01空间几何体的结构特征及截面问题讲义——2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦空间几何体结构特征核心考点，按多面体与旋转体定义、分类及性质构建知识体系，通过回归教材夯实基础，考点梳理结合方法指导与真题训练，帮助学生突破结构判定、截面问题等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学眼光”整合教材与高考考点，如用定义法与反例法培养“数学思维”，通过正方体截面作图等活动提升“数学语言”表达能力。分层练习覆盖选择、填空、解答题，助力教师精准把控节奏，高效提升学生空间观念与应考能力。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——01空间几何体的结构特征 知识梳理 1．多面体、旋转体的定义 (1)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． (2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 2．棱柱的概念及其分类 (1)棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． (2)棱柱的分类 ①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱是否与底面垂直 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体． 3．棱锥的概念及其分类 (1)棱锥的概念 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． (2)棱锥的分类 ①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… ②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥． 4．棱台的概念及其分类 (1)棱台的概念 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台． (2)棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台…… 5．圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示 定义 图形及表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱 表示为圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中 圆锥表示为圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球，如图中的球表示为球O 6．简单组合体 (1)概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． (2)两种构成形式 ①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成． 7、球心与截面圆圆心的连线与截面圆的位置关系： 如图， 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为，球半径为，截面圆半径为，则有． 8、锥体中平行于底面的截面的性质：锥体中平行于底面的截面是与底面相似的图形，在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中， 有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比， 对应线段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比． 9、正方体的截面可能出现的形状： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例如下： 回归教材： 1. 【人教A版必修二习题8.1第6题】判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）一个棱柱至少有5个面 （2）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 （3）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 （4）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】√ √ √ √ 【详解】棱柱的结构特征：①、两底面互相平行；②、侧面是平行四边形；③、侧棱互相平行且相等；而底面多边形的边数最少为3，此时棱柱为三棱柱，所以棱柱至少有5个面.故（1）正确. 底面是平行四边形，侧棱和底面垂直的的棱柱称为平行六面体，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，满足平行六面体的特征，所以（2）正确. 棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是四边形的棱锥一定是四棱锥,所以（3）正确. 因为正棱锥的侧棱都相等且底面是正多边形，所以正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故（4）正确. 2.【人教A版必修二习题8.1第10题】下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例. （1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱； （2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台. 【答案】（1）错误，反例见解析，（2）错误，反例见解析 【分析】根据棱柱和棱台的定义进行判断. 【详解】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①. （2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②. 【点睛】本题考查棱柱和棱台的概念和性质，属于基础题. 3.【人教A版必修二第8.1.1节练习第2题】判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）长方体四棱柱，直四棱柱是长方体．（ ） （2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体．（ ） 【答案】（1）×；（2）√ 【解析】长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体，故（1）错误；四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，（2）正确。 4.【人教A版必修二第8.1.1节练习第3题】（1）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是______. （2）一个多面体最少有个_____面，此时这个多面体是______. 【答案】直五棱柱 4 三棱锥或四面体 【解析】根据空间几何体的主要特征进行求解. 【详解】（1）由题意一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，故此几何体是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，故五棱柱的上下底面边长相等且侧棱与底面垂直，根据直棱柱的定义可知该几何体是直五棱柱. （2）一个多面体最少有个4个面，少于4个面无法构成封闭的空间图形，由4个面组成的几何体是四面体或者三棱锥. 【点睛】本题主要考查多面体的结构特征和五棱柱的概念，明确棱柱的结构特征是求解的关键，侧重考查对概念的辨析能力. 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【答案】画线见解析． 【分析】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定． 【解析】过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求． 考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用． 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【答案】（1）见解析（2）直线与平面平行直线与平面相交. 【分析】（1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，实际上是经过及外一点P作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线.根据直线与平面平行的性质定理和平行公理，画出所需要的线段. （2）根据（1）的分析，结合线面平行的判定定理可知，所画直线与平面平行.显然所画直线与平面相交. 【详解】（1）如图所示，在平面内，过点P作直线，使，并分别交棱，于点连接，则就是应画的线.理由是:由于平面，平面,平面平面，所以.由于，所以，所以四点共面. （2）由（1）知，，而在平面内，在平面外，所以平面.显然，都与平面相交. 【点睛】本小题主要考查线面平行的性质定理和判定定理，考查平行公理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【答案】16 【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为16． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【分析】设出圆锥的底面半径和母线，根据轴截面是正三角形，明确与的关系，再代入圆锥的侧面积公式可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，因为圆锥的轴截面是正三角形，所以母线，所以. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【答案】 【分析】根据题意，由勾股定理可得的长度，然后再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图，，又，，又， 则的面积为. 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】根据截面平行于侧面；截面过体对角线；截面不平行于侧面不过体对角线；三种情况得到答案. 【详解】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）； 当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）. 【点睛】本题考查了截面图形，漏解是容易发生的错误. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 【答案】 【详解】试题分析：三棱锥中两两互相垂直，所以三棱锥外接球与以为临边的正方体外接球是相同的，由半径为可得,由得P到平面的距离为，所以球心到截面的距离为 点评：本题根据三棱锥的特点将其转化到正方体上，使其容易确定球心位置 考点梳理： 考点一、几何体的结构特征角度1 例、下列四个命题中，正确的是（ ） A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱不一定为直四棱柱 【答案】D [解析]认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③为假命题；对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故②为假命题；平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④为真命题.故选. 例、下列四个命题中，正确的是（ ） A.以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球 【答案】D [解析]A中若这条边是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，A错误；B中若这条腰不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，B错误；C中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，那么得到的不是圆锥和圆台，C错误；只有球满足任意截面都是圆面，D正确. 小结：空间几何体结构特征的判定方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，再根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例 考点二、几何体的截面问题 例、 在正方体中，,分别是棱和上的点，，则正方体中过,,的截面图形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】C [解析]如图，延长直线,相交于点，延长直线,相交于点，连接交直线于点，交直线于点，连接,,因为,， ，则五边形即为所求截面. 例、如图，正方体的棱长为4，,分别为,上的点，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D [解析]如图1所示，延长交于点， 则，即为的中点，连接，取的中点，连接，则， ，，，四点共面，，，， 截面如图2所示，在中，边上的高，记边上的高为， 则，，则所截得的截面面积.故选. 小结： 1.作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线. 2.作出截面的关键是作出截线，作出截线的主要根据：（1）确定平面的条件；（2）三线共点的条件；（3）面面平行的性质定理. 跟踪练习： 1．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 答案：C 解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．故选C. 2．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)不可能拼成(　　) A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥 答案：D 解析：A，B，C中的图形均可由12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式得到；对于D，因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D不可能拼成．故选D. 3．下列结论正确的是(　　) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 答案：B 解析：底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．故选B. 4.下列说法正确的是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 答案：B 解析：A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱延长后必相交于同一点．故选B. 5．下列说法正确的是（   ） A．直四棱柱就是长方体 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 【答案】B 【详解】对A：底面是矩形的直四棱柱才是长方体，故A错误； 对B：如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面，则该四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故B正确； 对C：如图， 平面平面，与是边长相等的等边三角形，则与也是等腰三角形，但此三棱锥不是正三棱锥，故C错误； 对D：根据棱台的概念，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D错误. 6.下列结论正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 答案：D 解析：由图1知，A错误；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B错误；若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．故选D. 7．下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 【答案】D 【详解】对于A，底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥，A错误； 对于B，长方体是底面为矩形，且侧棱与底面垂直的四棱柱，B错误；对于C，有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还需各侧棱延长后相交于一点，C错误；对于D，如果一个棱柱的所有面都是正方形，说明上、下底面是正方形的四棱柱，各侧面都是正方形，则有各侧棱都垂直于底面，且所有棱长都相等，所以这个棱柱是正方体，D正确． 8．（2026·广东肇庆·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，所以该圆锥的表面积为，设球O的半径为R，则球O的表面积为，由题意知，所以，圆锥的体积，球O的体积，所以. 9．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求. 【详解】 如图，在平面内过点作，分别交于点，则.在平面内作交于点，在平面内作交于点，则，，∴，故截面为平行四边形，∴在木块表面画线的总长度为.故选：B. 10．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】可知侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则弧长为， 则底面直径为，则圆锥轴截面是以为腰，为底的等腰三角形，此时顶角为，则，所以，则过圆锥顶点的截面是以为腰的等腰三角形，设顶角为，此时面积，可知当时，即时，面积最大，此时面积. 11．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形，不妨设正方体棱长为1，则，所以，又，所以．同理可得，，可知截得较小部分体积，所以，又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为．故选：C． 12．(多选)如图，将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(　　) A．四棱柱 B．四棱台 C．三棱柱 D．三棱锥 答案：AC 解析：根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱．故选AC. 13．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； B.棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； C.两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； D.两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 【答案】ABC 【分析】根据棱台的结构特征依次判断即可. 【详解】对于A，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，其侧棱互相平行，不相交于一点，故一定不是棱台，A正确；对于B，由棱台的定义可知，其所有侧棱延长后必相交于一点，故任意两条侧棱所在直线一定相交，B正确；对于C，两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后不一定相交于一点，故不一定是棱台，C正确；对于D，两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体，其侧棱延长后也不一定相交于一点，故不一定是棱台，D错误 14．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【分析】结合各类空间几何体的定义本质，通过构造反例与性质推导，逐一判断命题的正误. 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点，仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点，因此该多面体不一定为棱台，D错误. 15、(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．截面形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是正方形 C．截面形状可能是正五边形 D．截面面积的最大值为3 答案：AD 解析：对于A，当α截此正方体所得截面为B1CD1时满足，故A正确；对于B，由对称性得截面形状不可能为正方形，故B错误；对于C，由对称性得截面形状不可能是正五边形，故C错误；对于D，当截面为正六边形时，面积最大，为6××()2＝3，故D正确．故选AD. 　 小结：(1)求解与截面有关的问题的关键是确定截面的形状，并从几何体中获取相关的数据进行计算． (2)作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面． 16．（多选）如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据当A，P，C三点共线时以及勾股定理得到，当AB的中点在上时分析得到截面图形为矩形，再求截面面积求解选项A.分析平面可能与正方体的几个侧面相交，进而分析截面图形，求解选项BC.利用展开图及余弦定理求解即求解选项D. 【详解】对于A，当A，P，C三点共线时，P为BD中点，取AB的中点E，连接ME，EP，MP， 则，解得，记AB中点为E，连接CM，CE，ME， 显然有，，故点在上，则截面图形为矩形，又，所以，则截面图形的面积为，故A错误； 对于B， 如图所示，当P在线段上，且靠近时，平面与正方体五个面相交，得到五个交点，截面为五边形.对于C，当P在线段OB上时，平面仅与平面，平面，平面，以及平面相交，得到四个交点，截面为四边形，C正确. 对于D，将沿BD向下翻折与平面共面，连接， 则的最小值即为线段的长度，P为与BD的交点，因为，所以由余弦定理得，则，故D正确． 17．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，过点作交、于点、，取、的三等分、（靠近、），连接、、，即可得到四边形即为所求截面，再证明平面，即可得到，从而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，则在上且，过点作交、于点、，则、为、的三等分点（靠近、），取、的三等分、（靠近、），连接、、，则且，且，且，且，所以且，且，所以四边形即为所求截面， 又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，所以四边形为矩形，所以截面面积为. 18．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 【答案】 . 【分析】由题意截面的面积为求出截面圆半径，继而可求球的半径，即可求得球的表面积；过点作球的截面，确定截面圆与垂直时，球心到截面圆的距离最大，即可求得截面面积最小时，截面圆的半径. 【详解】设球的半径为R，由于，故， 球所得截面的面积为，设截面圆半径为r，则，则，即，解得，故球的表面积为；过点作球的截面，则当截面面积最小时，只需该截面圆的半径最小；设球心到截面圆的距离为d，设截面圆半径为，则，故只需d最大，此时截面圆与垂直，即， 故， 19．（1）按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？ （2）将下列各类几何体之间的关系用venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体. 【详解】（1）根据几何体的相关概念进行区分，多面体包含：棱柱，棱锥，棱台等，棱柱包含直棱柱和斜棱柱等.如图所示. （2）正方体正四棱柱长方体直平行六面体平行六面体四棱柱 常见的四棱柱及其关系 20．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； 【答案】(1)作图见解析；(2)小几何体与大几何体的比值为； 【分析】（1）在平面内过点O作直线交于点，交于点，连接，求证四点共面即可求解.（2）先求证几何体为棱柱，接着设棱台的高为，的面积为得，再由台体体积公式得正三棱台体积即可求解. 【详解】（1）如图，在平面内过点O作直线交于点，交于点， 连接，则为截面与各木块表面的交线， 理由如下：由于，故四点共面，且平面平面，平面平面，平面平面，则为截面与各木块表面的交线. （2） 由于点在平面内且为的重心，，所以，又因为， 故，故几何体为棱柱，设棱台的高为，的面积为，故， 又，则，故由台体体积公式得正三棱台体积为，所以被截面截得的非三棱柱的另一个几何体体积为，故该三棱台木块被（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比为（或）. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——01空间几何体的结构特征 知识梳理 1．多面体、旋转体的定义 (1)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． (2)一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 2．棱柱的概念及其分类 (1)棱柱的概念 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． (2)棱柱的分类 ①按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱…… ②按侧棱是否与底面垂直 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体． 3．棱锥的概念及其分类 (1)棱锥的概念 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． (2)棱锥的分类 ①按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…… ②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥． 4．棱台的概念及其分类 (1)棱台的概念 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台． (2)棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台…… 5．圆柱、圆锥、圆台、球的概念及表示 定义 图形及表示 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，如图中圆柱 表示为圆柱O′O 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体，如图中 圆锥表示为圆锥SO 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，如图中圆台表示为圆台O′O 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体， 简称球，如图中的球表示为球O 6．简单组合体 (1)概念 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． (2)两种构成形式 ①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成． 7、球心与截面圆圆心的连线与截面圆的位置关系： 如图， 球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为，球半径为，截面圆半径为，则有． 8、锥体中平行于底面的截面的性质：锥体中平行于底面的截面是与底面相似的图形，在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中， 有如下比例关系：对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比， 对应线段（如高、斜高、底面边长等）的立方之比． 9、正方体的截面可能出现的形状： ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、一般三角形； ②截面三角形是锐角三角形； ③截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行； ④截面可以是五边形； ⑤截面可以是六边形； ⑥截面六边形可以是等角（均为）的六边形．特别地，可以是正六边形．截面图形举例如下： 回归教材： 1. 【人教A版必修二习题8.1第6题】判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）一个棱柱至少有5个面 （2）平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 （3）有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 （4）正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 2.【人教A版必修二习题8.1第10题】下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例. （1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱； （2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台. 3.【人教A版必修二第8.1.1节练习第2题】判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”． （1）长方体四棱柱，直四棱柱是长方体．（ ） （2）四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体．（ ） 4.【人教A版必修二第8.1.1节练习第3题】（1）一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是______. （2）一个多面体最少有个_____面，此时这个多面体是______. 【人教A版必修二习题8.5第12题】一木块如图所示，点在平面内，过点将木块锯开，使截面平行于直线和，应该怎样画线？ 【人教A版必修二第8.5.2节例3】如图所示的一块木料中，棱平行于面. （1）要经过面内的一点P和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面是什么位置关系？ 【人教B版必修四03复习题A组第6题】过正四棱台各侧棱中点的截面称为正四棱台的中截面，若正四棱台的两底面边长分别为3和5，求它的中截面的面积． 【人教B版必修四03复习题A组第8题】已知圆锥的轴截面是正三角形，求证：它的侧面积是底面积的2倍. 【人教B版必修四03复习题B组第11题】已知球O的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为，且A、B都是圆上的点，，，求△OAB的面积． 【人教B版必修四03复习题C组第3题】一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______. 【人教B版必修四03复习题C组第7题】已知正三棱锥，点都在半径为的球面上，若两两互相垂直，求球心到截面的距离． 考点梳理 考点一、几何体的结构特征角度1 例、下列四个命题中，正确的是（ ） A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱不一定为直四棱柱 例、下列四个命题中，正确的是（ ） A.以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 C.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球 小结：空间几何体结构特征的判定方法 定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，再根据定义进行判定 反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例 考点二、几何体的截面问题 例、 在正方体中，,分别是棱和上的点，，则正方体中过,,的截面图形是( ) A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 例、如图，正方体的棱长为4，,分别为,上的点，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为( ) A. B. C. D. 小结： 1.作截面应遵循的三个原则：（1）在同一平面上的两点可引直线；（2）凡是相交的直线都要画出它们的交点；（3）凡是相交的平面都要画出它们的交线. 2.作出截面的关键是作出截线，作出截线的主要根据：（1）确定平面的条件；（2）三线共点的条件；（3）面面平行的性质定理. 跟踪练习： 1．如图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一小部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 2．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)不可能拼成(　　) A．正三棱柱 B．正四棱锥 C．正四棱柱 D．正六棱锥 3．下列结论正确的是(　　) A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 4.下列说法正确的是(　　) A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 5．下列说法正确的是（   ） A．直四棱柱就是长方体 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 6.下列结论正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体 C．若正棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线 7．下列说法正确的是（    ） A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B．各侧棱都与底面垂直的四棱柱是长方体 C．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．如果一个棱柱的所有面都是正方形，那么这个棱柱是正方体 8．（2026·广东肇庆·二模）已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（   ） A． B． C． D． 9．一棱长为的正四面体木块如下图所示，点在平面内，过点将木块锯开，且使截面平行于直线和，则在木块表面画线的总长度为（ ） A． B． C． D．无法确定 10．（2026·江西南昌·二模）若圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则过圆锥顶点的截面中，截面面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 12．(多选)如图，将装有半槽水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(　　) A．四棱柱 B．四棱台 C．三棱柱 D．三棱锥 13．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台； B.棱台的任意两条侧棱所在直线一定相交； C.两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是梯形的几何体不一定是棱台； D.两个互相平行的面是矩形，其余各面是梯形的几何体是棱台． 14．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 15、(多选)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AC1⊥平面α.平面α截此正方体所得的截面有以下四个结论，其中正确的是(　　) A．截面形状可能是正三角形 B．截面的形状可能是正方形 C．截面形状可能是正五边形 D．截面面积的最大值为3 16．（多选）如图，在正方体中，M为中点，P为线段BD上一点，记平面MPC截正方体所得截面为．当A，P，C三点共线时，，则（    ）． A．当AB的中点在上时，截面图形的面积为 B．截面形状可能是五边形 C．记BD的中点为O，当P在线段OB上时，截面图形是四边形 D．的最小值为 17．一木块如图所示，所有棱长都等于，点为三角形的中心，过点将木块锯开，截面平行于直线和，则截面面积为________． 18．已知是球的直径上一点，，，为垂足，平面截球所得截面的面积为，M为内的一点，且，则球的表面积为_____；过点作球的截面，则当截面面积最小时，截面圆的半径为_____. 19．（1）按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？ （2）将下列各类几何体之间的关系用venn图表示出来：多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体. 20．一正三棱台木块如图所示，已知，点在平面内且为的重心. (1)过点将木块锯开，使截面经过平行于直线，在木块表面应该怎样划线，并说明理由； (2)求该三棱台木块被问题（1）中的截面分成的两个几何体的体积之比； 学科网（北京）股份有限公司 $