河南省部分普通高中2025-2026学年高二下学期7月期末联考数学试题

**基本信息** 2026年河南高二期末数学联考卷，以数学思维与应用为核心，覆盖集合、函数、立体几何等高二核心知识，梯度设计适配期末综合测评，体现数学眼光与理性精神。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、数列充要条件等|单选夯实基础，多选考查三角函数性质、正方体几何关系| |填空题|3题15分|二项式定理、椭圆离心率、等差等比综合|第14题结合数论，考查数学抽象| |解答题|5题77分|立体几何证明、统计概率、导数应用等|第17题以智能机器人为情境，第19题导数综合考查逻辑推理与证明|

参照秘密级管理★启用前 参考答案类型：A 2026年7月河南省普通高中高二年级期末联考 数学参考答案 1．C 【分析】根据元素与集合的关系，列式，再检验集合中元素是否满足互异性. 【详解】由条件，则或， 当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去， 当时，或（舍）， 所以. 2．C 【详解】由题设，则. 3．D 【分析】将所求向量的模长平方，利用向量数量积运算律展开后代入已知的边长、夹角条件计算，再开方得到结果. 【详解】已知等腰直角中，，， 因此，且与的夹角为，故. 所以 ， 因此. 4．C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 5．A 【详解】若，则，则充分性成立； 若，则， 但不存在正整数，使得，故必要性不成立， 则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件. 6．B 【分析】通过几何关系建立圆锥体积关于高的函数表达式，再利用导数求解函数最大值，需明确变量的实际取值范围. 【详解】设圆锥的高为，底面半径为，已知球的半径. ∵ 圆锥内接于球，球心到圆锥底面的距离为， ∴ 由勾股定理可得 ，整理得 ，其中的取值范围为. 根据圆锥体积公式 ，将代入得：. 对关于求导，得 . 令，解得 或 （不符合实际意义，舍去）. ∵ 当 时，，单调递增；当 时，，单调递减， ∴ 当时，取得最大值，代入得： . 故正确选项为B. 【点睛】方法归纳：求解几何体内接几何体的最值问题，通常先结合几何关系建立目标函数，再利用导数或基本不等式求解最值，需注意变量的实际取值范围，避免无意义解. 7．C 【分析】由题意可知，及渐近线方程，再计算出圆心到其中一条渐近线的距离，从而得到弦长，最后利用余弦定理求解. 【详解】由题可知，则，渐近线方程. ,则，圆的半径. 圆心到一条渐近线的距离：， 则， 在中，由余弦定理可得： 8．C 【详解】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 9．ABC 【详解】由回归直线的性质可知A正确， 把点代入到，得，故B正确， ，与呈正相关，故C正确， 当投放数量为30条时，，当月点赞数估计为170万次，故D错误. 10．BC 【分析】由奇偶性与周期性的定义计算可判断A；利用二倍角的余弦与换元法求得的值域判断B；由题意得，结合余弦函数的牟称性可判断C；结合C选项求得判断D. 【详解】选项A：，所以是偶函数； 又，因此最小正周期是不是，故A错误； 选项B：， 令，则. 当时， 当时，为.故B正确； 选项C： 令，即， 解得（另一根，舍去）. 在内，（其中）的两个根， 满足（余弦函数的对称性），故C正确， 选项D，由方程， 根据C选项可知，但只有符合， 所以，故D错误. 11．ACD 【分析】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体，连接得到 ，取的中点，连接，得到 ，连接 ， ，连接 ，得到四边形 为经过 ， ， 三点的截面；选项B，求出平面 的法向量为，利用公式求解；选项C，利用线段 的中点四点共面求解；选项D，利用直三棱柱的性质确定球心，进而求出球半径，利用球的表面积公式求解. 【详解】选项A，在正方体的后面做一个等大的正方体， 因为 为 的中点，所以 ， 连接， ，取的中点，连接，则 ， 连接 ， ，连接 ， 则四边形 为经过，， 三点的截面，其形状为四边形，故选项A正确； 选项B，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面 的法向量为， 则，即，取 ，则 ， 则平面 的法向量为， ，，， 设点到平面 的距离为 ， 则，故选项B错误； 选项C，若点和点到平面的距离相等， 满足两种情况，平面 直线 ，或平面过 的中点， 记线段 的中点为，设，， 则四点共面的条件为， 即， 即，解得 ， 因为 为正方形内一点（包含边界）， 所以 ， 所以 的点全部落在正方形内， 例如取，即可满足条件， 因此存在点 ，使得点和点到平面的距离相等，故选项C正确； 选项D，因为三棱柱 是直三棱柱，底面 是直角三角形， 所以三棱柱 外接球的球心为上下底面直角三角形斜边中点连线的中点， 因为下底面斜边 的中点为， 上底面斜边 的中点为， 所以球心为，球半径为， 所以三棱柱 外接球的表面积为 ，故选项D正确. 12． 【详解】因为展开式的通项为 ， 的幂指数为 ，令其为0得，非整数，故常数项不存在，系数为0. 13． 【分析】利用椭圆的第三定义得到即可求解. 【详解】根据题目条件可知点M，N是椭圆（）上关于原点对称的两点， 又由于A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为， 根据椭圆的第三定义可知． 因为椭圆离心率，所以，因此椭圆C的离心率为. 14． 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 15．(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 16．(1) (2)，或， 【分析】（1）利用三角形内角和性质、三角恒等变换化简已知等式求角； （2）结合三角形面积公式建立的关系，再用余弦定理列方程求解. 【详解】（1）在中，，故 ， 将已知等式变形： ， 又 ， 代入得： ， 因，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得： ，又 再代入余弦定理，得 ， 整理得，解得或， 对应代入，得或， 故，或，. 17．(1)该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强 (2) (3) 【分析】（1）由题意计算出样本均值以及方差、协方差的求和项，代入相关系数公式求出r，并结合给定的判断区间得出结论. （2）先利用全概率公式求出“使用者对结果不满意”的总概率，再利用条件概率公式逆向推导出在“不满意”前提下“实际正确执行”的概率. （3）根据独立事件乘法公式列出“挑战成功”的概率解析式，利用已知条件进行代数消元与换元将其转化为一元二次函数，由二次函数的性质即可求得最值. 【详解】（1）由题意知，，， ， ，． 所以 所以该性能指数与用户的喜欢程度的相关性很强． （2）记事件：机器人正确执行命令；事件：使用者对执行结果满意，则 ，，，． 所以， 所以， 故如果使用者对某次命令执行结果表示不满意，机器人实际正确执行命令的概率约为． （3）设事件：机器人挑战成功，则 ． 由，得 ．令， 因为，，所以，所以 设，当，即或时，． 所以当时，机器人挑战成功的概率的最大值为． 18．(1)或. (2)证明：①根据题意，设，所以， 因为三点共线，所以，可得， 又因为曲线在处的切线方程分别为， 所以， 所以，可得，所以，所以. ② 【分析】（1）设是曲线的任意一点，根据题意，得到，化简后即可求解； （2）①设，得到，根据三点共线，求得，再由曲线在处的切线方程，求得，证得，即可得证； ②设，由，求得，设直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得，利用弦长公式，求得的长，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：设是曲线的任意一点， 因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得， 整理得或， 所以曲线的轨迹方程为或. （2）解：②设， 因为，可得，所以， 设直线的方程，联立方程组，整理得， 则，且， 因为，解得， 则， 由，可得，则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 可得，同理可得， 联立方程组，两式相减得， 解得，则， 所以，可得， 因为，所以. 19．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）略. 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $秘密 启用前 试题卷类型:A 2026年7月河南省普通高中高二年级期末联考 数学 本试题卷共4页,19小题,满分150分。考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3. 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合,,,则实数的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 2.已知复数,其中,是虚数单位,若为纯虚数,则的值为( ) A. B. C. D.或 3.在等腰直角三角形中,,,则( ) A.1 B.2 C. D. 4.已知函数为奇函数,则( ) A. B. C. D. 5.已知是无穷等差数列,“存在正整数,使得”是“存在正整数,使得”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知球的半径为,圆锥内接于球,则圆锥体积的最大值为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线离心率为2,左焦点为,右顶点为,以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于两点,则( ) A. B. C. D. 8.已知函数,若对任意的,都有,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.为了研究某短视频平台视频投放数量(单位:条)与用户总点赞数(单位:万次)之间的关系,运营部收集了12个月的数据,计算得出线性回归方程为.已知月平均投放数量,月平均点赞数,则( ) A.线性回归方程过点 B. C.与呈正相关 D.当投放数量为30条时,当月点赞数一定为170万次 10.已知函数,其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是( ) A.是最小正周期为偶函数 B.的值域为 C. D. 11.已知正方体的棱长为6, , , 分别为 , ,的中点, 为正方形内一点(包含边界).下列说法正确的是( ) A.经过 , , 三点的截面形状为四边形 B.点到经过 , , 三点的截面的距离为 C.存在点 ,使得点和点 到平面的距离相等 D.三棱柱 外接球的表面积为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若的展开式中的常数项是_. 13.已知点M,N是椭圆()上的两点,且线段MN恰为圆的一条直径,A为椭圆C上与M,N不重合的一点,且直线AM,AN的斜率之积为,则椭圆C的离心率为_. 14.已知等比数列与等差数列的各项均为正整数,其公比与公差分别为,,的前项和为.若对任意正整数,,则_. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图,在六面体中,底面是边长为2的菱形,,平面,是的中点. (1)证明:平面; (2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的长. 16.(15分)记的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若边上的高为,,求,. 17.(15分)某公司研发了一款新型智能机器人,一经投放市场颇受欢迎,为了更好地服务广大用户,该公司对这款机器人的某个性能指数x()与用户的喜欢程度y()进行调查统计,得到如下数据表: x 5 6 7 8 9 y 0.55 0.50 0.60 0.65 0.70 (1)请根据上表提供的数据,利用相关系数r,判断该性能指数与用户的喜欢程度的相关性强弱(当时,x与y的相关性很强); (2)这款智能机器人的交互性很强,用户可通过语音给机器人发布指令,机器人执行命令的正确率为90%,出错率为10%.当机器人正确执行命令时,使用者满意的概率为90%;当机器人执行命令错误时,使用者满意的概率为30%.如果使用者对某次命令执行结果不满意,求机器人实际正确执行命令的概率(精确到0.01); (3)该公司科技人员随机抽取一台这款智能机器人进行挑战答题,共准备了4道高难度的问题,若机器人答对的题数不小于3,则挑战成功.已知机器人答对前两道题的概率均为p,答对后两道题的概率均为q,每次答题结果互不影响.当时,求机器人挑战成功的概率的最大值. 附:相关系数. 18.(17分)已知动点到定点的距离比到轴距离大1,记动点的轨迹为曲线. (1)求轨迹的方程; (2)过的直线交曲线于,曲线在点处的切线相交于点. ①证明:; ②时,求的面积. 19.(17分)已知函数(),. (1)讨论函数的单调性; (2)若的图像在处的切线与的图像相切,求实数的值; (3)当时,证明:对任意的,恒成立. 数学试题卷 第 1 页(共 4 页) 学科网(北京)股份有限公司 $