2.2 直线的方程（五大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线方程的点斜式、两点式、截距式等核心形式，通过辨析与应用题型构建从概念理解到综合计算的逻辑体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点斜式方程及辨析|4题（含旋转/夹角问题）|方程求解与概念判断结合|从斜率与倾斜角关系到点斜式应用| |直线图像辨析|4题（含象限判断/整点计数）|参数与图像特征关联|通过系数分析直线位置与几何意义| |两点式方程及辨析|4题（含截距计算/直角三角形应用）|两点确定直线与方程转化|两点式推导及与坐标轴交点求解| |坐标轴围成面积|4题（含截距比/面积计算）|方程形式与几何量关联|截距求法到面积公式的综合应用| |截距式方程及辨析|4题（含截距关系/面积问题）|截距定义与方程应用|截距式适用条件及参数求解逻辑|

2.2 直线的方程 题型一 直线的点斜式方程及辨析 1．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 2．下列说法中不正确的有（   ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C．过点且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 【答案】ACD 【分析】由两直线的位置关系即可判断AB，由直线的点斜式方程即可判断C， 由直线倾斜角与斜率的关系即可判断D. 【详解】对于A，若两直线平行，则两直线的斜率可能不存在，故A错误； 对于B，若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直，故B正确； 对于C，过点且斜率为1的直线方程为，而方程中，故C错误； 对于D，直线倾斜角的范围是：， 当时， 倾斜角增大时，斜率也增大；当时，斜率不存在； 当时，倾斜角增大时，斜率也增大.故D错误. 故选：ACD. 3．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 4．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 题型二 直线图像的辨析 5．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 6．若，，且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【分析】根据题意可得，，，进而转化为，从而求出的值，进而求出直线的方程，即可判断直线所经过的象限. 【详解】∵，，且， ∴，，， ∴，∴， 则直线，即，即， 故直线不经过第四象限． 故选：ABC． 7．已知反比例函数（），当时，随的增大而增大，那么一次函数的图像不经过第________象限 【答案】三 【分析】根据反比例函数的单调性求得的范围，由此判断出一次函数不经过的象限. 【详解】由于函数在时递增，故，由可知，直线过，且斜率小于零，由此可判断一次函数不经过第三象限. 故填：三. 8．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论直线经过坐标原点和不过坐标原点的情况，根据截距相等可构造方程求得结果； （2）讨论直线斜率为和斜率不为的情况，根据直线不过第二象限可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 题型三 直线两点式方程及辨析 9．已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 10．下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 【答案】AD 【分析】由直线方程的意义判断A，直线方程的截距式判断B，由直线与的交点及距离的定义判断C，分类讨论确定过两点的直线方程判断D． 【详解】根据点斜式方程的含义知表示为过点且斜率为的直线方程，A正确； 在轴，轴上的截距分别为，，只有时，直线方程为，B错误； 直线与轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误； 无论直线斜率是否存在(垂直于轴时，，式子简化为；平行于轴时，，式子简化为)，都能表示过， 的直线，D正确. 故选：AD. 11．经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 12．已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线的方程，最后令可求点坐标. （2）先确定斜边的中点，利用两点式写出斜边中线的方程，再化简即可. 【详解】（1）因为，且， 所以. 所以直线的方程为，即. 令，可得. 所以点的坐标为. （2）的斜边为，设中点为，则. 所以直线的方程为：，即. 所以斜边中线所在直线的方程为. 题型四 直线与坐标轴围成图形的面积 13．若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先利用点斜式求出直线方程，求得在坐标轴上的截距即可求解面积. 【详解】因为斜率为的直线l经过点，所以直线l方程为， 令，得，令，得， 所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为. 故选：B 14．下列说法错误的是（　　） A．直线的截距式方程不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 D．直线的斜率为0 【答案】BCD 【分析】根据直线的截距式方程的意义可判断A的正误，求出符合条件的直线方程后可判断B的正误，求出直线与坐标轴的交点坐标后求出面积可判断C的正误，根据直线垂直于轴可判断D的正误. 【详解】对于A，因为直线有截距式方程，故截距存在且不为零， 故直线不过原点且不垂直于坐标轴，故A正确； 对于B，由直线的点斜式方程可得直线的方程为即，故B错误； 对于C，直线与两坐标轴的交点分别为， 故与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C错误； 对于D，直线的斜率不存在，故D错误； 故选：BCD 15．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 【答案】4 【分析】根据给定条件，设出直线的截距式方程，进而求出该直线方程，再求出直线与坐标轴围成三角形面积. 【详解】依题意，直线不过原点，设的方程为， 由直线过点，得，解得，直线的方程为， 则在轴上的截距分别为4，2，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4. 故答案为：4 16．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为， 即， 整理得． 所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 题型五 直线截距式方程及辨析 17．已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 18．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 19．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 20．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点式得直线的方程，进而得纵截距，利用三角形面积公式即可求解； （2）设直线，进而得，解出即可求解. 【详解】（1）当直线在轴上截距为4时，直线l过点，又直线l过， 根据两点式得，即， 令得， 所以的面积； （2）由题知，截距一定不为0，不妨设直线， 所以或， 解得或或或， 所以直线在轴上的截距为或. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 直线的方程 题型一 直线的点斜式方程及辨析 1．已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中不正确的有（   ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率之积等于，则两直线垂直 C．过点且斜率为1的直线方程可表示为： D．直线倾斜角的范围是：，且当倾斜角增大时，斜率也增大 3．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 4．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 题型二 直线图像的辨析 5．，和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 6．若，，且，则直线经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知反比例函数（），当时，随的增大而增大，那么一次函数的图像不经过第________象限 8．已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 题型三 直线两点式方程及辨析 9．已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 10．下列说法正确的是（    ） A．表示过点且斜率为的直线方程 B．在轴，轴上的截距分别为的直线方程为 C．直线与轴的交点到原点的距离为 D．过点的直线方程为 11．经过与两点的直线方程为__________． 12．已知直角中，点，，在轴上. (1)求点的坐标； (2)求斜边中线所在直线的方程. 题型四 直线与坐标轴围成图形的面积 13．若斜率为的直线l经过点，则l与两坐标轴围成的三角形面积为（   ） A．8 B．16 C．32 D．64 14．下列说法错误的是（　　） A．直线的截距式方程不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线 B．经过点且斜率为的直线方程为 C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 D．直线的斜率为0 15．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为______． 16．已知直线l经过点和点． (1)求直线l的截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 题型五 直线截距式方程及辨析 17．已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 18．过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 19．过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 20．在平面直角坐标系中，过的直线与坐标轴交于两点，的面积记为. (1)当直线在轴上截距为4时，求的值； (2)当时，求直线在轴上的截距. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $