精品解析：黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高三下学期第一次调研考试数学试题

佳木斯一中2025-2026学年度高三学年第一次调研考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 ． 在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 解不等式可得或， 解得或，即，又已知. 对选项A：，故A错误. 对选项B： 取，但，故，故B错误. 对选项C： 对任意，都满足，符合中元素的取值要求，即，故，故C正确. 对选项D：，取，且，故，故D错误. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A，令，，则，函数为偶函数，故错误； C，令，，函数为奇函数，但在定义域上不单调，故错误； 方法一： B，令，，则，函数为奇函数， ，函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，则，函数为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： B，令，，则，函数为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，令，由，解得， ，，函数为奇函数， ∵和均是增函数，则为增函数， ∴函数在定义域内单调递增，故正确. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以，即， 所以，故，即， 可知，得， 所以，解得，， 故． 4. “”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，充分条件、必要条件判断即可. 【详解】由指数函数的单调性可知， 而不能推出，（例如时函数意义）， 又， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性分析可得到函数的一个周期，结合周期性运算求解即可. 【详解】是奇函数，则有， 令，则有， 又函数是定义在R上的偶函数，所以， 则有，即函数的一个周期为2. 所以. 故选：A 6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用正，余弦定理计算即可. 【详解】由题意知，， 在中，由余弦定理可知 ， 所以. 又由正弦定理可知，即， 所以. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求导数，利用单调性转化为，构造新函数求解的最小值即可. 【详解】，由题意可知在恒成立， 即恒成立， 设， 时，，为减函数； 时，，为增函数； 的最小值为，所以， 故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解： （1）在区间上单调递增等价于在区间上恒成立； （2）在区间上单调递减等价于在区间上恒成立. 8. 在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可. 【详解】由余弦定理得， 即， ， 所以或， 又，所以. 故选：C 【点睛】思路点睛：由余弦定理先求，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次式方程解方程即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断AB选项，利用基本不等式判断CD选项. 【详解】对于A，当时，有，A选项正确； 对于B，当时，有，B选项错误； 对于C，若，则， 当且仅当时等号成立，C选项正确； 对于D，， ， 则， 当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点．则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象利用五点法求函数的解析式.对于AB：代入检验即可；对于C：根据图象变换结合诱导公式分析判断；对于D：整理可得，以为整体，结合正弦函数图象运算求解即可. 【详解】由图可得：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，即， 且，可得，解得，则， 因为，可得， 且，则， 可得，解得， 所以. 对于选项A：因为， 所以函数的一个对称中心是，故A正确； 对于选项B：因为不为偶函数，故B错误； 对于选项C：将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到， 再向右平移个单位长度，得到， 即为函数，故C正确； 对于选项D：令，可得， 因为，则， 由正弦函数图象可知，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当在上有极大值时，的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，判断A；通过分析是否是的变号零点，判断是否是的极值点，判断B；利用导数，结合函数的奇偶性，分析函数的极值点个数，判断C；将在上有极大值时，转化为在上有解，求出的取值范围，判断D. 【详解】因为的定义域为，且，所以是奇函数，A正确． ，由，得．因为是偶函数，所以0不可能是的变号零点，所以0不可能是的极值点，B错误． 令，则． 当时，，所以，又，故； 当时，，，得. 所以在上单调递减． 当时，，当时，，则在上有1个变号零点，所以在上有1个极值点． 又是奇函数，所以有2个极值点．故可能有2个极值点，C正确． 当在上有极大值时，在上有解， 因为在上单调递减， 所以得，D错误． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分 12. 已知函数为偶函数，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数，确定为奇函数，进而可求解. 【详解】为奇函数， 当函数为偶函数时，函数为奇函数， 所以， 解得：．经验证符合题意， 故答案为： 13. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意可知,由，变形得， 即等价于，即； 令，因为，所以在上单调递增， 由，可得， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此，即得， 即实数的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 若函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而求出函数的最小正周期； （2）先求出的解析式，从而利用整体法求解函数的值域. 【小问1详解】 ， 则函数的周期为； 【小问2详解】 函数的图象向右平移得：， 因为，所以，故， 当时，，当时，， ，故函数的值域为... 16. 已知函数为定义在上的偶函数，且，. （1）若，求函数解析式； （2）求函数在的最小值； （3）若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式. （2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值. （3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可. 【小问1详解】 当时，，. 因为函数在上为偶函数，所以 当时，，则. 因此函数解析式为： . 【小问2详解】 当时，，这是开口向上的二次函数，对称轴为. 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，； 综上，函数在的最小值为： . 【小问3详解】 因为函数在有两个不同的零点， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合得到，利用辅助角公式得到，结合角的范围得到； （2）法一：由（1）中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围； 法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为， 所以，即； 【小问2详解】 法一：由及（1）知的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，. 由（1）知， 所以， 因为在上单调递增， 故，故， 故， 从而. 因此面积的取值范围是； 法二：因为，， 由余弦定理得，即，故， 为锐角三角形，则，即， 由①得，解得， 由②得，解得或（舍去）， 综上， 所以. 18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）0，1； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据不动点的定义及对数的运算求解即可； （2）令，则，将问题转化为在上有两个不同解，根据二次函数根的分布求解即可； （3）由题意可得，即有，从而得在上恒成立，利用换元法，结合指数函数，反比例型函数及对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 当时，， 令，则有， 所以， 即， 解得或， 经检验，和均满足题意； 所以函数的不动点为：0，1； 【小问2详解】 由题意可得， 即，在上有两个不同解， 令，则， 则问题转化为在上有两个不同解， 由二次函数根的分布可得， 解得， 所以实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为在上单调递减， 所以， 原不等式可化为， 即， 所以，即， 所以， 所以在上恒成立； 令，则， 则有在上恒成立， 因为在上单调递增， 所以； 在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）令， ． 由（2）可知，当时，， 则.所以 ． 因为，所以在上单调递增，所以， 即． 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数单调性，结合函数单调性求解即可. （2）构建新函数，利用局部保号性可求参数的取值范围. （3）构造，根据函数的导数以及单调性证明即可. 【小问1详解】 已知， 则． 令，即，则， 因为，所以，即，解得． 当时，，则，即， 所以在上单调递减． 当时，，则，即， 所以在上单调递增． 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 已知，由可得， 设，则， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故，总有，矛盾； 故， 而当时，， 设，则 ， 故在为增函数，故即， 故即原不等式成立. 综上，， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯一中2025-2026学年度高三学年第一次调研考试 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 ． 在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. “”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数是定义在R上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 2或4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的图象如图所示．下列说法正确的是（　　） A. 函数的一个对称中心是 B. 是偶函数 C. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 D. 函数在上有5个零点．则的取值范围为 11. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 0可能是的极值点 C. 可能有2个极值点 D. 当在上有极大值时，的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分 12. 已知函数为偶函数，则实数的值为_____． 13. 已知，则的值是______． 14. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 若函数 （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域． 16. 已知函数为定义在上的偶函数，且，. （1）若，求函数解析式； （2）求函数在的最小值； （3）若函数在有两个不同的零点，求m的取值范围. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 18. 对于函数，若，则称实数为函数的不动点，设函数，， （1）若，求函数的不动点； （2）若函数在区间上存在两个不动点，求实数的取值范围： （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若 ，求实数a的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $