03 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习立体几何回归教材

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何空间点线面位置关系核心考点，以基本事实与推论为基础，系统梳理线线、线面、面面位置关系及判定方法，通过回归教材夯实基础，结合考点分析、方法总结与分层训练，构建从概念到应用的复习体系，帮助学生突破空间想象与逻辑推理难点。 资料突出“用数学的眼光观察”与“用数学的思维思考”，如共面问题通过“确定平面—证线面”方法小结培养推理意识，精选教材原题与模拟题分层训练，既强化空间观念又提升解题能力，为教师把控一轮复习节奏、学生高效备战提供有力支撑。

2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——03 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理 1．基本事实与推论 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即不共线的三点确定一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 4．异面直线判定的一个方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 5．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 回归教材： 【人教A版必修二第8.4.1节练习第2题】下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 【人教A版必修二第8.4.1节练习第3题】不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论. 【人教A版必修二第8.4.1节练习第4题】用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 【人教A版必修二第8.4.2节例1】如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. 【人教A版必修二第8.4.2节练习第1（2）题】设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ） A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线 【人教A版必修二第8.4.1节练习第2题】如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系. 【人教A版必修二第8.4.1节练习第4题】已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由． 【人教A版必修二习题8.4第4题】 （1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________； （3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________． 【人教A版必修二习题8.4第8题】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 考点梳理： 考点一、 例、 如图所示，在正方体中，，分别是和的中点.求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 例、已知空间四面体（如图所示），，分别是，的中点，，分别是，上的点，且，.求证： （1），，，四点共面； （2），，三线共点． 小结：共面、共线、共点问题的证明方法 （1）证明点或线共面问题的两种方法 1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． 2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． （2）证明点共线问题的两种方法 1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． 2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． （3）证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上． 考点二 空间中点、直线、平面之间的位置关系的判断 例．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则下列说法错误的是(　　) A．在空间中，若四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 B．若l⊄α，A∈l，则A∉α C．若A，B，C，D四点不共面，则其中任意三点不共线 D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线 例. 如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列结论不正确的是( ) A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 直线始终与直线异面 D. 直线始终与直线异面 小结：空间两条直线位置关系的判定方法 跟踪练习： 1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 2．(2026·山东淄博模拟)若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 4．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 5．（2026·浙江·二模）已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6、在三棱锥D－ABC中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且EF∥GH，则下列说法中正确的是(　　) A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 7．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 8、在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　) A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 9．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 10．（多选）设a，b，c是空间中的三条直线，下面四个命题中错误的是（ ） A.若a∥b，b∥c，则a∥c； B.若a⊥b，b⊥c，则a∥c； C.若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； D.若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 11．（多选）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，下列结论中正确的是（ ） A.A、M、O三点共线          B.A、M、O、不共面 C.A、M、C、O共面        D.B、、O、M共面 12. （多选）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　) A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GH C．EG，FH，AA1三线共点 D．∠EGB1＝∠FHC1 13．（多选）如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． 平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 14．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. 15.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)B，D，E，F四点共面； (2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 16、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线． 17.如图,在正四棱锥中,点E,F分别为PD,PB的中点,点G,H分别为棱AD,AB上的一点,且． (1)若,求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习立体几何回归教材版讲义 ——03 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识梳理 1．基本事实与推论 (1)基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．即不共线的三点确定一个平面． (2)基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． (3)基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． (4)三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间中直线与直线的位置关系 (1)异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 1个 平行 a∥α 0个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 0个 相交 α∩β＝l 无数个 4．异面直线判定的一个方法 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 5．唯一性定理 (1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 回归教材： 【人教A版必修二第8.4.1节练习第2题】下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题. 【人教A版必修二第8.4.1节练习第3题】不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论. 【答案】4个 【分析】画出空间四边形，可以得到确定的平面个数. 【详解】可确定4个平面，如图： 由不共线的三个点确定一个平面可知，不共线的四个点可确定平面ABC,平面ACD,平面ABD,平面BCD，共4个平面. 【点睛】本题主要考查了不共线的三个点确定一个平面，属于容易题. 【人教A版必修二第8.4.1节练习第4题】用符号表示下列语句，并画出相应的图形： （1）点A在平面内，点B在平面外； （2）直线经过平面外的一点M； （3）直线既在平面内，又在平面内. 【答案】（1），如图.（2），如图.（3），如图. 【分析】根据点线面的关系，借用集合符号，表示即可. 【详解】（1），如图： （2），如图： （3）或，如图： 【点睛】本题主要考查了空间几何中的符号语言，属于容易题. 【人教A版必修二第8.4.2节例1】如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系. 【分析】根据图形，先判断直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来. 【详解】在（1）中，，，.在（2）中，，，，，，. 【人教A版必修二第8.4.2节练习第1（2）题】设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ） A. 平行 B. 相交 C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线 【答案】D 【分析】按直线的三种位置关系分析． 【详解】如图，长方体中， 当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.故选：D. 【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题． 【人教A版必修二第8.4.1节练习第2题】如图，在长方体中，判定直线与，直线与，直线与，直线与的位置关系. 【答案】见解析 【分析】按直接的三种位置关系判断． 【详解】直线与相交；直线与平行；直线与异面；直线与异面. 【点睛】本题考查空间两条直线间的位置关系，属于基础题． 【人教A版必修二第8.4.1节练习第4题】已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由． 【答案】它们是平行直线或异面直线；答案见解析． 【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系； 【详解】直线的位置关系是平行直线或异面直线； 理由如下：由，直线分别在平面，内，可知直线没有公共点．因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，这与是平面，平行矛盾．因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线． 【人教A版必修二习题8.4第4题】 （1）如果、是异面直线，直线与、都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_______个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是________； （3）已知两条相交直线、，且平面，则与的位置关系是__________． 【答案】①. ②. 直线平行于平面或直线在平面内 ③. 或与相交 【分析】（1）根据两相交直线可确定一个平面可得解；（2）利用图形可判断直线与平面的位置关系； （3）利用图形可判断与的位置关系. 【详解】（1）因为、是异面直线，直线与、都相交，则与、与可分别确定一个平面， 故这三条直线中的两条所确定的平面共有2个； （2）若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线在这个平面内或这条直线与平面平行，如下图所示：已知，，则（如图1），（如图2）. （3）已知两条相交直线、，且平面，如下图所示： 如图3所示，可知，如图4所示，与相交. 【人教A版必修二习题8.4第8题】已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三点共线. 考点梳理： 考点一、 例、 如图所示，在正方体中，，分别是和的中点.求证： （1），，，四点共面；（2），，三线共点． [解析]（1）如图，连接，，. 因为，分别是，的中点，所以. 又，所以，所以，，，四点共面. （2）因为，，所以与必相交，设交点为，如图所示. 则由， 平面，得 平面.同理 平面. 又平面 平面，所以，所以，，三线共点. 例、已知空间四面体（如图所示），，分别是，的中点，，分别是，上的点，且，.求证： （1），，，四点共面；（2），，三线共点． [解析]（1）如图，连接，，因为，分别是，的中点，所以. 又因为，，所以，所以，所以，，，四点共面. （2）由题意得与直线不平行，但共面， 所以设，所以 平面， 平面. 又因为平面 平面， 所以，所以，，三线共点. 小结：共面、共线、共点问题的证明方法 （1）证明点或线共面问题的两种方法 1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． 2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． （2）证明点共线问题的两种方法 1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． 2)直接证明这些点都在同一条特定直线上． （3）证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 提醒：点共线、线共点等都是应用基本事实3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上． 考点二 空间中点、直线、平面之间的位置关系的判断 例．已知空间中的平面α，直线l，m，n以及点A，B，C，D，则下列说法错误的是(　　) A．在空间中，若四边形ABCD满足AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 B．若l⊄α，A∈l，则A∉α C．若A，B，C，D四点不共面，则其中任意三点不共线 D．若l和m是异面直线，n和l是平行直线，则n和m是异面直线 答案：ABD 解析：对于A，正四面体A－BCD的各棱长均相等，四边形ABCD为空间四边形，不是菱形，故A错误；对于B，若l⊄α，则l∥α或l与α相交，所以A∉α或A∈α(此时A为l与α的交点)，故B错误；对于C，若已知四个点不共面，则其中任意三个点不共线，否则，若存在三点共线，则问题转化为一条直线与直线外一点，则四点共面，故C正确；对于D，如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1和BC异面(l，m是异面直线)，A1B1∥AB(l∥n)，但是AB∩BC＝B(m，n相交)，故D错误．故选ABD. 例. 如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列结论不正确的是( ) A. 存在点，使得 B. 存在点，使得 C. 直线始终与直线异面 D. 直线始终与直线异面 答案：C [解析]在正方体中，易得 平面，因为点在直线上，为线段的中点，所以当点和点重合时， 平面，所以，故正确； 如图，连接，，当为线段的中点时，为的中位线，即，故正确； 平面，当点和点重合时， 平面，所以直线和在同一平面内，故不正确； 平面， 平面，，所以直线始终与直线不相交， 且不平行， 所以直线与直线是异面直线，故正确.故选. 小结：空间两条直线位置关系的判定方法 跟踪练习： 1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　) A．与a，b都相交 B．只能与a，b中的一条相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．与a，b都平行 答案：C 解析：由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据基本事实4，知a∥b，与a，b为异面直线矛盾，D错误．故选C. 2．(2026·山东淄博模拟)若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点；反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线，所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件．故选A. 3．如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质逐项分析判断即可. 【详解】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 4．下列说法正确的是（    ） A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 5．（2026·浙江·二模）已知正方体，E为棱的中点，则下列与直线不互为异面直线的是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】 对于直线，在底面内，不与共面，也不相交,所以是异面直线. 对于直线，与不在同一平面，无交点，不平行，所以是异面直线. 对于直线,与相交于中心点，是相交直线，所以不是异面直线. 对于直线,两者无交点，不平行，不在同一平面内，所以是异面直线. 6、在三棱锥D－ABC中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且EF∥GH，则下列说法中正确的是(　　) A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交 C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面 答案：D 解析：如图1，由于EF∥GH，所以E，F，G，H四点确定一个平面EFGH，因此直线EH与FG一定共面，故D正确，C错误；如图2，当EF∥GH，EF＝GH时，四边形EFGH为平行四边形，此时EH∥FG，故B错误；如图3，当EF∥GH且EF≠GH时，四边形EFGH为梯形，此时EH与FG交于一点，故A错误．故选D. 7．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】D 【详解】连接．因为平面，所以平面．又因为平面，所以点在平面与平面的交线上，即三点共线，故A正确；因为，所以四点共面，又因为三点共线，所以四点共面，四点共面，故B，C正确；因为平面，平面，所以四点不共面，D错误． 8、在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　　) A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 答案：D 解析：由题意，圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，AC⊂平面ABC，所以EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF.故选D. 9．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置. 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误.判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 10．（多选）设a，b，c是空间中的三条直线，下面四个命题中错误的是（ ） A.若a∥b，b∥c，则a∥c； B.若a⊥b，b⊥c，则a∥c； C.若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； D.若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线． 答案：BCD 解析：由基本事实4知A为真命题；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故B为假命题；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行或异面，故C为假命题；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b不同在任何一个平面内，故D为假命题． 11．（多选）如图所示．是正方体，O是的中点，直线交平面于点M，下列结论中正确的是（ ） A.A、M、O三点共线          B.A、M、O、不共面 C.A、M、C、O共面        D.B、、O、M共面 【答案】AC 【分析】由公理1判断A，由公理2判断B和C，用反证法判断D 【详解】连接，因为是的中点，所以，平面与平面有公共点A与，则平面平面，对于A，平面，则平面，因为平面，则，即A，M，O三点共线，所以A正确，对于BC，由A知A，M，O三点共线，所以A，M，O，共面，A，M，C，O共面，所以B错误，C正确； 对于D，连接，则都在平面上，若平面，则直线平面，所以平面，显然平面，所以D错误， 12. （多选）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点，则下列说法正确的是(　　) A．E，F，G，H四点共面 B．EF∥GH C．EG，FH，AA1三线共点 D．∠EGB1＝∠FHC1 答案：ABC 解析：对于A，B，如图，连接EF，GH，因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F，所以四边形B1EFC1是平行四边形，所以EF∥B1C1，所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面，故A，B正确；对于C，如图，延长EG，FH相交于点P，因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1，所以P∈平面ABB1A1，因为P∈FH，FH⊂平面ACC1A1，所以P∈平面ACC1A1，因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1，所以P∈AA1，所以EG，FH，AA1三线共点，故C正确；对于D，因为B1E＝C1F，当GB1≠HC1时，tan∠EGB1≠tan∠FHC1，又0<∠EGB1<，0<∠FHC1<，则∠EGB1≠∠FHC1，故D错误．故选ABC. 13．（多选）如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． 平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面， 所以，，，四点不共面，故A错误；对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且 ，又平面，而平面，所以 平面，故B正确； 对于C，因为点，分别在棱，上，且，，所以，且 ， 所以，且 ，所以，，，四点共面，又平面，所以与是异面直线，故C正确；对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交， 设，又平面，平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确． 14．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. 【答案】平行 异面 相交 垂直 【详解】对于①，长方体中，// // ，且，所以四边形是平行四边形，所以直线与直线的位置关系是平行；对于②，由①知，// ，由于过一点作已知直线的平行线，有且只有一条，所以直线与直线不平行，直线平面，直线平面，且，所以直线与直线不相交，所以直线与直线的位置关系是异面；对于③，直线与直线有公共点，所以其位置关系是相交；对于④，因为平面，所以平面.即直线与平面的位置关系是垂直. 15.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)B，D，E，F四点共面； (2)若A1C交平面BDEF于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明：(1)如图所示，连接B1D1. 由题意知，EF是△B1C1D1的中位线，所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD， 所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即B，D，E，F四点共面． (2)设平面ACC1A1为α，平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点， 同理，P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，且R∈β. 又A1C⊂α，所以R∈α，所以R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD，且EF<BD，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． 16、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设直线EG与直线FH交于点P.求证：P，A，C三点共线． 证明：(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD. 在△BCD中，＝＝，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面． (2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC. ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线． 17.如图,在正四棱锥中,点E,F分别为PD,PB的中点,点G,H分别为棱AD,AB上的一点,且． (1)若,求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 【解析】（1）因为,所以正四棱锥的高, 所以正四棱锥的体积； （2）证明：连接, 因为点分别为的中点,所以, 又点分别为棱上的一点,且, 所以,所以,所以四点共面； （3）证明：由（2）知,所以直线相交,记交点为, 所以,又平面,所以平面,同理可得平面, 又平面平面,所以,即直线三条直线交于一点. 学科网（北京）股份有限公司 $