精品解析：河南信阳市淮滨县2025-2026学年高二下期期末考试数学试题

2025-2026学年下学期期末考试 高二数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数、排列数公式计算求解. 【详解】. 2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；残差平方和越小，相关性越强，即可得出选项. 【详解】相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丙的相关系数最大； 残差平方和越小，相关性越强，只有丙的残差平方和最小， 综上可知丙的试验结果体现了，两变量有更强的线性相关性. 3. 设随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以，， 所以. 4. 甲、乙、丙、丁等6人分成，两个小组，每组3人，要求甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则不同的分配方案有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】有指定名称的分组需分位置讨论；“两人不同组” 可反向转化为 “其中一人进入绑定组” 快速筛选有效组合. 【详解】分类 1：甲、乙同在 A 组 A 组已有甲、乙，还需 1 人，要求丙丁不同组，则丙、丁不能同时留在 B 组，因此第 3 人只能是丙或丁： 选丙：A 组 {甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成 B 组，满足丙丁不同组； 选丁：A 组 {甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成 B 组，满足丙丁不同组； 此分类共种分配方案； 分类 2：甲、乙同在 B 组 同理，B 组已有甲、乙，第 3 人只能是丙或丁： 选丙：B 组 {甲，乙，丙}，剩余丁、戊、己组成 A 组； 选丁：B 组 {甲，乙，丁}，剩余丙、戊、己组成 A 组； 此分类共种分配方案， 总方案数：种 5. 袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分步算总事件与符合条件的组合数，套用古典概型公式直接求解. 【详解】计算所有重卦的总数，每一爻有阳爻、阴爻2 种情况，一重卦有 6 个爻， 总基本事件数：， 计算恰有2个阳爻的重卦数，从6个爻里选2个位置放阳爻，剩下4个自动为阴爻， 组合数为：， 故所求概率. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数单调递增推出导函数恒成立，再结合三角恒等变换和换元进行不等式转化，最后分类进行参数分离，并利用对勾函数的单调性求最值即可得到参数范围. 【详解】根据题意，，因为在上单调递增，所以在上恒成立， 令，即在上恒成立. 当时，不等式显然成立； 当时，，由在上单调递减，得时，，所以； 当时，，由在上单调递减，得时，，所以. 故的取值范围是. 8. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设,利用余弦定理表示出，利用抛物线定义结合梯形中位线性质表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式化简，可求得答案. 【详解】由抛物线可得准线方程为，焦点， 设，因为点，在抛物线上，且满足 由余弦定理可得, 由抛物线定义可得到准线的距离等于 ，到准线的距离等于， 设为的中点，由梯形的中位线定理可得到准线的距离为， 则弦的中点到轴的距离， 故， 又， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 二、多项选择题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据： 骑行达人 非骑行达人 男 女 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联 B. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 D. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题目进行零假设，然后整理出列联表，进行卡方计算，即可根据独立性检验下结论来判断选项. 【详解】由题知，零假设：“骑行达人”与性别无关联， 则整理列联表如下： 骑行达人 非骑行达人 合计 男 女 合计 则， 因为， 所以零假设不成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联，C正确， 因为， 所以零假设成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关，D错误， 因为， 所以零假设成立， 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联，A正确，B错误. 10. 某出行平台为缓解X市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制．平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关．根据历史订单，X市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，．从X市高峰时段所有订单中随机抽取一单．（ ） A. 该订单乘客接受动态调价的概率为 B. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是工作通勤的概率为 C. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是接驳交通枢纽的概率为 D. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是其他的概率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由全概率公式以及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件表示“乘客接受动态调价”，事件表示“出行目的为工作通勤”，事件表示“出行目的为接驳交通枢纽”， 事件表示“出行目的为其他”，由题意可得，， ，，，， 对于A选项， ，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，故D正确. 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线方程转换成标准方程，确定，即可求解. 【详解】由，得， 即， 故， 所以双曲线的离心率. 13. 的展开式中常数项是________． 【答案】 【解析】 【分析】先写出二项式展开通项并化简的指数式，令的指数为求出的值，再将代回通项，结合组合数与系数运算算出常数项． 【详解】的展开式的通项是， 根据题意，得，解得， 所以，的展开式中常数项为． 14. 设为平面16个点构成的集合，点，记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，根据古典概型求相应的概率，进而可得期望. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，0，1，2，3，4， 依题意，可得，， ，，， 所以， 所以，的数学期望为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． 16. 一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． （1）求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为： 0 1 2 3 ． 【解析】 【分析】（1）先分别求出甲种抗病毒药物治愈人数1、2人的概率，以及乙种抗病毒药物治愈人数为0、1人的概率，再根据“甲类组”的定义，计算出一个试用组为“甲类组”的概率； （2）先根据（1）的结果求出时一个试用组为“甲类组”的概率，再根据二项分布的定义确定服从的分布，最后求出的分布列和期望. 【小问1详解】 设表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物治愈的有人”，，表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物治愈的有人”，． 依题意有，， ，． 故一个试用组为“甲类组”的概率 ． 【小问2详解】 由（1）可得，当时，一个试用组为“甲类组”的概率为， 所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 根据二项分布的性质，． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 【答案】（1） （2）①当时，，无极大值； ②当时，无极值； ③当时，，； ④当时，，. 【解析】 【分析】（1）本题考查导数几何意义，先代入参数得到具体函数，求导计算切点处导数值即切线斜率，再求出切点纵坐标，最后用点斜式求直线方程. （2）先求导，对导数通分和因式分解，根据定义域，比较分界点与的大小关系，分别按、、、四类分类讨论单调性，结合函数单调区间判断极大值点、极小值点，代入原函数求出极值. 【小问1详解】 当时，，，， ．所以，在处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 函数的定义域为，， ①当时，由，得，由，得， 故在上递增，在上递减， 所以，当时，取极小值，，无极大值； ②当时，由，在上递增，无极值； ③当时，由，得或，由，得，故在，上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取极大值，， 当时，取极小值，； ④当时，由，得或，由，得， 故在，上单调递增，在上单调递减， 当时，取极大值，． 当时，取极小值，． 综上所述， ①当时，，无极大值； ②当时，无极值； ③当时，，； ④当时，，. 【点睛】（1）题：方法归纳：求切线方程通常分三步：求导得斜率、代值求切点、点斜式化简. 易错归纳：对数运算化简出错；点斜式移项整理常数项符号失误. （2）题：方法归纳：含参导数极值通用步骤：求导因式分解、找导数零点、依据定义域对参数分段讨论单调性、判定极值点并求值. 易错归纳：忽略舍去负零点；分类讨论边界易遗漏；代入原函数计算极值时对数、二次项化简出错. 18. 十七世纪荷兰数学家费朗斯·范·舒腾首次系统发明圆锥曲线机械规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为，，转动杆一周的过程中始终有，记点的轨迹为曲线．点在线段的延长线上，且．过的直线与曲线交于，两点． （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求的方程； （2）记直线，的斜率为，，求证为定值； （3）过点作直线垂直于直线，在上任取一点，证明：直线，，的斜率成等差数列． 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率存在时，设， 联立，得． 显然， 设，，则，． 所以 ． 由已知，，，， 所以 ． 所以为定值． 当直线的斜率不存在时，直线垂直于轴，，可得，，即． 综上所述，为定值． （3）由已知直线的方程，设，则． 当直线的斜率存在时，有，， 所以 ． 此时有． 当直线的斜率不存在时，的方程为，代入椭圆方程，可得， 不妨设，，则，也有． 综上所述，直线，，的斜率成等差数列． 【解析】 【分析】（1）根据题中的几何条件，结合椭圆第一定义，即可判断轨迹类型并计算基础参数，从而写出其轨迹方程. （2）根据直线斜率是否存在分类讨论，直线斜率存在时，设直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，整理得；直线斜率不存在时，结合图象可得，即可证明. （3）将求证，，成等差数列转化为求证，根据直线斜率是否存在分类讨论，结合（2）中结论通分化简即可得证. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆． 其中，所以，又，则，所以， 所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． （1）若，，，求的值； （2）已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． （3）已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 【答案】（1）9 （2），． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中的条件计算可得答案； （2）先根据等差数列求得通项公式，再结合题中条件列出等式，解得参数的值； （3）先根据等比数列求得通项公式，结合题中条件利用错位相减法求得各项和； 【小问1详解】 依题意，， 【小问2详解】 因为是首项为9，公差为的等差数列，所以， 由，知，对任意都有， 即， 所以，， 即， 所以， 上式对任意成立，所以， ， 因为，，所以，， 即，． 【小问3详解】 因为是等比数列，设公比为，则， 依题意，，即，． ，． 由（2），． ，． ，① ，② ②－①，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末考试 高二数学 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两变量的线性相关关系做实验，并用回归分析方法求得相关系数与残差平方和如下表： 甲 乙 丙 丁 0.83 0.79 0.91 0.88 193 201 132 167 则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 设随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁等6人分成，两个小组，每组3人，要求甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，则不同的分配方案有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 5. 袋中有10个同样大小的球，其中有4个红球，6个白球，从中任取3个球，用表示取出红球的个数，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且满足，设弦的中点到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题（本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 据央视财经报道，全国骑行人数已达到亿．某机构对爱好骑行者进行了研究．若将每周骑行小时及以上的人称为“骑行达人”，每周骑行小时以下的人称为“非骑行达人”．该机构随机调查了名骑行爱好者，得到如下数据： 骑行达人 非骑行达人 男 女 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别无关联 B. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 D. 根据小概率值的独立性检验，认为“骑行达人”与性别有关联 10. 某出行平台为缓解X市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制．平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关．根据历史订单，X市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，．从X市高峰时段所有订单中随机抽取一单．（ ） A. 该订单乘客接受动态调价的概率为 B. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是工作通勤的概率为 C. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是接驳交通枢纽的概率为 D. 已知该订单乘客接受动态调价，其出行目的是其他的概率为 11. 已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（ ） A. B. C. D. 当面积最大时，的方程为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 双曲线的离心率为________． 13. 的展开式中常数项是________． 14. 设为平面16个点构成的集合，点，记样本空间．从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 16. 一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为、，现已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物．如果试用组中，甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为“甲类组”． （1）求一个试用组为“甲类组”的概率； （2）若，观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的分布列及期望． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的极值． 18. 十七世纪荷兰数学家费朗斯·范·舒腾首次系统发明圆锥曲线机械规，其中的一种如图1所示，四根等长的杆用铰链首尾连接，构成菱形．带槽杆长为，，转动杆一周的过程中始终有，记点的轨迹为曲线．点在线段的延长线上，且．过的直线与曲线交于，两点． （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求的方程； （2）记直线，的斜率为，，求证为定值； （3）过点作直线垂直于直线，在上任取一点，证明：直线，，的斜率成等差数列． 19. 若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列．已知数列是关于的一个积对称数列． （1）若，，，求的值； （2）已知是首项为9，公差为的等差数列，若，，求和． （3）已知是等比数列，若，，，对于（2）中的数列，求数列各项的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $