3.2.2双曲线的简单几何性质 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质、渐近线、离心率等核心考点，通过基础辨析到综合应用的递进训练，培养几何直观与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |焦点/顶点/轴长|11题|概念辨析与公式直接应用|从双曲线标准方程出发，构建a,b,c基本关系| |渐近线问题|8题|渐近线方程求参及位置关系|结合渐近线斜率与a,b关系，强化方程思想| |离心率及参数|7题|离心率计算与参数互求|通过a,b,c关系及几何图形推理，提升运算能力| |离心率取值范围|5题|不等式求解与几何约束|综合渐近线、焦点三角形等构建不等关系| |综合问题|6题|轨迹方程与定值证明|整合几何性质与代数运算，培养模型观念|

3.2.2双曲线的简单几何性质 知识点一 双曲线的焦点、顶点、焦距、实轴长、虚轴长 1．已知椭圆和双曲线的焦点相同，则（    ） A． B． C．3 D．5 2．已知双曲线，如果下列方程表示椭圆，那么该椭圆与双曲线有相同焦点的是（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．若双曲线的实半轴长为，半焦距为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．双曲线的虚轴长是（   ） A．2 B． C．4 D． 7．若双曲线C：的焦距长为10，则该双曲线的虚轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．双曲线的顶点坐标是（   ） A．， B．， C．， D．， 9．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 10．设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 知识点二 渐近线问题 12．若双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）. A． B． C． D． 13．已知双曲线上一点到两条渐近线的距离之积等于，则（   ） A．3 B．2 C． D． 14．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．双曲线： （， ）过点和，则其渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 16．已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．9 17．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 18．已知双曲线的一条渐近线斜率为2，且焦距为，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 19．若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点三 求离心率或由离心率求参数 20．已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 21．双曲线的一条渐近线倾斜角为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 22．已知双曲线：的离心率为，则的焦距为（     ） A． B． C． D． 23．已知是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线与双曲线的右支交于点，与轴交于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 24．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 25．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 26．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 知识点四 和离心率有关的取值范围问题 27．若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为___________. 28．在双曲线中，离心率，则两条渐近线夹角的取值范围是______． 29．设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是__________. 30．过点M（4，0）的直线l与双曲线两渐近线分别交于不同两点A，B，O为原点，若该双曲线的离心率为2，则的取值范围为___________. 31．已知双曲线的左､右焦点分别为，直线在第一象限交双曲线C右支于点A.若双曲线的离心率满足，且，则k的取值范围是___________. 知识点五 双曲线的综合问题 32．已知双曲线：（，）上有两点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点（异于点），证明：直线与的斜率之积为定值. 33．已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)若过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，求直线的方程． 34．已知双曲线的右焦点为，斜率为的直线交于，两点，且的中点为． (1)求的方程； (2)是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 35．已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 36．已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A D B C D D B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 A D D C B B A A D C 题号 21 22 23 24 25 26 答案 D B B C D D 1．C 【详解】由题可知，所以. 2．C 【分析】写出双曲线的焦点坐标，再结合各选项椭圆方程写出其焦点坐标，即可判断. 【详解】由题设知，且双曲线的焦点坐标为， 对于A：由，得为双曲线，则不符合要求； 对于B：由得，，由，得为双曲线，则不符合要求； 对于C：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，符合要求； 对于D：因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，不符合要求； 故选：C. 3．A 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 4．D 【详解】由题意得，. 所以，. 所以. 5．B 【分析】根据给定的双曲线方程，求出实半轴长及半焦距即可得解. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 所以. 故选：B 6．C 【分析】根据双曲线方程求得，进而求得虚轴长. 【详解】因为双曲线，所以，则，即虚轴长为4. 故选：C. 7．D 【分析】由题意可得，由焦距可得c，根据关系，即可得出b，虚轴长为得解. 【详解】由双曲线方程得，焦距长，得， 根据关系，，所以，. 故选：D. 8．D 【分析】利用双曲线方程直接求解即可. 【详解】由双曲线方程可知顶点在y轴上，且， ∴则顶点坐标为，. 故选：D. 9．B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 10．B 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 11．A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 12．D 【详解】的渐近线方程为， 故，平方得，故. 13．D 【分析】利用点到直线的距离公式求出距离，再根据距离之积为，结合点在曲线上，化简求值即可. 【详解】由题可知：，渐近线方程为，即， 设在双曲线上，则，即， 根据点到直线的距离公式，到两条渐近线的距离分别为，， 因为点到两条渐近线的距离之积等于，所以， 又，所以，解得，又，所以. 14．C 【详解】双曲线的渐近线方程为， 依题意，，所以. 15．B 【详解】已知点和在双曲线上，则，解得， 故其渐近线方程为． 16．B 【分析】根据渐近线方程结合已知双曲线方程列式计算求解. 【详解】因为双曲线为，则渐近线为， 又因为渐近线为，且，所以. 17．A 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 18．A 【详解】已知双曲线的一条渐近线斜率为2， 则，即. 因为双曲线焦距为，所以. 又，所以， 解得，. 故双曲线方程为. 19．D 【详解】已知渐近线为，即， 可设双曲线方程为：， 把点代入方程得：， 该双曲线的方程为． 20．C 【分析】由渐近线方程可得等量关系，据此可得答案. 【详解】因双曲线的一条渐近线方程为，则. 21．D 【分析】利用双曲线的渐近线为，可得，则，再利用离心率即可求解. 【详解】双曲线的渐近线为. 因为一条渐近线倾斜角为，所以，即. 所以双曲线的离心率. 22．B 【详解】已知双曲线：，则或. 当焦点在轴上时：此时，实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方，离心率， 已知，则，与冲突，故不成立； 当焦点在轴上时：此时，此时方程可化为， 实半轴平方，虚半轴平方， 半焦距平方， 离心率， 满足，故半焦距，则焦距为，B正确. 23．B 【分析】由条件结合对称性可得，，解直角三角形可得，，结合双曲线的定义求结论. 【详解】∵为等边三角形，∴，即， 由对称性可得，所以，又， 所以，结合，， 可得，，又， 所以，化简可得， 所以双曲线的离心率为. 24．C 【分析】由题意可得，设，结合双曲线的定义，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，进而可解. 【详解】设，则，， 由双曲线定义可知，，， 因为，所以是直角三角形，即， 所以是直角三角形， 所以，即， 化简可得，所以， 在中有， 即，化简可得， 所以的离心率为. 25．D 【分析】根据离心率公式及的关系，可得的值，代入渐近线方程，即可得答案. 【详解】由题意得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 26．D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由 得， 解得，所以， 所以. 故选：D. 27． 【分析】结合双曲线方程确定，根据离心率小于3列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知双曲线方程为，所以，，， 因为离心率小于3，所以，所以. 故答案为： 28． 【分析】由离心率范围得两条渐近线倾斜角范围，即可求得答案. 【详解】因为，所以，解得 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 设双曲线渐近线的倾斜角为，则，解得； 当最小时，，此时最大，为，此时两条渐近线的夹角最大为， 当最大时，，此时最小，为，此时两条渐近线的夹角最小为， 所以两条渐近线的夹角. 故答案为： 29． 【分析】先判断椭圆与双曲线共焦点，再由结合求解可得. 【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为， 由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点， 设，则， ，设，则，解得，即， 又，且，故的取值范围是. 故答案为： 30． 【分析】先由双曲线的离心率为2，求出.设直线l的方程为,与渐近线方程联立求得A,B的坐标，表示出，利用函数值域，即可得到的取值范围. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，所以，即，所以 设直线l的方程为,其中,即. 分别将代与得A,B的坐标分别为. 所以. 因为，所以的取值范围为 故答案为： 31． 【分析】由双曲线的定义结合勾股定理得出，再由等面积法得出，，再由结合离心率公式以及范围得出k的取值范围. 【详解】设，由题可知，∴. ∴，∴，∴. 又由，可知，∴，解得. ∵，，∴. ∴，依题意，，∴. 故答案为： 32．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由点，在双曲线上，列出方程组，联立求解，即可得到双曲线的方程； （2）设直线的方程为，与双曲线联立，结合韦达定理，代入直线与的斜率之积，化简即可证明. 【详解】（1）由题意，因为点，在双曲线：（，）上， 所以，解得， 故的方程为. （2）证明：由题意，易知的斜率不为0， 设的方程为，，， 与双曲线联立，即，化简可得， 则，，. 故直线与的斜率之积为 . 即直线与的斜率之积为定值. 33．(1) (2)和 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设直线的方程为，根据题意得，故，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，将其代入弦长公式可解，从而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故， 所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，， 因为直线与的右支交于两点，双曲线的渐近线为， 所以，即，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为或. 34．(1) (2)存在； 【分析】（1）先设出弦的端点坐标并代入双曲线方程，两式相减后，结合弦中点坐标与直线斜率，推导出双曲线参数与的关系，再利用焦点条件求出参数值，得到双曲线方程； （2）先设出直线斜截式方程，与双曲线联立得到一元二次方程，通过判别式保证直线与双曲线有两个交点；将转化为向量数量积为0，展开后代入韦达定理的整体表达式，解出直线参数，再结合中点坐标求出的值，验证后得出存在性结论即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 设，，则，， 两式相减得，即，则．     又，所以，故C的方程为． （2）设直线的方程为， 由得， 则，且，， 假设存在，使，则． 因为，，且，， 所以， 故，整理得，解得．   由，解得．故存在，使． 35．(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出的方程，再求渐近线方程即可； （2）当直线轴时，根据等面积法求得到直线的距离；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，分别代入双曲线和椭圆的方程，求得，利用等面积法求得到直线的距离，结合点到直线的距离为定值求出． 【详解】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 36．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）为定值. 【分析】（1）应用两点间距离及点到直线距离化简计算求解轨迹方程； （2）（i）方法1：当直线斜率不存在求出点，再代入计算得出定值，当直线斜率存在时，设直线方程联立得出韦达定理结合得出，计算得出定值； 方法2：设，则，联立得出韦达定理应用为同理得出，代入计算求解；（ii）应用面积法计算求解即可. 【详解】（1）设动点，则， 点到直线的距离，由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）（i）方法1： 证明：若直线的斜率不存在，可设其方程为， 若设，则，代入曲线的方程中，得，则此时， 若直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程，得，整理得， 则，且， 所以， 所以， 因为，则有，所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值． 综上可知，始终为定值 方法2： 当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的即得． 因此， 即为定值． 综上可知，始终为定值． （ii）原点到直线的距离为定值，证明如下： 设原点到直线的距离为 由三角形面积公式可知： 化简可得，从而， 由（i）知，则，即： 综上可知，原点到直线的距离为定值； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $