精品解析：新疆巴音郭楞蒙古自治州/库尔勒市第二中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

库尔勒市第二中学2025—2026学年第二学期 高一年级期中考试卷（数学） 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 空间任意三个点确定一个平面 B. 一个点和一条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线确定一个平面 D. 两两平行的三条直线确定一个或三个平面 4. 已知向量，且，则（ ） A. 20 B. 5 C. D. 5. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，△表示水平放置的△的直观图，在轴上，和轴垂直，且 ，则△的边上的高为 （ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，以下直线与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 在正方体中，直线与是异面直线； B. 梯形的直观图仍是梯形； C. 在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形； D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 是方程的一个解 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若的三角形有两解，则的取值范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. =_____，_____． 13. 若，则_____；已知复数，那么_____． 14. 轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. （1）已知向量，当为何值时与垂直？ （2）已知向量求满足的和的值． 16. （1）在复数范围内求解方程； （2）已知，求复平面内这两个复数对应的两点之间的距离． 17. 在中，已知，求边和角． 18. 如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 19. 已知，，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 库尔勒市第二中学2025—2026学年第二学期 高一年级期中考试卷（数学） 卷面分值：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知，则的虚部为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的有关概念直接得出结果. 【详解】因为，所以 则z的虚部为2. 故选：A 3. 下列命题是真命题的是（ ） A. 空间任意三个点确定一个平面 B. 一个点和一条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线确定一个平面 D. 两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理（3）可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 4. 已知向量，且，则（ ） A. 20 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：B 5. 在中，角的对边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得. 故选：B 6. 向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的基底表示及向量减法求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以. 7. 如图所示，△表示水平放置的△的直观图，在轴上，和轴垂直，且 ，则△的边上的高为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由原图形与直观图的面积比为求解． 【详解】设的边上的高为，因为，所以，又，所以. 故选：B. 8. 在正方体中，以下直线与平面平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断即可. 【详解】对于A，，与平面相交，故与平面相交，A错误. 对于B，，与平面相交，故与平面相交，B错误. 对于C，，平面，平面，则平面，C正确. 对于D，，与平面相交，故与平面相交，D错误. 二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 在正方体中，直线与是异面直线； B. 梯形的直观图仍是梯形； C. 在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形； D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理可知A正确；由斜二测画法可知B正确；根据正方体的结构特征可知C正确；由棱柱的定义可知，D错误． 【详解】对A，如图所示： 平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过点的直线是异面直线，故A正确； 对B，根据斜二测画法可知，平行于轴或轴的直线在直观图中仍然平行于轴或轴，故B正确； 对C，如图所示： 四面体，它的每个面都是等边三角形，故C正确； 对D，如图所示：平面平面，且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知复数满足，则（ ） A. B. 在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 是方程的一个解 【答案】AD 【解析】 【分析】先通过复数的乘方和除法化简得到复数z，然后逐项判断. 【详解】因为，所以， 则，故A正确； 在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误； ，故C错误； 由，得，则，故D正确； 故选：AD 11. 已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为钝角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理和余弦定理可判断A,B，利用正弦定理和倍角公式可判断C，结合三角形解的情况可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，A正确； 对于B，由余弦定理，可知为钝角，B正确； 对于C，因为，所以，即， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形，C不正确； 对于D，因为三角形有两解，所以，即的取值范围为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. =_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的加减法则，结合相反向量的概念，化简向量线性表达式即可得结果. 【详解】； . 13. 若，则_____；已知复数，那么_____． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】应用模长公式计算求解，应用复数的除法及乘法公式计算求解. 【详解】若，则； 已知复数，那么． 14. 轴截面为正方形的圆柱的侧面积为，则此圆柱的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分） 15. （1）已知向量，当为何值时与垂直？ （2）已知向量求满足的和的值． 【答案】 （1）；（2），。 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，再利用数量积为0列方程求解； （2）先计算的坐标，再令其与的坐标对应相等，得到方程组后求解. 【详解】（1），由得，解得. （2）由，得，解得，. 16. （1）在复数范围内求解方程； （2）已知，求复平面内这两个复数对应的两点之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）设方程的解为，则， 整理得，， 则，得或， 则在复数范围内方程的解为； （2）复数所对应的点分别为， 则两点之间的距离为. 17. 在中，已知，求边和角． 【答案】 ，. 【解析】 【分析】先用正弦定理建立边a、c和角A、C的关系，求解角C；再次使用正弦定理结合角B的大小求解b. 【详解】由正弦定理 ， 得 .   为钝角， 为锐角，故 . 则 . 再由 ， 得 . 18. 如图，三棱柱中，分别是棱的中点，求证： （1）平面； （2）平面平面． 【答案】（1）因为，分别是，的中点， 所以， 又因为在三棱柱中，，所以. 所以B、C、G、H四点共面. 在三棱柱中，为的中点，是的中点， 所以，，即四边形为平行四边形. 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，分别是，的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面， 由（1）得平面，,平面 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）先证明B、C、G、H四点共面，再证得，进而根据线面平行的判定得证； （2）由中点根据中位线性质得，证得平面，再结合（1）中结论由线面平行证得面面平行. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，，. （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合向量的数量积，展开转化求解两个向量的夹角即可； （2）利用，展开化简即可得到答案； （3）结合（1）可得，利用或余弦定理可得，从而求得的周长 【小问1详解】 ， ， 又，，， ， 又，； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 因为与的夹角， ，又，， 解法1：， ， 则； 所以的周长为. 解法2：在中，由余弦定理得，， 即，所以， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $