河南信阳高级中学（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期7月期末测试数学试题

**基本信息** 以高二数学核心知识为载体，通过翻折几何、统计建模等综合题设计，考查逻辑推理、空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、向量等基础|注重概念辨析，落实数学眼光的抽象能力| |多选题|3/18|立体几何、概率等综合判断|考查跨模块知识关联，体现数学思维的推理意识| |填空题|3/15|二项式定理、解三角形、函数零点|强调运算能力与数学语言的简洁表达| |解答题|5/77|数列证明、立体几何翻折、双曲线、导数证明、统计建模|通过疫苗有效性研究等情境与导数双极值点证明，综合考查数学建模与逻辑推理，契合高考命题趋势|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．3 D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A．-3 B．3 C． D． 5．将椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于五点，是椭圆的右焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的对称中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．已知四棱锥中，为的中点，平面平面，，且.则下列结论正确的有（    ） A．平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为2 D．直线与平面所成角的余弦值为 11．在一块木板上绘制平面直角坐标系，在四点处钉上四枚钉子，将长度为10的细绳环放在木板上围出一个封闭区域，且四枚钉子在此区域内．用一支铅笔拉紧细绳，移动笔尖一周，笔尖在木板上留下了封闭的轨迹，则（   ） A．轨迹上任意一点到原点距离的最大值为3 B．轨迹上任意一点到原点距离的最小值为 C．轨迹的面积大于20 D．直线与轨迹最多有2个公共点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．二项式的展开式中第7项是常数项，则n的值是_____. 13．已知是边长为8的等边三角形，点D在边上（异于B，C），若，则__________． 14．已知函数有三个不同的零点，且 ，则的最小值为_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，． (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求． 16．（15分）如图1，在中，，点，D是的三等分点，点，C是的三等分点．分别沿和DC将和翻折，使平面平面ABCD，且平面ABCD，得到几何体，作于E，连接AE，，如图2． (1)证明：图2中，； (2)在图2中，若，求直线与平面ADE所成角的正弦值． 17．（15分）已知双曲线的左顶点到其渐近线的距离为，过右焦点的任意直线与双曲线的右支交于M，N两点，且直线AM，AN与直线分别交于P，Q两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线FP，FQ的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 18．（17分）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若有两个极值点，． （i）证明：； （ii）证明：. 19．（17分）某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量表示第组被感染的白鼠数，并将随机变量的观测值绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记为事件“”.    (1)写出（用表示，组合数不必计算）； (2)研究团队发现概率与参数之间的关系为.在统计学中，若参数时的值使得概率最大，称是的最大似然估计，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期07月期末测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C C B D A BD ABD BCD 1 学科网（北京）股份有限公司 12．9 13． 14． 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由可得，则即可证明是等差数列； （2）由（1）知，通过裂项相消法即可求得数列的前项和为. 【详解】（1）由得， ，，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， 所以， 所以数列的前项和为， 所以 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明平面ADE来证得. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得直线与平面ADE所成角的正弦值. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以，在翻折前，点D，C分别是，的三等分点，所以，在四边形ABCD中，，所以， 因为，所以平面，又平面，所以， 又因为，，所以平面ADE，由平面ADE得． （2）以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 如图，由，不妨设，，则，，，， 又由（1）知，平面ADE的一个法向量为， 设直线与平面ADE所成的角为，则， 所以直线与平面ADE所成角的正弦值为． 17．(1) (2)是， 【分析】（1）根据题意列方程求出即可； （2）直线，联立双曲线方程，结合韦达定理表示出化简即可得解. 【详解】（1）由渐近线方程为得， 左顶点坐标为，则点到渐近线的距离， 解得，则， 双曲线的标准方程为 （2）设点， 依题意知直线的斜率不为0，设直线，与双曲线联立， 化简得， 则，， 根据韦达定理，可得 点坐标为 直线与直线的交点坐标为， 同理可得点. 18．(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）（i）求出函数及导数，分离参数并构造函数，探讨函数性质即可推理得证；（ii）由（i）中信息，构造函数，探讨函数在上的单调性，推理得证. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）（i）函数，求导得， 令，得， 设，求导得，， 令，得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， 于是，由有两个极值点，得方程有两个实根， 即有两个实根，则. （ii）由（i）知，是方程的两个实根，即，且， 设，求导得， 令，则当时，， 即函数在上单调递增，则，即当时，， 于是函数在上单调递增，则，因此， 则，即，而，又在上单调递减， 因此，所以. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： ①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； ②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； ③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； ④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19．(1) (2) 【分析】（1）由题知随机变量，然后利用二项分布的概率公式求解； （2）设事件，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出，令，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的，代入中可求得. 【详解】（1）由题知随机变量，所以. （2）设事件，由题图可知， 则， 即. 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时，取得最大值，即取得最大值， 所以，即， 解得或， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第（2）问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. $