拓展04 指数型与对数型复合函数问题（讲义，全国通用人教A版）数学初升高衔接

拓展04 指数型与对数型复合函数问题 预习精讲 知识点01 复合函数的概念 设函数的定义域为，函数的定义域为，值域为。 当集合是集合的子集时，称是与在区间上的复合函数。 其中称为内层函数，称为外层函数。 知识点02 复合函数的单调性 1．判定规律：同增异减 内层函数与外层函数单调性一致时，复合函数为增函数； 内层函数与外层函数单调性相反时，复合函数为减函数。 2．判断步骤 ①求出复合函数整体的定义域，所有运算都需在定义域内进行； ②拆分函数，明确对应的内层函数、外层函数； ③分区间分析内层、外层函数各自的单调区间与增减性； ④结合“同增异减”规则，确定复合函数的单调区间。 【即学即练】 1．设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 知识点03 指数型复合函数值域求解方法 1．基础形式（且） 采用换元法，令，原函数转化为； 先根据的范围求出中间变量的取值范围，再结合指数函数单调性，求出整体值域。 2．基础形式（且） 采用换元法，令，先由范围得到的取值范围； 再结合外层函数的单调性，计算原函数值域。 【即学即练】 2．函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，，即函数的值域是. 知识点04 对数型复合函数值域求解方法 1．基础形式（且） 换元令，先根据定义域求出的取值范围； 结合对数函数在上的单调性，推导原函数值域。 2．基础形式（且） 换元令，先算出的取值范围； 再依据外层函数的单调性，求出复合函数值域。 【即学即练】 3．函数的值域是_____． 【答案】 【详解】易知函数的定义域为， 且， 所以，即. 因此函数的值域为. 故答案为： 题型速练 题型01 复合函数的定义域问题 【例1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 【例2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 【小试牛刀】 【变式1-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式1-2】函数的定义域为__________． 【答案】 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求函数的定义域为. 【变式1-3】函数的定义域为______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 题型02 求复合函数的单调区间 【例3】已知函数(且)，若，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，∴， ∴函数在R上单调递减， 又∵函数的图象开口向上，对称轴为， 从而函数在上是增函数， ∴的单调递减区间是． 故选：D． 【例4】函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【详解】解：令，解得或，所以的定义域为， 因为的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在定义域上为减函数， 所以的单调增区间为． 【小试牛刀】 【变式2-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得或， 可知函数的定义域为， 因为的图像开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 又因为在定义域内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 【变式2-2】函数的单调递增区间是________. 【答案】 【详解】二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 【变式2-3】函数的单调递减区间为_____． 【答案】 【详解】由题意可知，整理得， 解得定义域为，令， 由于底数，因此外层函数在上单调递减， 要使复合函数单调递减，需内层函数在定义域内单调递增， 是开口向下的二次函数，对称轴为，其单调递增区间为， 将该区间与定义域取交集，得， 因此函数的单调递减区间为. 题型03 已知复合函数的单调性求参数 【例5】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 【例6】函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使在上单调递增， 因为外层函数在上单调递增， 所以只需求内层函数在上单调递增， 又因为内层函数是二次函数，开口向上，其对称轴为， 所以，解得 根据函数定义域有，结合单调区间等价于对所有恒成立，即 综上，取两个条件的交集，得. 【小试牛刀】 【变式3-1】若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 【变式3-2】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 因为在区间上单调递增，且为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 则有解得， 故的取值范围是， 故选：B． 【变式3-3】设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是. 题型04 求复合函数的值域 【例7】函数的值域为___________. 【答案】 【详解】函数的定义域为， 令，则， 则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【例8】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 【小试牛刀】 【变式4-1】若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 【变式4-2】函数，的最小值为_________． 【答案】 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 【变式4-3】已知函数，求在上的值域. 【答案】 【详解】令，当时，， 故，由于在上单调递增，故， 由复合函数单调性可知，在上单调递增， 故. 题型05 已知复合函数的值域求参数 【例9】如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】D 【详解】令，则． 当时，因为，所以， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得（舍去）． 当时，因为，所以， 又函数在上单调递增， 则， 解得（舍去）． 综上知或． 故选：D. 【例10】若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的值域为， 所以真数能取到大于零的任意实数， 所以，解得. 【小试牛刀】 【变式5-1】（多选）函数的定义域为M，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】由于， ，，，， 即函数的定义域为的子集，故A错误；C正确； 当时，函数的值域为，故不一定正确，故B错误； 当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确； 故选：CD 【变式5-2】若函数的值域为，则a的取值范围是______. 【答案】 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 【变式5-3】函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】函数的定义域为， 恒成立，且恒成立， ， ，当且仅当，即时等号成立， 恒成立，只需其最小值成立，解得， 恒成立，即无实数解， ， 当，即时方程有解， 当时方程无解， 综上，实数a的取值范围为． 故答案为：． 题型06 复合函数的恒成立问题 【例11】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 【例12】已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）由题意 ， 令， 则为开口向上，对称轴为的抛物线， 又因为在上单调递增， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，解得， 所以根据复合函数单调性得函数的单调递增区间为. （2）因为对任意恒成立，且， 所以，化简得恒成立， 令， 则在上单调递增， 所以，即得， 又因为恒成立，所以，所以. 所以的取值范围为． 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】，即. 令，由可得，则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 所以，即. 令，易知在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以在上的最大值为. 所以，因为函数为增函数，当时，， 因此.即实数的取值范围为. 【变式6-2】已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）的定义域为，又为奇函数，则. 又，即，解得. 则， 由，则，满足条件. （2）由（1）知， ，均在上单调递增， 在上单调递增. 在时恒成立，是上单调递增的奇函数， 所以，即在时恒成立， ，成立，此时，时，得到． 且令，即在时恒成立. 又，当且仅当时等号成立， 即，故. 【变式6-3】已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）若的定义域为，则解集为， 当时，由，得，不合题意； 当时，由的解集为，得解得. 综上得. （2）由条件知在上恒成立， 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 解法1：令，因为，所以， 则，当时，， 所以，即实数的取值范围是. 解法2：令，因为，所以， 则，当且仅当时，取等号，所以， 所以，即实数的取值范围是. 1．设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【详解】由，得， 则函数的定义域为，排除AB； 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则函数在上单调递增，C正确，D错误. 2．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，对任意的，，故函数的定义域为， 因为， 因为函数为增函数，在上为减函数， 故函数在上为减函数， 又因为函数在上为减函数，故函数在上为减函数， 因为， 所以， 由可得， 所以，故，即对任意的恒成立， 若，可得，此时恒成立，满足要求； 若，则需，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 4．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 5．已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】D 【详解】化简得，，当时，，因此， 由二次函数性质可知在区间上单调递减. 当时，函数在定义域内单调递增，所以函数在区间上单调递减， 所以，由题意可得，解得，符合； 当时，函数在定义域内单调递减，所以函数在区间上单调递增， 所以， 由题意可得，解得，符合. 综上，或. 故选：D. 6．函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数对恒成立， 则，即 设，，则， 当时，， 则实数的取值范围. 故选：A. 7．函数的定义域为___________ 【答案】 【详解】由题，即，即， 因为为单调递增函数，所以，即 故答案为： 8．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】记，定义域为， 因为，所以为偶函数， 因为当时，单调递增，由复合函数性质可知单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 则不等式， 平方得，解得，即. 9．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【详解】当时，函数在上单调递增， 要使（且）有最小值， 需使的最小值大于0，则， 解得，又，所以； 当时，在上单调递减， 又没有最大值， 所以（且）没有最小值，不合题意； 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 10．已知的最小值为，则的取值范围为_______． 【答案】 【详解】当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，设，则， 则在上单调递减， 则当时，取得最小值为， 要使的最小值为，则，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 【点睛】易错点睛： 忽视基本不等式的应用：在求解最小值时，可能会漏掉基本不等式等号成立的条件，导致最小值计算错误. 二次函数分析错误：在时，可能会对二次函数的分析出现错误，忽略了函数在上是减函数. 11．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为. . 令，则. 当时，. 所以当时，， 当时，， 所以当时，该函数的值域为. （2）当时，. 原不等式可化为，即对恒成立. 令任取，则 所以， 则在上单调递增，所以. 故，即的最小值为. 12．已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)；2 (3) 【分析】 【详解】（1）， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； （2）因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； （3） ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展04 指数型与对数型复合函数问题 预习精讲 知识点01 复合函数的概念 设函数的定义域为，函数的定义域为，值域为。 当集合是集合的子集时，称是与在区间上的复合函数。 其中称为内层函数，称为外层函数。 知识点02 复合函数的单调性 1．判定规律：同增异减 内层函数与外层函数单调性一致时，复合函数为增函数； 内层函数与外层函数单调性相反时，复合函数为减函数。 2．判断步骤 ①求出复合函数整体的定义域，所有运算都需在定义域内进行； ②拆分函数，明确对应的内层函数、外层函数； ③分区间分析内层、外层函数各自的单调区间与增减性； ④结合“同增异减”规则，确定复合函数的单调区间。 【即学即练】 1．设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 知识点03 指数型复合函数值域求解方法 1．基础形式（且） 采用换元法，令，原函数转化为； 先根据的范围求出中间变量的取值范围，再结合指数函数单调性，求出整体值域。 2．基础形式（且） 采用换元法，令，先由范围得到的取值范围； 再结合外层函数的单调性，计算原函数值域。 【即学即练】 2．函数的值域是______________． 知识点04 对数型复合函数值域求解方法 1．基础形式（且） 换元令，先根据定义域求出的取值范围； 结合对数函数在上的单调性，推导原函数值域。 2．基础形式（且） 换元令，先算出的取值范围； 再依据外层函数的单调性，求出复合函数值域。 【即学即练】 3．函数的值域是_____． 题型速练 题型01 复合函数的定义域问题 【例1】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【例2】函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式1-1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的定义域为__________． 【变式1-3】函数的定义域为______． 题型02 求复合函数的单调区间 【例3】已知函数(且)，若，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例4】函数的单调递增区间是__________. 【小试牛刀】 【变式2-1】函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】函数的单调递增区间是________. 【变式2-3】函数的单调递减区间为_____． 题型03 已知复合函数的单调性求参数 【例5】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【例6】函数在上单调递增，则的范围为（     ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式3-1】若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设函数在区间单调递减，则的取值范围是_________. 题型04 求复合函数的值域 【例7】函数的值域为___________. 【例8】函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式4-1】若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】函数，的最小值为_________． 【变式4-3】已知函数，求在上的值域. 题型05 已知复合函数的值域求参数 【例9】如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ） A．3 B． C． D．3或 【例10】若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【小试牛刀】 【变式5-1】（多选）函数的定义域为M，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】若函数的值域为，则a的取值范围是______. 【变式5-3】函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 题型06 复合函数的恒成立问题 【例11】若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例12】已知函数 (1)求函数的单调递增区间； (2)若对任意恒成立，求的取值范围． 【小试牛刀】 【变式6-1】已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是________. 【变式6-2】已知函数是奇函数，且 (1)求和的值； (2)若，恒成立，求实数的取值范围． 【变式6-3】已知函数. (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 1．设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．已知且，函数，若的最大值与最小值之差为2，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或 6．函数对恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为___________ 8．设函数，则满足的实数的取值范围是__________． 9．若函数（且）有最小值，则实数a的取值范围是__________. 10．已知的最小值为，则的取值范围为_______． 11．已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的最小值. 12．已知函数，函数是上的偶函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值，并求函数的最小值； (3)若，，恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $