第二章 专题强化二 动态平衡问题 平衡中的临界与极值问题 专项训练-2027届高三物理一轮复习讲义●分层对点训练（新高考通用）

该高中物理高考复习讲义聚焦相互作用中的动态平衡与临界极值问题，覆盖矢量三角形、正交分解、相似三角形等核心方法，整合绳杆弹簧转动、斜面提拉、叠块摩擦等经典模型，按考向预测、真题演练、核心梳理、考点突破、限时训练的逻辑构建复习体系。通过考点梳理明确动态平衡四法与临界极值条件，方法指导拆解矢量分析与临界判断范式，真题训练溯源高考命题逻辑，帮助学生系统突破缓慢移动受力变化、弹力摩擦极值等高频难点。 讲义以科学思维培养为核心，创新采用“模型建构+动态分析”教学策略，如用相似三角形法解析圆环小球受力变化，结合吊装器械等工程背景设计多弹簧复合结构情境，强化多力动态平衡的图像解读能力。设置基础、综合、拔尖三层限时训练，配合临界滑动双重条件分析等突破策略，有效提升学生物理观念与科学推理能力，为教师精准把控复习节奏、最大化备考效率提供实战支持。

第二章 相互作用——力 专题强化二　动态平衡问题　平衡中的临界与极值问题 复习导航 01 考向预测●明考向 对标核心素养，研判高考命题趋势 02 真题演练●悟高考 溯源真题逻辑，感知高考考向 03 核心梳理●明考点 筛出章节考点，划定复习侧重 04 考点突破●破重难 拆解核心考点，归纳解题范式 05 过关限时●练实战 限定答题时长，模拟考场实战 【考向预测●明考向】 专题强化二动态平衡、平衡临界与极值问题依托矢量三角形、正交分解、相似三角形三大解题方法，覆盖绳杆弹簧缓慢转动、斜面外力提拉、叠块静摩擦临界滑动、轻杆铰链支架等经典模型，核心考查缓慢移动动态受力变化、弹力摩擦力极值、物体刚好滑动/脱离接触面临界条件，常以多选中档题形式命题，也是力学综合大题的重要分析环节；近三年为本单元高频拉分专题，动态矢量分析、临界滑动问题每年轮换考查，多重约束叠加情境区分度高，考频稳定居高；预测2027年会强化多弹簧、多细绳复合结构的多力动态平衡分析，增加接触面弹力恰好为零、静摩擦达最大值双重临界叠加题型，结合吊装器械、倾斜传送、自锁斜面等工程生活新颖背景，融合图像定量计算力的变化范围，联动整体隔离法、牛顿第二定律，设置需要分类讨论外力取值区间、多解判断的综合性设问，同时拓展三力以上复杂体系动态平衡的图像解读与极值推导。 【真题演练●悟高考】 一、单选题 1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 2．（2020·海南·高考真题）如图，上网课时小明把手机放在斜面上，手机处于静止状态。则斜面对手机的（    ） A．支持力竖直向上 B．支持力小于手机所受的重力 C．摩擦力沿斜面向下 D．摩擦力大于手机所受的重力沿斜面向下的分力 3．（2020·全国III卷·高考真题）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°，则β等于（　　） A．45° B．55° C．60° D．70° 4．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 5．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 二、多选题 6．（2026·四川·高考真题）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（     ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 考点一　动态平衡问题 【核心梳理●明考点】 动态平衡是指物体的状态发生缓慢的变化，但在变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。常用解题方法:图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 考向　图解法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力(F1)大小方向均不变，另一个力(F2)方向不变，第三个力(F3)大小方向均变化。 2.方法:对物体进行受力分析，保持恒力(F1)位置不变，将方向不变的力(F2)延长，然后把第三个力平移过来，使三力构成首、尾相接的封闭三角形或将某力根据其作用力效果进行分解，画出平行四边形，比较不同的三角形或平行四边形，各力的大小及变化一目了然。 说明:第三个力若与方向不变的力垂直，则第三个力有最小值。 【考点通关●破重难】 例1 (2026·江苏苏州五中月考)如图所示，小球在F作用下处于静止状态。现保持夹角θ不变，将F逆时针缓慢转至竖直位置，在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A.力F一直减小 B.力F先减小后增大 C.细线弹力一直增大 D.细线弹力先增大后减小 【核心梳理●明考点】 考向　解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 【考点通关●破重难】 例2 (2026·江苏南京六校月考)如图所示，细线OC一端固定于天花板，另一端悬挂着一个光滑轻质定滑轮，小物块A置于斜面上，通过细线跨过滑轮与沙漏B连接，滑轮右侧细线与斜面平行，A、B、斜面始终处于静止状态，OC与竖直方向的夹角为θ，在B中的沙子缓慢流出的过程中(　　) A.A受到的细线拉力可能先减小后增大 B.A受到的摩擦力一定缓慢增大 C.细线OC的张力一定缓慢减小 D.细线OC与竖直方向的夹角θ可能增加 【核心梳理●明考点】 考向　相似三角形法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另外两个力的方向均发生改变，而且这两个力的夹角也发生改变;物体所受三个力的示意图可在实物上找到对应的位置和长度。 2.方法:将物体所受三个力首尾相连构成闭合三角形，寻找与力的三角形相似的几何三角形;利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化。 【考点通关●破重难】 例3 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　) A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小 C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小 考向　辅助圆法(正弦定理法) 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另两个力的大小、方向均发生变化，但变化的两力方向夹角保持不变。 2.辅助圆法:画出受力分析图，以恒力为弦作三力矢量三角形的外接圆，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 3.正弦定理法:如图所示， 物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即==。 【考点通关●破重难】 例4 如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，在其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直，MN被拉直无张力，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A.MN上的张力逐渐减小 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐减小 D.OM上的张力先增大后减小 考点二　平衡中的临界与极值问题 【核心梳理●明考点】 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见种类 (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法:根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。 (3)物理分析法:根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行四边形进行动态分析，确定最大值与最小值。 4.在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如:如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 【考点通关●破重难】 例5 (2026·江苏南京六校调研)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为2m，A、B的质量都为m，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求: (1)未拉A时，C受到B作用力的大小; (2)C从初始状态至恰好降到地面的过程中，A的位移大小; (3)动摩擦因数的最小值μmin。 例6 如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【过关限时●练实战】 （40分钟） A级　基础对点练 1.(2024·山东卷，2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　) A. B. C. D. 2.(2026·江苏常州五校联考)如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上，现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是(　　) A.Ff减小，FN不变 B.Ff增大，FN不变 C.Ff减小，FN增大 D.Ff不变，FN减小 3.(2026·江苏无锡锡东高级中学月考)如图所示，小球放在光滑的竖直墙与装有铰链的光滑薄板之间，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中(　　) A.墙对小球的支持力减小 B.薄板对小球的支持力增大 C.墙对小球的支持力先减小后增大 D.薄板对小球的支持力可能小于球的重力 4.(2026·江苏扬州高三开学考)某建筑工地通过如图所示的装置将工件运到楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得工件，在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中(　　) A.轻杆所受压力大小始终不变 B.轻杆所受压力先减小，后增大 C.工人手所受的拉力始终不变 D.工人手所受的拉力增大 5.(2025·河北卷，4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　) A.G B.G C.G D.G 6.两金属小球A、B用一轻质弹簧连接，球A用轻绳悬挂于O点，在水平拉力F的作用下，两小球处于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F逆时针缓慢转动30°，在此过程中，轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是(　　) A.轻绳的拉力先减小后增大 B.A、B两小球间的距离增大 C.力F先减小后增大 D.弹簧与竖直方向的夹角增大 7.如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当细线拉力最小时，推力F等于(已知重力加速度为g)(　　) A.mgcos α B.mgsin α C.mgcos 2α D.mgsin 2α 8.如图所示，光滑直杆OA、OB在O点由铰链固定，两杆间夹角θ(θ<90°)不变，在两杆上分别套上质量相等的小环P、Q，两小环由不可伸长的轻绳连接，初始时，杆OA竖直，现缓慢顺时针转动两杆至OB竖直，则在转动过程中(　　) A.杆对环P的弹力先变大后变小 B.杆对环Q的弹力一直变大 C.杆对环P的弹力一直变大 D.杆对环Q的弹力先变小后变大 B级　综合提升练 9.(2026·江苏南通通州高级中学月考)如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球(可视为质点)放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，有两种方式使小球到达容器口的P点:方式一是将挡板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P点;方式二是让挡板绕O点缓慢转动，使小球到达P点。下列说法正确的是(　　) A.方式一中，挡板对小球的弹力先减小后增大 B.方式一中，内壁对小球的弹力一直减小 C.方式二中，挡板对小球的弹力先减小后增大 D.方式二中，内壁对小球的弹力一直减小 10.(2026·江苏无锡期中)如图所示，弹性绳的一端固定在O点，另一端穿过光滑的小孔O1系着一物体，刚开始时物体静止在粗糙水平面上的A点。已知OO1的距离刚好等于弹性绳的原长，弹性绳的弹力遵从胡克定律，物体与水平面间的动摩擦因数一定。用一外力F拉着物体缓慢向右移动到B点(弹性绳始终在弹性限度内)的过程中，下列表述正确的是(　　) A.外力F大小不变 B.地面对物体的支持力FN逐渐变小 C.地面对物体的摩擦力Ff逐渐变大 D.外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力保持不变 11.(2026·江苏宿迁期末)如图所示，倾角为θ=30°、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线(A到定滑轮间细线平行于斜面)绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高(图中未画出)，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为m，重力加速度为g，整个过程斜面体始终静止，则(　　) A.外力F的最大值为2mg B.物块A的质量为2m C.物块A和斜面间的最大静摩擦力为mg D.地面和斜面体间的摩擦力一直减小 C级　拔尖进阶练 12.(2026·江苏徐州期中)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角为θ，轮胎质量为m，重力加速度为g。 (1)若地面对轮胎的阻力大小为f，当轮胎做匀速直线运动时，求绳中的拉力FT; (2)若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值FTm; (3)若轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，求轮胎匀速运动时绳中拉力的最小值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相互作用——力 专题强化二　动态平衡问题　平衡中的临界与极值问题 复习导航 01 考向预测●明考向 对标核心素养，研判高考命题趋势 02 真题演练●悟高考 溯源真题逻辑，感知高考考向 03 核心梳理●明考点 筛出章节考点，划定复习侧重 04 考点突破●破重难 拆解核心考点，归纳解题范式 05 过关限时●练实战 限定答题时长，模拟考场实战 【考向预测●明考向】 专题强化二动态平衡、平衡临界与极值问题依托矢量三角形、正交分解、相似三角形三大解题方法，覆盖绳杆弹簧缓慢转动、斜面外力提拉、叠块静摩擦临界滑动、轻杆铰链支架等经典模型，核心考查缓慢移动动态受力变化、弹力摩擦力极值、物体刚好滑动/脱离接触面临界条件，常以多选中档题形式命题，也是力学综合大题的重要分析环节；近三年为本单元高频拉分专题，动态矢量分析、临界滑动问题每年轮换考查，多重约束叠加情境区分度高，考频稳定居高；预测2027年会强化多弹簧、多细绳复合结构的多力动态平衡分析，增加接触面弹力恰好为零、静摩擦达最大值双重临界叠加题型，结合吊装器械、倾斜传送、自锁斜面等工程生活新颖背景，融合图像定量计算力的变化范围，联动整体隔离法、牛顿第二定律，设置需要分类讨论外力取值区间、多解判断的综合性设问，同时拓展三力以上复杂体系动态平衡的图像解读与极值推导。 【真题演练●悟高考】 一、单选题 1．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　） A． B． C．G D． 【答案】B 【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有 解得 故选B。 2．（2020·海南·高考真题）如图，上网课时小明把手机放在斜面上，手机处于静止状态。则斜面对手机的（    ） A．支持力竖直向上 B．支持力小于手机所受的重力 C．摩擦力沿斜面向下 D．摩擦力大于手机所受的重力沿斜面向下的分力 【答案】B 【详解】设手机的质量为m，斜面倾角为θ。对手机进行受力分析，如图所示 由图可知支持力方向垂直斜面向上，摩擦力方向沿斜面向上，根据平衡条件则有 ， 因，故，且摩擦力等于手机所受的重力沿斜面向下的分力 故选B。 3．（2020·全国III卷·高考真题）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α=70°，则β等于（　　） A．45° B．55° C．60° D．70° 【答案】B 【详解】甲物体是拴牢在O点，且甲、乙两物体的质量相等，则甲、乙绳的拉力大小相等，O点处于平衡状态，则左侧绳子拉力的方向在甲、乙绳子的角平分线上，如图所示 根据几何关系有 解得。 故选B。 4．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中（　　） A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变 【答案】B 【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 5．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为，则下列说法正确的是（　　） A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 【答案】B 【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知 联立解得 故A错误，B正确； C．拉力的大小为 其中，可知当时，拉力有最小值，即减小夹角，轻绳的合拉力不一定减小，故C错误； D．摩擦力大小为 可知增大夹角，摩擦力一直减小，当趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，故D错误； 故选B。 二、多选题 6．（2026·四川·高考真题）如图所示，球心为、半径为的半球体固定于水平地面，质量为的杂技演员依靠双手支撑竖直倒立在球面上。双手对球面压力的作用点的连线是与地面平行、圆心为的小圆的直径，压力大小均为且不超过（为重力加速度大小）。手与球面间动摩擦因数为，最大静摩擦力与滑动摩擦力大小视为相等。设长为、则（     ） A．时，演员保持平衡状态，大小可能为 B．时，演员可以通过增大往上移动 C．时，演员不可能保持平衡状态 D．演员要保持平衡状态，的最小值为 【答案】AD 【详解】设球心O到单侧手的作用点连线与竖直轴的夹角为，由几何关系得， 演员受力平衡：水平分量抵消，竖直方向两个手的支持力和摩擦力的竖直分量平衡重力，整理得 最大静摩擦力满足 当静摩擦力取最大值时，联立可得 A．时，代入数据解得 由于 可知的范围为 大小可能为，故A正确； B．根据题目分析可知时，演员可以处于平衡状态，在保持平衡状态的前提下，当增大时，静摩擦力变小，合力始终不变，能否上升与N无关，故B错误； C．根据结合题意 当时，解得平衡临界，故C错误； D．根据结合辅助角公式可得 可得的最小值，故D正确。 故选AD。 考点一　动态平衡问题 【核心梳理●明考点】 动态平衡是指物体的状态发生缓慢的变化，但在变化过程中的每一个状态均可视为平衡状态。常用解题方法:图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。 考向　图解法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力(F1)大小方向均不变，另一个力(F2)方向不变，第三个力(F3)大小方向均变化。 2.方法:对物体进行受力分析，保持恒力(F1)位置不变，将方向不变的力(F2)延长，然后把第三个力平移过来，使三力构成首、尾相接的封闭三角形或将某力根据其作用力效果进行分解，画出平行四边形，比较不同的三角形或平行四边形，各力的大小及变化一目了然。 说明:第三个力若与方向不变的力垂直，则第三个力有最小值。 【考点通关●破重难】 例1 (2026·江苏苏州五中月考)如图所示，小球在F作用下处于静止状态。现保持夹角θ不变，将F逆时针缓慢转至竖直位置，在转动过程中，下列说法正确的是(　　) A.力F一直减小 B.力F先减小后增大 C.细线弹力一直增大 D.细线弹力先增大后减小 【答案】B 【解析】小球的受力分析如图所示，将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直的过程中，由解析图可知，F先减小后增大，细线弹力一直减小，故B正确，A、C、D错误。 【核心梳理●明考点】 考向　解析法 对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 【考点通关●破重难】 例2 (2026·江苏南京六校月考)如图所示，细线OC一端固定于天花板，另一端悬挂着一个光滑轻质定滑轮，小物块A置于斜面上，通过细线跨过滑轮与沙漏B连接，滑轮右侧细线与斜面平行，A、B、斜面始终处于静止状态，OC与竖直方向的夹角为θ，在B中的沙子缓慢流出的过程中(　　) A.A受到的细线拉力可能先减小后增大 B.A受到的摩擦力一定缓慢增大 C.细线OC的张力一定缓慢减小 D.细线OC与竖直方向的夹角θ可能增加 【答案】C 【解析】A受到的细线拉力等于沙漏B的重力，在B中的沙子缓慢流出的过程中A受到的细线拉力逐渐减小，A错误;若开始时A受摩擦力沿斜面向下，则FT=mgsin θ+Ff，则随着细线拉力FT的减小，A受到的摩擦力Ff逐渐减小，B错误;细线OC的张力FTOC=2FTcos θ，可知，随细线的拉力FT减小，细线OC的张力缓慢减小，C正确;因滑轮C两边细线的拉力相等，可知OC在两个细线夹角的角平分线上，因两根细线的夹角不变，可知细线OC与竖直方向的夹角为θ不变，D错误。 【核心梳理●明考点】 考向　相似三角形法 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另外两个力的方向均发生改变，而且这两个力的夹角也发生改变;物体所受三个力的示意图可在实物上找到对应的位置和长度。 2.方法:将物体所受三个力首尾相连构成闭合三角形，寻找与力的三角形相似的几何三角形;利用相似三角形的性质，建立比例关系，把力的大小变化转化为三角形边长的大小变化。 【考点通关●破重难】 例3 如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　) A.F不变，FN增大 B.F不变，FN减小 C.F减小，FN不变 D.F增大，FN减小 【答案】C 【解析】小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由三角形相似，得==，当A点上移时，半径R不变，AB长度减小，故F减小，FN不变，故C正确。 考向　辅助圆法(正弦定理法) 1.特征:物体受三个力作用处于平衡状态，其中一个力为恒力，另两个力的大小、方向均发生变化，但变化的两力方向夹角保持不变。 2.辅助圆法:画出受力分析图，以恒力为弦作三力矢量三角形的外接圆，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 3.正弦定理法:如图所示， 物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即==。 【考点通关●破重难】 例4 如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，在其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直，MN被拉直无张力，OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A.MN上的张力逐渐减小 B.MN上的张力先增大后减小 C.OM上的张力逐渐减小 D.OM上的张力先增大后减小 【答案】D 【解析】方法一　辅助圆法 以重物为研究对象，其受重力mg、OM绳上拉力FOM、MN绳上拉力FMN，由题意知，三个力的合力始终为零，且重力的大小和方向都不变，FOM、FMN的夹角不变，将矢量三角形移至同一个圆内，如图所示，在OM转至水平的过程中，MN上的张力FMN逐渐增大，OM上的张力FOM先增大后减小，故D正确。 方法二　正弦定理法 根据正弦定理有==，mg与sin α保持不变，sin θ1先变大后变小，FOM先增大后减小，sin θ2变大，FMN变大，故D正确。 考点二　平衡中的临界与极值问题 【核心梳理●明考点】 1.临界问题 当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见种类 (1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子恰好伸直，拉力F=0。 (3)刚好离开接触面，支持力FN=0。 2.极值问题 平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 3.解题方法 (1)极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，把某个物理量推向极端(极大或极小)，从而找出平衡的临界点和极值点。 (2)数学分析法:根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。 (3)物理分析法:根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程分析，利用平行四边形进行动态分析，确定最大值与最小值。 4.在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如:如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。 【考点通关●破重难】 例5 (2026·江苏南京六校调研)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为2m，A、B的质量都为m，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求: (1)未拉A时，C受到B作用力的大小; (2)C从初始状态至恰好降到地面的过程中，A的位移大小; (3)动摩擦因数的最小值μmin。 【答案】(1)mg　(2)2(-1)R　(3) 【解析】(1)未拉A时C受力分析如图甲所示 由几何关系可知θ=30° 对C由平衡条件有2Fcos 30°=2mg 得F=mg。 (2)由几何关系得A移动的位移大小为xA=2(-1)R。 (3)C刚好降到地面时，B对C的支持力最大，B恰好保持静止时动摩擦因数最小，设为μmin C受力分析如图乙所示 则有2Fmcos 60°=2mg Fmsin 60°=μmin(mg+Fmcos 60°) 解得μmin=。 例6 如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。 【答案】2 N 【解析】方法一　三角函数法 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F==(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。 方法二　利用“摩擦角”法 设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ① 再设FN与Ff的合力为F' 如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值 即Fmin=mgsin α ② 由①②得Fmin=2 N。 【过关限时●练实战】 （40分钟） A级　基础对点练 1.(2024·山东卷，2)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜坡间的动摩擦因数不能小于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】斜坡倾角越大，“天工”越容易下滑，只要保证“天工”在30°倾角的斜坡上不下滑，在小于30°倾角的斜坡上更不会下滑，对在30°倾角的斜坡上的“天工”受力分析，有μmgcos 30°≥mgsin 30°，解得μ≥，B正确。 2.(2026·江苏常州五校联考)如图所示，轻绳的两端分别系在圆环A和小球B上，圆环A套在粗糙的水平直杆MN上，现用水平力F拉着绳子上的一点O，使小球B从图中实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环A始终保持在原位置不动。则在这一过程中，环对杆的摩擦力Ff和环对杆的压力FN的变化情况是(　　) A.Ff减小，FN不变 B.Ff增大，FN不变 C.Ff减小，FN增大 D.Ff不变，FN减小 【答案】B 【解析】结点O和由A、绳、B组成的整体受力分析分别如图甲、乙所示 由平衡条件，对结点O有F=mgtan α，对整体有Ff'=F，FN'=(m+M)g。小球B缓慢上升过程中α增大，则F增大，Ff'增大，FN'不变，由牛顿第三定律可知环对杆的摩擦力Ff增大，环对杆的压力FN不变，故B正确。 3.(2026·江苏无锡锡东高级中学月考)如图所示，小球放在光滑的竖直墙与装有铰链的光滑薄板之间，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中(　　) A.墙对小球的支持力减小 B.薄板对小球的支持力增大 C.墙对小球的支持力先减小后增大 D.薄板对小球的支持力可能小于球的重力 【答案】A 【解析】以小球为研究对象，受力分析如图所示，由图可知，在墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中，墙对球的支持力FN2逐渐减小，薄板对球的支持力FN1逐渐减小，但一直大于小球的重力，直到θ变为90°时，与小球的重力大小相等，所以薄板对小球的支持力不可能小于球的重力，故A正确，B、C、D错误。 4.(2026·江苏扬州高三开学考)某建筑工地通过如图所示的装置将工件运到楼顶，工人通过细绳搭在光滑定滑轮上将带铰链的轻杆缓慢上拉，从而取得工件，在轻杆被缓慢上拉到取到工件前的过程中(　　) A.轻杆所受压力大小始终不变 B.轻杆所受压力先减小，后增大 C.工人手所受的拉力始终不变 D.工人手所受的拉力增大 【答案】A 【解析】对结点C受力分析，如图所示，缓慢上拉，三个力平衡，三个力组成首尾相接的矢量三角形，力三角形与几何三角形ABC相似，根据相似三角形对应边比值相等，有==，因上拉过程中mg、AB不变，AC减小，BC不变，则F减小，FN不变，因此工人手所受的拉力减小，轻杆所受压力始终不变，故A正确，B、C、D错误。 5.(2025·河北卷，4)如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为(　　) A.G B.G C.G D.G 【答案】B 【解析】小球受力情况如图所示。由平衡条件得2Fcos 45°+FN=mg，当凹槽底部对小球支持力FN=0时，拉力F最大，有2Fmcos 45°=G，解得Fm=G，故B正确。 6.两金属小球A、B用一轻质弹簧连接，球A用轻绳悬挂于O点，在水平拉力F的作用下，两小球处于如图所示的位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为30°。现将力F逆时针缓慢转动30°，在此过程中，轻绳与竖直方向的夹角不变。下列说法正确的是(　　) A.轻绳的拉力先减小后增大 B.A、B两小球间的距离增大 C.力F先减小后增大 D.弹簧与竖直方向的夹角增大 【答案】D 【解析】对A、B整体受力分析，如图甲所示，绳与竖直方向夹角不变，则轻绳拉力FT方向不变，现将力F逆时针缓慢转动30°(此时力F与轻绳拉力FT垂直)，则此过程中，轻绳拉力FT减小，力F减小至最小，故A、C错误;对B小球受力分析可知，在F转动过程中，弹簧与轻绳的夹角始终大于90°，对A小球受力分析，如图乙所示，其受轻绳拉力FT方向不变，而拉力FT变小，A小球处于动态平衡，则可知F弹在逐渐减小且与竖直方向夹角增大，即弹簧与竖直方向的夹角增大，根据胡克定律F弹=kx可知，弹簧伸长量x减小，即A、B两小球间的距离减小，故B错误，D正确。 7.如图所示，质量为m的小球用细线拴住放在光滑斜面上，斜面足够长，倾角为α的斜面体置于光滑水平面上，用水平力F推斜面体使斜面体缓慢地向左移动，小球沿斜面缓慢升高。当细线拉力最小时，推力F等于(已知重力加速度为g)(　　) A.mgcos α B.mgsin α C.mgcos 2α D.mgsin 2α 【答案】D 【解析】小球受力如图所示，在小球沿斜面缓慢上升过程中，小球受到的合力为零，当拉力FT与支持力FN垂直时，拉力最小，最小值为FTmin=mgsin α;对小球和斜面体整体受力分析，根据平衡条件可得F=FTmin·cos α=mgsin αcos α=mgsin 2α，故D正确。 8.如图所示，光滑直杆OA、OB在O点由铰链固定，两杆间夹角θ(θ<90°)不变，在两杆上分别套上质量相等的小环P、Q，两小环由不可伸长的轻绳连接，初始时，杆OA竖直，现缓慢顺时针转动两杆至OB竖直，则在转动过程中(　　) A.杆对环P的弹力先变大后变小 B.杆对环Q的弹力一直变大 C.杆对环P的弹力一直变大 D.杆对环Q的弹力先变小后变大 【答案】C 【解析】对两环和绳整体受力分析，作力的矢量三角形如图所示，缓慢顺时针转动两杆至杆OB竖直，在转动过程中，杆对环P的弹力一直变大，杆对环Q的弹力一直变小，故C正确。 B级　综合提升练 9.(2026·江苏南通通州高级中学月考)如图甲所示，自动炒菜机的电动铲子既可推动炒菜也可翻动炒菜。自动炒菜机的炒菜原理可简化为如图乙所示的模型，内壁光滑的半球形容器开口向上固定在水平面上，一个小球(可视为质点)放在容器的底部，竖直光滑挡板与其接触，挡板的上端刚好与圆心O重合，有两种方式使小球到达容器口的P点:方式一是将挡板缓慢水平向右推，在推动过程中挡板始终保持竖直，使小球到达P点;方式二是让挡板绕O点缓慢转动，使小球到达P点。下列说法正确的是(　　) A.方式一中，挡板对小球的弹力先减小后增大 B.方式一中，内壁对小球的弹力一直减小 C.方式二中，挡板对小球的弹力先减小后增大 D.方式二中，内壁对小球的弹力一直减小 【答案】D 【解析】方式一，小球受力分析如图(a)所示， 由平衡条件可得FN2=mgtan θ，FN1=，将挡板缓慢水平向右推的过程中，θ由0增大到90°，则挡板对小球的弹力FN2不断增大，内壁对小球的弹力FN1也不断增大，故A、B错误; 方式二，小球受力分析如图(b)所示， 由题意可知，FN1'与FN2'始终垂直，且转动过程中α增大，由平衡条件可得FN2'=mgsin α，FN1'=mgcos α，则挡板对小球的弹力FN2'不断增大，内壁对小球的弹力FN1'不断减小，故C错误，D正确。 10.(2026·江苏无锡期中)如图所示，弹性绳的一端固定在O点，另一端穿过光滑的小孔O1系着一物体，刚开始时物体静止在粗糙水平面上的A点。已知OO1的距离刚好等于弹性绳的原长，弹性绳的弹力遵从胡克定律，物体与水平面间的动摩擦因数一定。用一外力F拉着物体缓慢向右移动到B点(弹性绳始终在弹性限度内)的过程中，下列表述正确的是(　　) A.外力F大小不变 B.地面对物体的支持力FN逐渐变小 C.地面对物体的摩擦力Ff逐渐变大 D.外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力保持不变 【答案】D 【解析】物体受到重力mg、支持力FN、水平拉力F、弹性绳的拉力FT和摩擦力Ff，如图所示，设物体处于A点时，与O1点的距离为h，移动过程中弹性绳的伸长量为x，弹性绳与水平面间的夹角为θ，则h=xsin θ，根据平衡条件可得FN=mg-kxsin θ=mg-kh，可知移动过程中地面对物体的支持力FN不变，由Ff=μFN可知，移动过程中地面对物体的摩擦力Ff不变，故B、C错误;水平方向根据平衡条件可得F=Ff+kxcos θ，由于移动过程中Ff不变、伸长量x逐渐增大、θ逐渐减小，则外力F逐渐增大，故A错误;根据平衡条件可知，外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力与重力mg、支持力FN和摩擦力Ff的合力平衡，由于重力mg、支持力FN和摩擦力Ff三个力的大小方向均保持不变，则其合力保持不变，因此外力F与弹性绳对物体的弹力FT的合力保持不变，故D正确。 11.(2026·江苏宿迁期末)如图所示，倾角为θ=30°、静置在水平地面上的斜面体顶端有一光滑的定滑轮，斜面上的物块A通过细线(A到定滑轮间细线平行于斜面)绕过定滑轮与物块B相连，此时物块A恰要沿斜面滑动，现在物块B上施加水平向右的力使物块B缓慢升高(图中未画出)，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，物块A也恰要沿斜面滑动，已知物块B的质量为m，重力加速度为g，整个过程斜面体始终静止，则(　　) A.外力F的最大值为2mg B.物块A的质量为2m C.物块A和斜面间的最大静摩擦力为mg D.地面和斜面体间的摩擦力一直减小 【答案】C 【解析】当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，外力F具有最大值，以B为研究对象，根据平衡条件可得tan 60°=，解得外力F的最大值为Fmax=mg，故A错误;设A的质量为mA，由题意可知，对B施加外力F前，物块A恰要沿斜面下滑，则有mAgsin 30°-Ffm=FT1，其中FT1=mg，当物块B与滑轮间的细线与竖直方向的夹角φ=60°时，物块A恰要沿斜面上滑，则有mAgsin 30°+Ffm=FT2，其中FT2==2mg，联立解得mA=3m，Ffm=mg，故B错误，C正确;以A、B和斜面体为整体，根据平衡条件可得Ff地=F=mgtan φ，φ逐渐增大，则地面和斜面体间的摩擦力一直增大，故D错误。 C级　拔尖进阶练 12.(2026·江苏徐州期中)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角为θ，轮胎质量为m，重力加速度为g。 (1)若地面对轮胎的阻力大小为f，当轮胎做匀速直线运动时，求绳中的拉力FT; (2)若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值FTm; (3)若轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，求轮胎匀速运动时绳中拉力的最小值。 【答案】(1)　(2)　(3) 【解析】(1)轮胎做匀速直线运动时，由平衡条件有FTcos θ=f 解得绳中的拉力大小为FT=。 (2)轮胎刚好不离开地面时，轮胎与地面之间的弹力为零，此时绳的拉力最大，在竖直方向由平衡条件有mg=FTmsin θ 解得绳中拉力的最大值为FTm=。 (3)轮胎在地面上做匀速直线运动，设绳子的拉力为FT'，轮胎与地面之间的弹力为FN，由平衡条件， 竖直方向有mg=FN+FT'sin θ 水平方向有FT'cos θ=μFN 联立解得绳的拉力大小为FT'== 其中tan α= 当θ+α=90°时，绳中拉力最小，最小值为FTmin=。 学科网（北京）股份有限公司 $