吉林长春市实验中学2025-2026学年下学期第三学程考试高一数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年下学期第三学程考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为（ ） A． B． C． D． 2．某校高中部有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（ ） A．200 B．192 C．176 D．96 3．如图，在平行六面体中，为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 4．某高中2024年的高考考生人数是2023年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2023年和2024年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图： 下列结论正确的是（ ） A．该校2024年与2023年的本科达线人数比为6∶5 B．该校2024年与2023年的专科达线人数比为6∶7 C．2024年该校本科达线人数增加了80% D．2024年该校不上线的人数有所减少 5．在所在平面内一点满足：，则点是的（ ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 6．如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．测得到，的俯角和分别为，，到，的俯角分别为，，同时测得．则山顶，之间的距离为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知空间向量，，，则（ ） A．向量，，不是共面向量 B． C． D． 10．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ） A．甲、丙互斥 B．甲、乙对立 C．甲、乙相互独立 D．乙、丙相互独立 11．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ） A．平面 B．若点为棱上的动点，则的最小值为 C．直线与平面所成的角为 D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则角等于__________． 13．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，那么这个正三棱锥的体积等于__________． 14．记的外心为点，且，则的最小值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．（15题13分，16题、17题15分，18题、19题17分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在平行六面体中，，，，． （1）以，，为基底向量，表示向量、； （2）求证：； （3）求的长． 16．第33届世界大学生冬季运动会将于2027年1月15日至1月25日在中国长春-吉林举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于60分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取2人分享活动经验，求抽取的2人中至少有1人的成绩在的概率． 17．已知中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求的大小： （2）若是边的中点，且，求的取值范围． 18．某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛．已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为，，通过第二轮的概率分别为，（，），每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加． （1）若，求甲没有进入决赛的概率； （2）若，，求甲、乙均只通过一轮的概率； （3）设甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为，两人均进入决赛的概率为，若，求的值． 19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角为； （ⅰ）证明：平面平面； （ⅱ）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $