依次为1、3、7、5，每4个循环一次， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为1． 故答案为：1． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下列等式：，…．归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是________． 【答案】4 【分析】根据题意，得出的个位数字的变化规律即可解决问题. 【详解】解：由题意可得： 所以的个位数字按循环. 又因为 所以的个位数字是4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了数字变化规律及尾数特征，解题的关键是根据题意得到个位数字按照循环. 【变式题6-2】.（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． 【题型7】乘方的实际情境应用（生活/跨学科） 1.核心知识点 乘方的实际意义；数学建模思想 2.解题方法技巧 ①折纸、细菌分裂等问题抓住“每次翻倍”的特征，建立的乘方模型； ②结合生物、物理等跨学科背景，提取数量关系，转化为乘方运算求解； ③计算厚度、总数等实际量时注意单位换算，确保结果符合实际意义。 【例题7】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 【变式题7-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期中）如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·全国·单元复习）如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：    (1)这样的一个细胞经过2小时后可分裂成多少个细胞？ (2)这样的一个细胞经过多少小时后可分裂成64个细胞？ 【答案】(1)16 (2)3 【分析】（1）根据题意，2小时是4个30分钟，从而得到答案； （2）根据题意，得到规律，设经过个30分钟得到64个细胞，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：经过2小时，即第4个30分钟后，可分裂成个细胞， 经过2小时后，可分裂成16个细胞； （2）解：根据题意，一个细胞第1个30分钟分裂成2个，即个细胞； 第2个30分钟分裂成4个，即个； … 依此类推，第个30分钟分裂为个细胞； ，解得， 经过6个30分钟，即3小时后可分裂成64个细胞． 【点睛】本题考查幂的应用，熟记幂的相关定义及计算是解决问题的关键． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在棋盘上的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米，………以此类推，放满整个棋盘就行． (1)国际象棋棋盘共有64个格子，则在第64格中应放________粒米（用幂表示）． (2)请探究第（1）问中的数的末位数字是多少（简要写出探究过程）． 【答案】(1) (2)8，过程见解析 【分析】本题考查了规律型数字的变化．解答本题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的2倍，即． （1）观察发现，第个格子里的米粒数是为底数，作为指数，带入对应格子数即可； （2）通过计算可以看出，个位数是以项为一组循环的，用除以，余数是几就与第几项的个位数相同． 【详解】（1）解：观察发现第个格子里的米粒数是粒， ∴第64格的米粒数是； （2）解：∵，，，，，，，，…， ∴幂的值的末位数字以2，4，8，6为循环． 又∵， ∴的末位数字是8． 【压轴素养题型】 【题型8】乘方背景下的进制转换问题 1.核心知识点 乘方的运算意义；多进制与十进制的互转规则 2.解题方法技巧 ①多进制转十进制：将各数位数字按权展开（对应基数的乘方），求和得到十进制数 ②十进制转多进制：采用短除取余法，除到商为0为止，倒序排列余数得到结果 【例题8】.（25-26七年级上·天津红桥·期末）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为( )3． 【答案】100 【分析】本题考查乘方的应用，先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数即可解答． 【详解】解：二进制数转换为十进制数：， 十进制数9转换为三进制数：， 所以，二进制数化为三进制数为． 故答案为：100 【变式题8-1】.（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·广东惠州·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制一般不标注基数．不同进位制的数之间是能相互转换的，将二进制数1011转换为十进制的方法是：；将十进制数11转换为二进制可以用这样的方法：除二取余，倒序排列．即：将一个十进制数11除以2，得到的商再除以2，依此类推直到商等于1或0时为止，倒取除二产生的余数，就为换算为二进制数的结果．具体如下： 我们能看到十进制数11除以2得到的余数依次为1，1，0，1，倒序排列就是对应的二进制数1011，即．依照前面的方法，则十进制数，则括号内应填写的数是__________． 【答案】1000100 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，根据题中所给十进制数转化为二进制数的方法，进行计算即可． 【详解】解：由题知， 所以十进制数68转化为二进制数为：1000100，即． 故答案为：1000100． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东江门·期末）【综合与实践】进位制的认识与探究． 生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例如：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例如：二进制数转化成十进制数：.其他进制也有类似的算法⋯⋯ 【体验领悟】（1）根据以上信息，将二进制数“1010”转化为十进制数是__________； 【理解运用】（2）计算：，和的结果用十进制数表示； 【拓展延伸】（3）在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．（结果用十进制数表示） 【答案】（1）10；（2）25；（3）69天 【分析】本题考查有理数乘方的应用，理解二进制、五进制的意义是解题的关键． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）分别将和转化为十进制数，相加即可； （3）仿照二进制数转化成十进制数的方法计算． 【详解】解：（1）， 故答案为：10； （2） ； （3）由题意知，图示中的五进制数为， ， 即孩子已经出生69天． 【题型9】乘方背景下的新定义运算 1.核心知识点 乘方的运算本质；新定义的理解与转化 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则，将新运算转化为常规的乘方与四则运算； ②按照运算优先级逐步计算，注意括号与符号的处理； ③含参数的新定义方程，先代入规则整理，再根据乘方的意义求解参数。 【例题9】.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【答案】(1)答案不唯一，合理即可， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键； （1）举例，结合乘方运算的含义可化为，即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳，再模仿证明即可； （3）把化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：（其中为正整数）； 证明： （3）解： ； 【变式题9-1】.（23-24七年级下·广东河源·期末）定义：如果（m，n为正数），那么我们把m叫做n的D数，记作． (1)根据D数的定义，填空： ， ． (2)D数有如下运算性质：，、其中q＞p．根据运算性质，计算： ①若，求； ②若已知，，试求，的值（用a、b、c表示） 【答案】(1)， (2)①  ②， 【分析】本题主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力. （1）根据新定义进行求解即可； （2）①先计算出，然后代入计算即可；②转化为， 然后代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ， ， ， 故答案为:，； （2） ， ， ； ， ； ． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如果，那么为的“劳格数”，记为．例如：，，，，，． (1)根据定义，填空：________，________． (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m，n为正数，则，． ①根据运算性质，填空：________； ②若，分别计算，． 【答案】(1)4； (2)①；②， 【分析】（1）根据定义，找到10的多少次方等于对应数，这个指数就是劳格数； （2）①利用除法性质，拆分计算； ②把4、8拆成2相乘的形式，用乘法性质展开计算． 【详解】（1）解：， ； ， ． （2）解：①； ②， ， ． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 易错点 1、底数判断错误：负数、分数作为底数时遗漏括号，错误将当作计算，或混淆与的运算结果。 2、符号判断失误：负数乘方时忽略指数奇偶性对符号的影响，偶次幂算成负数、奇次幂算成正数；混淆负号在括号内、外的不同意义。 3、科学记数法参数错误：确定时不满足的范围；计算时数错整数位数或小数点移动位数，带单位的数未换算就直接记数。 4、非负性应用疏漏：忽略偶次幂的非负性前提，或多个非负数和为0时，漏解某个非负数为0的条件。 重点 1、有理数乘方的意义与符号法则，能准确进行乘方运算，正确区分易混的乘方形式。 2、科学记数法的表示与还原方法，能规范表示大数并进行简单的相关计算。 3、偶次幂的非负性，能结合非负性解决简单的代数式求值问题。 难点 1、乘方的规律探究问题，包括末尾数字规律、数值变化规律的归纳与灵活应用。 2、乘方的简便运算，以及乘方与其他知识点结合的综合应用问题。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $