【暑假预习课】第13章 三角形 单元练习 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 人教版八年级上册第13章三角形暑假预习单元卷，全面覆盖三角形核心知识，注重数学眼光、思维与语言的综合培养，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|三角形稳定性、三边关系、内角和定理等|结合生活情境（如窗户固定），考查基础概念与辨析| |填空题|6题|三角形形状判断、角平分线性质、中线面积等|聚焦性质应用，如第12题角平分线数量关系推理| |解答题|6题|等腰三角形存在性、面积计算、综合探究等|分层设计，如21题“感知-应用-拓展”，培养推理与模型意识|

【暑假预习课】第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 2．一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是”的是（    ） A．过点作 B．延长到，过点作 C．过上一点作 D．过上一点作 4．已知点D、E分别在的边、上，D是的中点，，若，则的值为（     ） A．16 B．0 C．24 D．28 5．若等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为（　　） A．80°或50° B．50° C．80° D．65° 6．将一副直角三角板和（，）按照如图所示的方式摆放，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ）． A． B． C．或 D．以上答案均不对 8．如图，为的中线，为的中线．若的面积为，则中边上的高是（    ） A．2 B．3 C．6 D． 9．如图，的角平分线、中线相交于点，则是的角平分线；是的中线；是的中线；，其中结论正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，的面积为1，分别倍长（延长一倍）得到，再分别倍长，，得到…，按此规律，倍长2025次后得到的的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知在中，，则的形状是_______． 12．如图，在中，是角平分线，平分，交于点E，则与的数量关系为________． 13．如图，在中，D、E分别是的中点，的面积为，则的面积为_____． 14．若a、b、c为三角形的三边长，且a、b满足，则第三边长c的取值范围是_____． 15．如图，在中，分别平分，分别与直线交于点M，N．若，则的度数是_______． 16．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 三、解答题 17．如图，方格纸中小正方形的边长均为个单位长度，，均为格点． (1)在图中建立直角坐标系，使点，的坐标分别为和； (2)在（1）中轴正半轴上存在点，使为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点的坐标． 18．如图，的三边长均为整数，且周长为22，M为边的中点，的周长比的周长长2，求边的长． 19．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 20．如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 21．综合与探究 【感知】如图1，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 (1)若，则 ；若，则 ； (2)求与之间的关系并证明； 【拓展】 (3)如图2，在四边形中，分别是和的角平分线，求与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【暑假预习课】第13章三角形-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C C A C B C C 1．D 【详解】解：由题意得，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性． 2．A 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 3．D 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意． 4．C 【分析】利用同高三角形的面积比等于对应底的比，结合中点性质逐步计算即可得到结果． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，即， ∵和同高， ∴， ∵， ∴ ， ∵是的中点，即，且和同高， ∴， ∴． 5．C 【分析】利用等腰三角形底角相等的性质和三角形内角和定理即可计算出顶角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴顶角的度数为． 6．A 【分析】先通过平行线的性质得到，再通过三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．C 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据或为腰长进行分类讨论，结合三角形的基本性质判断结果即可． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，且， ∴，， 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 当等腰三角形的腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴存在这样的等腰三角形，符合题意， ∴三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为或． 8．B 【分析】根据三角形的中线平分面积，以及三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】解：∵为的中线，为的中线， ∴， 设中边上的高为， ∵的面积为， ∴， ∴. 9．C 【分析】根据角平分线性质和三角形中线的概念分析即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∴平分， ∴是的角平分线，原说法正确； ∵是的中线，中线是顶点与对边中点的连线， ∴， ∴不是的中点， ∴不是的中线，原说法错误； ∵是的中线， ∴， ∴是的中线，原说法正确； ∵是的中线， ∴，原说法正确， ∴有个是正确的． 10．C 【分析】本题考查了三角形的面积，图形类的规律探索．根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后的面积是的面积的倍，依此规律可得结论． 【详解】解：连接、、，根据等底等高的三角形面积相等，   、C、C、、、、的面积都相等， 所以，， 同理， 依此类推，的面积为， 的面积为， ∴的面积． 故选：C． 11．直角三角形 【分析】根据在中，，，可求出的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴是直角三角形． 12． 【分析】先求出，得到，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】解：∵是角平分线，平分， ∴， ∴ ． 13． 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：，，依此即可求解． 【详解】解：∵D是的中点，的面积为， ∴， ∵E是的中点， ∴． 14． 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：∵a、b满足， ∴，， ∴，， ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴，即． 15． 【分析】先求出， ，得到，， 再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵分别平分 ∴，， ∴． 16． 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 17．(1)见解析 (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系的建立，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握坐标系的特点，等腰三角形的判定，科学分类求解是解题的关键． （1）根据点，判断轴经过点，且右侧的点就是原点，建立坐标系即可； （2）先求出，分三种情况：当时，当时，当时，结合等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图的直角坐标系即为所求； （2），， ， 当时， 点的坐标为，即； 当时，， 点的坐标为，即； 当时，取格点，则，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 点的坐标为，即； 综上所述，点的坐标为或或． 18．4，6，8，10 【分析】依据的周长为22，的周长比的周长长2，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到的长． 【详解】解：∵M为边的中点， ∴， ∵的周长为22， ∴，即, ∵的周长比的周长长2， ∴，即， ∵， ∴，解得：， 又∵△ABC的三边长均为整数，，即：， ∴边长为偶数， ∴． 19．9 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 20．(1) (2)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 21．(1) (2) ；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， 由条件可知 ， ∴； 若， ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴ ， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知， ， 由条件可知， ∴， ∴ ， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $