2.1.2两条直线平行和垂直的判定专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以斜率关系为核心，通过基础判定、参数求解、几何应用三级递进，系统培养推理意识与运算能力，构建“概念-判定-应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由斜率判断位置关系|7题|斜率公式直接应用；平行/垂直判定条件辨析|倾斜角→斜率→位置关系判定| |已知位置关系求参数|11题|参数方程构建与求解；重合情况检验|判定条件→方程思想→参数取值| |几何应用|4题|分类讨论（平行四边形顶点/直角顶点）；坐标法证明|斜率关系→几何性质→综合论证|

2.1.2两条直线平行和垂直的判定 知识点一 由斜率判断两条直线平行、垂直 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 2．已知直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 5．已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 6．已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 知识点二 已知直线平行、垂直求参数 8．设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 10．已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 11．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．若直线与直线平行，则（    ） A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3 13．已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 14．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 15．若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 16．已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 17．若直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 18．已知两条直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2： (1)相交； (2)平行； (3)垂直． 知识点三 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 19．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 20．在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 21．三条直线3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0围成直角三角形，求实数m的值． 22．设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C C D B D A 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 C A C A C A C 1．C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 2．A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 3．B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    4．D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 5．C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 6．C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 7．D 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 8．B 【详解】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 9．D 【分析】根据平行系数关系计算求解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 10．A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 11．C 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 12．A 【分析】根据两直线平行的条件计算参数即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或. 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线重合，不满足题意， 所以. 故选：A. 13．C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 14．A 【详解】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 15．C 【分析】根据斜率的关系求出斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【详解】由直线，即，知直线的斜率为． 因为直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以． 故选：C． 16．A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 17．C 【分析】直接根据直线与直线的垂直列等式即可． 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得． 故选：C． 18．(1)且； (2)； (3). 【分析】（1）由直线平行的判定，要使直线相交只需，即可求值. （2）由直线平行的判定有，注意验证直线是否存在重合的情况，即可得解. （3）由直线垂直的判定有，即可求值. 【详解】（1）直线相交，则，即， 所以且. （2）直线相交，则，即， 所以或. 当时，，，符合题设； 当时，，，两线重合，不合题设； 综上，. （3）直线垂直，则，可得. 19．或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 20．四边形是矩形，证明见解析 【分析】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可. 【详解】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 21．（1）或或m＝ 【分析】直线2mx-3y+12=0过定点A（0，4），若三条直线能围成直角三角形，则根据直线垂直与斜率之间的关系即可得到结论． 【详解】(1)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2x－3m2y＋18＝0垂直时，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1． 若m＝1，直线2mx－3y＋12＝0也与直线3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能构成三角形，故m＝1应舍去． ∴m＝－1． (2)当直线3x＋2y＋6＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有6m－6＝0，m＝1(舍)． (3)当直线2x－3m2y＋18＝0与直线2mx－3y＋12＝0垂直时，有4m＋9m2＝0． ∴m＝0或m＝ ． 经检验，这两种情形均满足题意． 综上所述，m＝－1或m＝0或m＝． 【点睛】本题主要考查直线垂直和斜率之间的关系的应用，要求熟练掌握直线垂直的斜率关系． 22．存在正实数或，使为直角三角形． 【分析】由分别为直角求解（相应直线斜率乘积为）可得． 【详解】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $