第1章 1.5 相似三角形的性质-课时2 相似三角形的周长比与面积比-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“相似三角形的周长比与面积比”，通过回顾相似三角形判定定理导入，衔接性质学习，以“刷基础-刷提升-刷素养”分层练习为支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融入几何直观（如动态图形重合面积问题）、推理意识（严谨证明步骤），结合微专题（三角形内接四边形）和综合题，提升应用意识。学生能深化理解，教师可高效开展分层教学。

数 学 九年级上册 XJ 1 2 3 第1章 图形的相似 4 1.5 相似三角形的性质 课时2 相似三角形的周长比与面积比 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 相似三角形的周长比 1.如图，在中，是边上的点， ， ，则与 的周长比是( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，与其相似的另一个三角形的周长为36， 则它的最长边的长为____. 16 【解析】设最长边的长为.已知三角形的周长为 ，根据相似三角形 的对应线段的比等于周长比可得，解得 ，故答案为16. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 知识点2 相似三角形的面积比 3.【2026湖南郴州期末】已知，与 的面积分别是25 和16，其中的最短边的长度是5，那么 的最短边的长度是( ) D A.16 B.25 C.5 D.4 【解析】，与的面积分别是25和16， 与 的相似比为的最短边的长度是5， 的最短边的长度是4， 故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 关键点拨 掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （第4题图） 4.【2026辽宁锦州期中】如图， ， ，，则 的长为( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， ， ， .， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （第5题图） 5.如图，在平行四边形中，对角线，交于点， 为 的中点，连接交于点，则 _____. 【解析】 四边形是平行四边形，， 点是的中点，， 易得 ，，， ， ，，.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 6.如图，中， . （1）若，求 ； 【解】， ， ， .设 ，则，， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （2）若，求 . 【解】， ， ，， . 同理可得， ， ， . 思路分析 先由平行得到三角形相似，再由面积之比得到相似比，从而得到线段之间的数量关系. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 知识点3 相似三角形的周长比和面积比的综合 7.两个相似三角形的面积比是 ，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形 的周长是( ) D A.12 B.12或24 C.27 D.12或27 【解析】 两个相似三角形的面积比是， 这两个相似三角形的相似比是 ， 这两个相似三角形的周长比是 一个三角形的周长为18，设另一个三 角形的周长为，或，解得或12， 另一个三角形 的周长是12或27.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 15 8.如图，中，，交于 ． （1）求证： ； 【证明】 四边形 是平行四边形， ， ． （2）求与 的周长之比； 【解】 四边形是平行四边形，， 设 ，则， . ， ， 与的周长之比为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 （3）如果的面积为，求 的面积. 【解】， . ，的面积为 ， 的面积为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 （第1题图） 1.［中］如图，在等腰三角形中， ，图中所有三角形 均相似，其中最小的三角形面积为1， 的面积为44，则四边 形 的面积是( ) D A.22 B.24 C.26 D.28 【解析】如图，根据题意得， ， .设， ， ，解得， ， .故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 （第2题图） 2.【2026湖南邵阳质检，中】在中，，是边 上的两 点，且满足.过点，分别作 的平行线， 过点作的平行线，它们将 分成如图的5个部分，其面积 依次记为，，，，.若，，则 的值为 ( ) C A.9 B.18 C.27 D.54 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解析】如图，连接，，， . ，，， ， ，，，则 的值为27.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 （第3题图） 3.【2025山东青岛期末，中】如图，在中， , ,的平分线交于点,交的延长线于点 , 于点，若，则 的周长为( ) A A.16 B.17 C.24 D.25 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】 在中,，, ， ,, , , 在中， , ,,, 的周长 为, 易得 ，相似 比为，,解得 .故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 （第4题图） 4.【2025湖南株洲期末，中】如图，的两条中线, 交于点，是上一点，且，连接并延长交 于点，若，则 ( ) B A.6 B.8 C.9 D.12 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 【解析】 点是中点， ， ,，. ， ，.连接，如图.，分别是 ， 中点，，， 易得， . 又，. 与 的相似比为,，， ， .又 ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 ，，， ， , ， ， . 故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （第5题图） 5.【2025北京石景山区期末，中】如图，在矩形 中， ，点是边的中点，点，分别是边， 上的 点，且，为垂足.若，，则四边形 的面积为( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 【解析】设，则，所以 .如图，作 于，则易知,.因为 ,所以 ,所以 ,所以,所以，即 ， 变形得，提公因式得.因为,所以 ,解得 ，所以，，所以 ， .根据题意易得 ，所以 ，所以 ，所以 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 6.【2026江苏苏州期中，中】在中学数学中求一些图形面积时，经常用到“同底 等高”“等底等高”等数学思想方法，我们称它为等积变换.如图，为 的对角线，，分别在，上，且，若 ，则 ___. 7 （第6题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 【解析】如图，连接，过点作交 的延长线于 ，交的延长线于 四边形 是平行四边 形，， ， ,, , ，，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为7. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 关键点拨 解题的关键是证明 ，利用相似三角形的性质解决问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.［中］如图，在中，点为边 上一点，且 ，，垂足为点．过点作 ，交边 于点，连接， ． （1）求证： ； 【证明】，， ， ，即.又， . 关键点拨 将等积式转化成比例式，再由比例式找到可能相似的两个三角形，最后证明两个 三角形相似即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 （2）如果，求证： ． 【解】，.又， ， ， ，即 ，， ， ，，即.又 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 8.【2026湖南张家界期末，中】如图，在矩形中，， .一把 三角尺的直角顶点在上滑动时（点与，不重合），一直角边始终经过点 ， 另一直角边与交于点 . （1）求证： ； 【证明】 四边形为矩形， ， , , , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 （2）当 时，求 的长； 【解】 ，，，.又 ， .由（1）得, ,即 , . （3）是否存在这样的点，使的周长等于 周长的2倍？若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由. 【解】存在.假设的周长等于周长的2倍， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 刷素养 走向重高 9.核心素养 几何直观 ［难］如图，有一边长为的正方形 和等腰三角形 ，，，点，，，在同一条直线上，当， 两点重合时，等腰三角形以的速度沿直线 按箭头所示方向开始匀速运 动，后正方形与等腰三角形重合部分的面积为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 （1）当时，求 的值. 图（1） 【解】如图（1），过作于点 . ， . 在 中，根据勾股定理，得 . 当时，.设交于点 . ，， . , . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 （2）当时，求 的值. 图（2） 【解】当时，点与点重合，.过作 于，设与交于点，如图（2）. ， . 同（1）可求出 ， 关键点拨 当时，重合部分为不规则图形，此时可以用的面积减去 的面积, 即可得到答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 微专题1 三角形内接四边形 1.直角三角形内接四边形 【2025上海静安区期中，中】如图，在 中， ，，，四边形为其内接正方形，那么 ______. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 38 【解析】如图，作，交于点，交于点 .在 中，， ， , , ，. ， ，.设正方形的边长为 ，则 ，解得. ， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 1 2 39 ，即， .同理可得 ,，即， ， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 刷有所得 三角形内接四边形问题，通常需要利用相似三角形对应高之比等于相似比求线段长. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 41 2.任意三角形内接四边形 【2025山东菏泽质检，中】如图， 在中，，垂足为，， ，四边 形和四边形均为正方形，且点，，，， 都在的边上，与交于点,那么 与四边形 的面积比为_____. 【解析】 四边形和四边形均为正方形， ， ，，，， ， ， ， ，与四边形 的面积比为 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 1 2 42 关键点拨 利用相似三角形的性质求出 的长是解题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 1 2 43 $