第7章 §3 频率与概率(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是(　　) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 解析　北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，故只有A不正确． 答案　BCD 2．(2025·江西吉安高一检测)在一个不透明的布袋中，装有红色、黑色、白色的玻璃球(除颜色外其他完全相同)，共有40个．小明通过多次摸球试验后，发现摸到红色、黑色的玻璃球的频率分别稳定在0.15和0.45.据此估计袋中白色的玻璃球的个数是(　　) A．13　　　　　　　　 B．16 C．18 D．20 解析　根据频率与概率的关系，知摸到红色、黑色的玻璃球的概率分别为0.15,0.45，所以估计袋中红色的玻璃球的个数为40×0.15＝6，黑色的玻璃球的个数为40×0.45＝18，故估计白色的玻璃球的个数为40－6－18＝16. 答案　B 3．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通A品牌出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色．该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆A品牌出租车，3000辆B品牌出租车，乙公司有3000辆A品牌出租车，100辆B品牌出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理(　　) A．甲公司 B．乙公司 C．甲与乙公司 D．以上都对 解析　该市两家出租车公司共有A品牌出租车3100辆，则甲公司出租车肇事的概率为P＝＝，乙公司出租车肇事的概率为P＝＝，显然乙公司肇事的概率远大于甲公司肇事的概率．故认定乙公司肇事较合理．故选B. 答案　B 4．从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量(单位：g)分别为492,496,494,495,498,497,503,506,508,507,497,501,502,504,496,492,496,500,501,499.根据抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为________． 解析　质量在497.5～501.5 g之间的食品有5袋，所以其频率为＝0.25，由此可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25. 答案　0.25 5．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150,151,152,160,165,164,179,149,158,159,175. 根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为__________(用分数表示)． 解析　从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm～170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为. 答案　 6．如下图，从A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表： 所用时间 分组/分 [10， 20) [20， 30) [30， 40) [40， 50) [50， 60] 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率． 解析　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用频率估计相应的概率为0.44. (2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率如下： 所用时间 分组/分 [10， 20) [20， 30) [30， 40) [40， 50) [50， 60] 选择L1 的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L2 的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1 [关键能力·综合提升] 7．(2025·广东东莞高一检测)敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况，某校设计如下调查方案：被调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一个球，看过颜色后放回，若抽到白球，则回答问题A，抽到红球，则回答问题B，且箱子中只有白球和红球． 问题A：你的生日的月份是否为偶数？(假设生日的月份为偶数的概率为) 问题B：你是否有在校使用手机？ 已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1000张有效答卷，其中有270张回答“是”．以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是(精确到0.01)(　　) A．0.09 B．0.12 C．0.20 D．0.27 解析　由题意可知，回答问题A的学生人数为1000×＝400，其中对问题A回答“是”的人数为400×＝200，回答问题B的学生人数为1000×＝600，其中对问题B回答“是”的人数为270－200＝70，因此，估计该校学生有在校使用手机的概率为≈0.12. 答案　B 8．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000 t生活垃圾．经分拣以后数据(单位：t)统计如下表，根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错误的是(　　) 分类 “厨余垃 圾”箱 “可回收 物”箱 “其他垃 圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B．居民生活垃圾投放错误的概率为 C．该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D．厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20 000 解析　厨余垃圾投放正确的概率为＝＝，故A正确；设居民生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示居民生活垃圾投放正确，事件的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以居民生活垃圾总量，即P()＝＝，所以P(A)＝1－＝，故B正确；因为“厨余垃圾”箱投放正确的概率为＝，“可回收物”箱投放正确的概率为＝，“其他垃圾”箱投放正确的概率为＝，所以该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“厨余垃圾”箱，故C不正确；因为厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均数为＝200，所以方差为×[(400－200)2＋(100－200)2＋(100－200)2]＝20 000，故D正确．故选C. 答案　C 9．某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，则该厂所产2500套座椅中大约有________套次品． 解析　设有n套次品，由概率的统计定义可知＝，解得n＝125.所以该厂所产2500套座椅中大约有125套次品． 答案　125 10．若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时，则视为合格品，否则视为不合格品．在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表： 分组/mm 频数 频率 [－3，－2) 0.10 [－2,1) 8 [1,2) 0.50 [2,3) 10 [3,4] 合计 50 1.00 (1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置； (2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间[1,3)内的概率； (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数． 解析　(1)如下表所示. 分组 频数 频率 [－3，－2) 5 0.10 [－2,1) 8 0.16 [1,2) 25 0.50 [2,3) 10 0.20 [3,4] 2 0.04 合计 50 1.00 (2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间[1,3)内的概率约为0.50＋0.20＝0.70. (3)设这批产品中的合格品数为x件， 依题意有＝， 解得x＝－20＝1980. 所以该批产品的合格品件数估计是1980件． [核心价值·探索创新] 11．受轿车在保修期内的维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，甲品牌车保修期为3年，乙品牌车保修期为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中分别随机抽取50辆，统计出轿车首次出现故障的时间数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现 故障的时 间x/年 (0， 1] (1， 2] (2， 3] [3， ＋∞) (0， 1] (1， 2] (2， ＋∞) 轿车数 量/辆 2 1 3 44 2 3 45 从该厂生产的甲、乙两种品牌轿车中各随机抽取一辆． (1)估计甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率(将频率视为概率)； (2)求保修期内恰有一辆轿车发生故障的概率． 解析　(1)设事件A，B，C分别表示事件甲品牌轿车首次出现故障发生在第1年，第2年和第3年之内，设事件D＝“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”． 因为A，B，C是互斥事件，其概率分别为 P(A)＝＝，P(B)＝，P(C)＝， 所以P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝，所以估计甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为. (2)同(1)可得乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为＋＝. 设事件E＝“保修期内恰有一辆轿车发生故障”，则P(E)＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$