直线与抛物线综合专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以位置关系为基础，通过分类讨论、韦达定理、点差法等构建直线与抛物线综合问题的解题体系，逻辑递进覆盖弦长、中点弦、焦点弦及定点定值，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系|2题|斜率分类讨论、判别式应用|从基础交点判断到条件关系论证，构建几何直观| |弦长问题|6题|韦达定理、弦长公式、切线方程|结合圆与抛物线综合，强化运算能力与模型意识| |中点弦问题|5题|点差法、中点坐标公式|衔接韦达定理，深化对称思想与代数表达| |焦点弦长问题|5题|焦半径公式、抛物线定义|聚焦特殊弦性质，培养数学眼光与转化能力| |定点定值问题|5题|方程恒成立、轨迹思想|综合应用前述方法，提升数学语言表达与创新意识|

直线与抛物线综合 知识点一 直线与抛物线的位置关系 1．过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点二抛物线的弦长问题 3．已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点过该抛物线的焦点且倾斜角为的直线，与抛物线相交于、两点． (1)求抛物线的标准方程和线段的长． (2)求的值． 7．已知抛物线与圆相交于、两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)若、是上两点，且线段的中点为，求． 8．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 知识点三 中点弦问题 9．已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 10．AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 13．已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 知识点四 焦点弦长问题 14．（多选）已知抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，，则下列说法正确的是（    ） A． B．准线方程 C．点或 D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 15．（多选）已知抛物线的焦点为F，准线为l，过焦点F作直线与抛物线交于，两点，又过A，B两点分别作，，垂足为，连接，，则（     ） A． B． C． D．以为直径的圆与l相切 16．（多选）过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（     ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则的横坐标为 C．的最小值为 D．向量为定值 17．（多选）设抛物线：的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于点A，B，过点F且垂直于的直线交准线：于点E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（    ） A． B． C．与不垂直 D． 18．（多选）已知抛物线过点，焦点为，点为抛物线上不同的两点，则（    ） A． B．存在直线，使得当直线过点时，有成立 C． D．若，则 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 知识点五 定点定值问题 19．已知抛物线：，直线与抛物线有且只有一个交点． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于异于原点的两点，，若，过作的垂线，垂足为，求证：直线恒过定点，并求出的取值范围． 20．在平面直角坐标系中，已知定点和定直线：.动点到定点的距离等于它到定直线的距离，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设为坐标原点，点，是曲线上异于原点的两个动点，且满足. （ⅰ）证明：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最小值. 21．已知点，是平面上一动点，点到点的距离比它到轴的距离大1，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)已知点，，为不过点的直线与曲线的交点，直线的斜率记为，直线的斜率记为，若，求证：直线过定点，并求出定点坐标． 22．设抛物线：的焦点为，直线：与抛物线相交于两点，点为线段的中点． (1)求的取值范围； (2)求证：点的纵坐标为定值． 23．已知抛物线上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线的方程； (2)过的直线交于，两点，直线，的斜率分别为和，证明：为定值； (3)在直线上任取一点，过点分别作曲线的两条切线，切点分别为和，设的面积为，求的最小值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 答案 B A B B B A C B A AC 题号 15 16 17 18 答案 BD ABD ABD ACD 1．B 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 2．A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 3．B 【分析】用方程组法求得切线方程，然后求出圆心到切线的距离，并利用勾股定理求得弦长，再计算三角形面积． 【详解】在抛物线中，时，，即切点为， 设切线方程为， 由得， ，解得， 所以切线方程为，即， 由题意圆心为，半径为， 圆心到切线的距离为， 所以， ．    4．B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 5．B 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 6．(1)抛物线的标准方程为， (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的标准方程为，将点的坐标代入抛物线方程，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦点弦长公式可求得的值； （2）利用抛物线的焦半径公式和韦达定理可求得的值． 【详解】（1）由题意，设抛物线的标准方程为， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设点，，易知抛物线的焦点为，则直线的方程为， 联立可得，， 所以，， 故． （2）． 7．(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线与圆都关于轴对称，得到垂直轴，结合弦长求出点坐标，代入抛物线即可求出. （2）用点差法，根据中点纵坐标求出直线的斜率，写出直线方程；再联立抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出. 【详解】（1）因为抛物线与圆都关于轴对称， 所以交点关于轴对称，弦垂直于轴， 因为，所以点纵坐标， 把代入圆方程：，解得， 因为，所以，所以， 将代入抛物线方程， 得到，解得，即， 抛物线的方程为：. （2）设，，两点都在抛物线上， 则有， 两式作差可得 ， 由中点，得， 直线斜率， 直线方程：，整理得， 联立， 把代入抛物线，得到 ， 由韦达定理可得：， 又 则， . 8．(1) (2) 或 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【详解】（1）已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. （2）由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 9．(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 10．A 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 11．C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 12．B 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理及中点横坐标求得，再由弦长公式求. 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 13．A 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 14．AC 【详解】抛物线的焦点，，，故A正确. 准线方程为，故B错误. 因为A为抛物线上的一点，，所以，解得， 所以，解得，所以点或，故C正确. 不妨取，则AF的中点坐标为，因为点到准线的距离为， 所以以为直径的圆与抛物线的准线相离，事实上以为直径的圆与y轴相切，故D错误． 15．BD 【分析】选项A，设过抛物线的焦点的直线为，联立抛物线并应用韦达定理得，进而有；选项B，结合向量数量积的坐标运算来判断；选项C，利用抛物线定义和韦达定理化简，；选项D，中点到准线的距离等于，故以为直径的圆与准线相切. 【详解】选项A，设过抛物线的焦点的直线为， 代入抛物线方程得，因，， 则，， 所以，A错误； 选项B，，， 所以， B正确； 选项C，由抛物线定义，，则，由可知，，，代入得，C错误； 选项D，设中点为，过点作于， 由抛物线定义，即点在以为直径的圆上，故以为直径的圆与l相切，D正确. 16．ABD 【分析】本题考查抛物线的基本性质、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系，结合韦达定理计算相关量即可判断各选项. 【详解】选项A：抛物线C：为开口向右的标准抛物线，满足，， 准线方程为，故A正确. 选项B：根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以，则，即A点的横坐标为4，故B正确. 选项C：因为直线过焦点，焦点，由题意已知直线与抛物线要有两个交点， 所以直线斜率不为0，设直线为，， 由韦达定理得；； ，则， ，故的最小值为16，故C错误. 选项D： ，故D正确. 17．ABD 【分析】对A，由抛物线定义判断；对B，由抛物线焦点弦中通径最短可判断；对C，由判断；对D，设直线，先联立抛物线得到，求出点，再将距离平方配方因式分解，借助韦达定理整体代换化简乘积，最后由利用单调性得到最小值 . 【详解】对于A：由抛物线的定义可知，A正确； 对于B：抛物线过焦点的弦中通径最短，由抛物线方程可得焦点， 由得或，所以通径长为，所以，B正确； 对于C：当直线斜率不存在时，，由选项B分析可知，， 此时，即与垂直； 若直线斜率存在，设，则 由得， 设，则， 所以， 由，得，即， 所以 ，所以此时与垂直； 综上，C错误； 对于D：设过的直线 方程为 ，交抛物线于 ， 由 得：，由韦达定理得， 过 且垂直于 的直线斜率为 ，方程为 。 在准线 x上，代入得 ， 因此 ， 根据两点间距离公式： ， 因为 在 上，，因此 ， 所以， 同理可得：， 因此， 因为 所以 因为 ，所以 ，因此： ， 当且仅当 （即 垂直 轴）时，等号成立，故 成立，D正确.    18．ACD 【分析】选项A.将代入抛物线方程求解即可.选项B.分析过焦点的弦长的最小值与题干比较求解即可.选项C.设出坐标，利用向量内积得到，再利用二次函数最值求解即可.选项D.根据题意分析，再利用焦半径公式得到，进而得到，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】对于A，将点代入可得，得，故A正确； 对于B，若直线过点，则为抛物线的焦点弦长. 因为抛物线最短焦点弦长为其通径长，为，故B错误， 对于C，显然直线不与轴平行，设直线与轴交于点，， 设直线方程为.联立方程，化简得， 根据韦达定理，，故. 当时，取得最小值，故C正确； 对于D，设为以射线为始边，射线为终边的角，由在抛物线上运动，不妨取. 因为，所以. 设，则，进而. 根据抛物线定义，，解得，故或. ①当时，， 当时，取得最小值 ②当时，， 当时，取得最小值. 综上，，故D正确. 19．(1) (2)直线恒过定点  的取值范围为 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，根据，求的值； （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，根据，结合根与系数的关系确定直线恒过定点；求出点的轨迹方程，利用几何意义确定的取值范围． 【详解】（1）联立直线与抛物线方程： ，消去得， 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，即， 因为，所以， 所以抛物线的标准方程为. （2）设直线，，，. 联立，得， 根据根与系数的关系得，. 由 ，得，即， 其中，故， 所以得，，因为，所以， 因此直线，恒过定点. 因为点在直线上，所以， 又，，故，即. 将及代入， 得，整理得，，即， 又直线不过原点，所以点的轨迹方程为.其轨迹为圆心，半径为2的圆，去除点. 令，得， 由，解得，因为，所以， 因此的取值范围为. 20．(1) (2)（i）因为直线不垂直于轴，设其方程为：， 设，，联立直线与抛物线方程，，可得，， 因为，所以，得， 又因为，所以，即直线方程为，则过定点 . （ii）16 【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可； （2）（i）设直线的方程为：，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算即可. （ii）由（i）知直线过定点结合，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）由已知得曲线是以为焦点，直线：为准线的抛物线，， 所以曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）由（i）知直线过定点，所以 故， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，即面积的最小值为16. 21．(1)或； (2)证明：由不过点的动直线与曲线恒有两个交点，，则动直线与只抛物线相交， 可设点，直线的方程为：， 联立，得， 所以，即． 因为，所以， 代入得：，整理得：， 即或． 当时，直线的方程：过定点，舍去； 当时，直线的方程：过定点． 所以直线过定点． 【分析】（1）由题意转化为抛物线的定义，即可得到曲线方程； （2）利用方程组思想，结合韦达定理，即可得到直线过定点的证明. 【详解】（1）设，由点到点的距离比它到轴的距离大可得， ，平方得：， 当时，上式化简可得：， 当时，上式化简可得：， 即曲线的轨迹方程是或； （2）略 22．(1). (2)证明：设，则, 则点Q的纵坐标为. ∴点Q的纵坐标为定值2. 【分析】(1)利用直线与抛物线联立得到一元二次方程，然后利用判别式大于0求参数范围即可； (2)使用韦达定理得到纵坐标两根之和与的关系，然后得到定值 【详解】（1）直线l：与抛物线：联立得， ∴， 解得. （2）略 23．(1) (2) 由（1）得，设，，过的直线为， 与联立消去得， 则， 又，同理， 故. (3)4 【分析】（1）根据点在抛物线上和焦半径公式联立求出的值，即得抛物线方程； （2）设过的直线为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，由直线的斜率公式求出的表达式，化简计算即可得证； （3）设，，写出抛物线分别在点处的切线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式与点到直线的距离公式求出三角形面积的表达式，结合函数的性质即可求得最小值. 【详解】（1）由题意得抛物线的方程为，焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，故，解得， 点到焦点的距离为2，则有，即，解得， 因此抛物线的方程为. （2）略 （3） 设，，由，求导得， 则抛物线在点处切线方程为：， 在点处的切线方程为：， 整理得，和， 依题意，将代入上述方程，得，， 因此直线的方程为， 由，整理得， 易知，，， ， 点到直线的距离为， ， 当且仅当时，取得最小值4. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $