专题01 有理数基础概念及其应用（8题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

**基本信息** 以8大题型为框架，融合解题模板、口诀与公式，构建从概念到应用的递进式训练体系，强化抽象能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正负数与相反意义的量|3典例+3变式|确定基准量，符号相反|从定义到实际场景应用| |有理数分类填空|1典例+3变式|先化简再分类，牢记分数范围|两种分类标准的逻辑辨析| |数轴及其动态问题|2典例+3变式|左移减右移加|三要素到点的运动规律| |多重符号化简|1典例+3变式|奇负偶正口诀|符号个数与结果的推理| |基础绝对值化简|2典例+3变式|代数分段公式|几何意义到代数表达| |绝对值非负性求值|3典例+6变式|非负数和为0则各为0|性质应用到综合计算| |有理数大小比较|3典例+3变式|数轴法与符号法则|大小规律的应用拓展| |数轴上整点覆盖|3典例+3变式|端点性质判定公式|区间与整数点的计数逻辑|

专题01 有理数基础概念及其应用（8题型突破·举一反三） 题型01 正负数与相反意义的量 题型02 有理数分类填空 题型03 数轴及其基础动态问题 题型04 多重符号化简 题型05 基础绝对值化简 题型06 绝对值非负性求值（高频大题） 题型07 有理数大小比较 题型08 数轴上整点覆盖 ▌题型01 正负数与相反意义的量 1. 正数：大于0的数，正号“+”通常可省略书写。 2. 负数：在正数前加负号“−”的数，所有负数都小于0。 3. 0的核心属性：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界唯一数。 4. 相反意义的量：成对出现，需满足数量对应、意义相反两个条件。常见场景：收入与支出、上升与下降、零上与零下、海平面上下。 5. 误差范围：形如 ，表示数值取值区间为 至 。例：，取值范围为39.98～40.02。 解题模板：确定基准量，相反意义的量符号相反，以0为分界基准。 【典例1-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【典例1-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（   ）米． A． B． C． D． 【典例1-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果微信收入50元钱，记作“”元，那么从微信支付40元钱，记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式1-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》中，就首次记载了“正负术”，引入了负数的概念．如果公元前600年记作年，则公元2026年记作（   ）. A．年 B．2026年 C．年 D．2626年 【变式1-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）中国古代数学著作《九章算术》中记载了正负数的概念及运算法则，称为“正负术”．现用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若算筹（此算筹为红色）表示的数是，则算筹（此算筹为黑色）表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． ▌题型02 有理数分类填空 分类1：按整数、分数划分（最常用） 有理数分为整数和分数。整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数。 核心易错：有限小数、无限循环小数均属于分数，是有理数；无限不循环小数（如）不是有理数。 分类2：按正负性划分 有理数分为正有理数、0、负有理数。正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。 重点专属定义（高频考点） 非负数：正数和0；非正数：负数和0； 非负整数（自然数）：0、1、2、3…… 解题步骤：1. 先化简多重符号、绝对值；2. 严格按照定义区分整数、分数、正数、负数；3. 牢记有限/无限循环小数是分数，为无理数。 【典例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【变式2-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【变式2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【变式2-3】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} ▌题型03 数轴及其基础动态问题 1. 三要素（缺一不可）：原点、正方向（默认向右）、统一单位长度。 2. 核心性质：① 所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数；② 数轴上数的大小规律：右大左小。 3. 规范要求：水平直线、标注原点0、右侧画箭头、刻度均匀分布。 解题模板：数轴上点的移动规律：左移减、右移加。 【典例3-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【典例3-2】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式3-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【变式3-2】（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-3】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． ▌题型04 多重符号化简 多重符号化简口诀：奇负偶正。式子中负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正（与正号无关）。 解题模板：仅统计式子中负号个数，依据“奇负偶正”直接化简，无需逐步计算。 【典例4】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【变式4-2】化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 【变式4-3】化简下列各数： (1)    ； (2)． ▌题型05 基础绝对值化简 1. 几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作，距离恒非负。 2. 代数分段公式（必考）： 3. 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 解题模板：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【典例5-1】若，则 __________． 【典例5-2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）__________________． 【变式5-1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【变式5-2】若，则_________． 【变式5-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． ▌题型06 绝对值非负性求值（高频大题） 若干个非负数的和为0，则每一个非负数都为0（绝对值为典型非负数）。 【典例6-1】（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【典例6-2】判断对错 (1)一定是非负数； (2)一定是非负数； (3)若，则； (4)若，则． 【典例6-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 【变式6-1】（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】的最小值是_____，的最小值是_____． 【变式6-3】已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【变式6-4】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式6-5】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知，求的相反数． 【变式6-6】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． ▌题型07 有理数大小比较 1. 数轴法：数轴上右侧的数始终大于左侧的数（通用所有有理数）。 2. 符号法则：① 正数＞0＞负数；② 两个正数比较，绝对值越大，数值越大；③ 两个负数比较，绝对值越大，数值越小（高频易错点）。 【典例7-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【典例7-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【典例7-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【变式7-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【变式7-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【变式7-3】请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． ▌题型08 数轴上整点覆盖 一、核心解题公式（万能通用） 数轴上，若一条线段两端点为 （）： 1. 两端点均为整数：覆盖整点个数 2. 两端点均不为整数：覆盖整点个数 3.一端整数、一端非整数：覆盖整点个数 极简秒杀口诀：整数端点必加一，非整端点直接取，区间包裹即计数。 二、核心知识点说明 1. 整点定义：数轴上坐标为整数的点（0、正整数、负整数）； 2. 线段覆盖规则：只要整点落在线段区间内（含端点），即算作被覆盖整点； 3. 高频易错点：整数区间计数必须+1，直接差值会少算一个端点整点，是考试高频扣分点。 【典例8-1】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【典例8-2】（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 【典例8-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【变式8-1】（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【变式8-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数基础概念及其应用（8题型突破·举一反三） 题型01 正负数与相反意义的量 题型02 有理数分类填空 题型03 数轴及其基础动态问题 题型04 多重符号化简 题型05 基础绝对值化简 题型06 绝对值非负性求值（高频大题） 题型07 有理数大小比较 题型08 数轴上整点覆盖 ▌题型01 正负数与相反意义的量 1. 正数：大于0的数，正号“+”通常可省略书写。 2. 负数：在正数前加负号“−”的数，所有负数都小于0。 3. 0的核心属性：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界唯一数。 4. 相反意义的量：成对出现，需满足数量对应、意义相反两个条件。常见场景：收入与支出、上升与下降、零上与零下、海平面上下。 5. 误差范围：形如 ，表示数值取值区间为 至 。例：，取值范围为39.98～40.02。 解题模板：确定基准量，相反意义的量符号相反，以0为分界基准。 【典例1-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）下列各数，，54，0，，，0.001，中，负数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：在，，54，0，，，0.001，中， 负数为，，，共3个． 故选：B． 【典例1-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）我国海拔最高点珠穆朗玛峰，记其海拔为米，那么海拔最低点艾丁湖，其海拔在海平面下米可记为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵规定海平面以上的海拔高度记为正， ∴海平面以下的海拔高度记为负， ∵艾丁湖海拔在海平面下米， ∴其海拔可记为：米， 故选：A． 【典例1-2】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果微信收入50元钱，记作“”元，那么从微信支付40元钱，记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】解：∵微信收入50元记作“＋50”元，收入与支付是具有相反意义的量， ∴微信支付40元记作“”元 故选B． 【变式1-1】（25-26七年级上·四川乐山·期末）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》中，就首次记载了“正负术”，引入了负数的概念．如果公元前600年记作年，则公元2026年记作（   ）. A．年 B．2026年 C．年 D．2626年 【答案】B 【详解】解：∵公元前600年记作年， ∴公元后年份应记作正数， ∴公元2026年记作2026年． 故选B． 【变式1-2】（25-26七年级上·陕西安康·期末）中国古代数学著作《九章算术》中记载了正负数的概念及运算法则，称为“正负术”．现用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若算筹（此算筹为红色）表示的数是，则算筹（此算筹为黑色）表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，黑色算筹表示负数，横放的算筹表示十位数，竖放的算筹表示个位数， 算筹（此算筹为黑色）表示的数是． 故选：． 【变式1-3】（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，在生产图纸上通常用（单位：）来表示零件的加工要求，其中表示直径是，和是指直径在到之间的零件都属于合格零件．现加工一批零件，尺寸要求是（单位：），下列零件不合格的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设该零件的直径为， 根据题意可得：， 整理得：， ， 不合格． 故选：B． ▌题型02 有理数分类填空 分类1：按整数、分数划分（最常用） 有理数分为整数和分数。整数包含正整数、0、负整数；分数包含正分数、负分数。 核心易错：有限小数、无限循环小数均属于分数，是有理数；无限不循环小数（如）不是有理数。 分类2：按正负性划分 有理数分为正有理数、0、负有理数。正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。 重点专属定义（高频考点） 非负数：正数和0；非正数：负数和0； 非负整数（自然数）：0、1、2、3…… 解题步骤：1. 先化简多重符号、绝对值；2. 严格按照定义区分整数、分数、正数、负数；3. 牢记有限/无限循环小数是分数，为无理数。 【典例2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨． (1)正有理数集合；｛____________________…｝ (2)负有理数集合：｛____________________…｝ (3)整数集合：｛____________________…｝ 【详解】（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数， 因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝. （2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝； （3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝． 【变式2-1】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 【变式2-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）将下列各数填入对应集合： ，，，，，，，，， 整数集合：｛　　　…｝ 分数集合：｛　　　…｝ 正数集合：｛　　　…｝ 负数集合：｛　　　…｝ 【详解】解：整数集合：｛，，，，…｝ 分数集合：｛，，，，…｝ 正数集合：｛，，，，…｝ 负数集合：｛，，，…｝ 【变式2-3】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． ▌题型03 数轴及其基础动态问题 1. 三要素（缺一不可）：原点、正方向（默认向右）、统一单位长度。 2. 核心性质：① 所有有理数都能用数轴上的点表示，但数轴上的点不一定是有理数；② 数轴上数的大小规律：右大左小。 3. 规范要求：水平直线、标注原点0、右侧画箭头、刻度均匀分布。 解题模板：数轴上点的移动规律：左移减、右移加。 【典例3-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、符合所有条件，是数轴，该选项符合题意； B、没有原点，该选项不符合题意； C、单位长度不一样长，该选项不符合题意； D、原点左边数据标错，该选项不符合题意． 【典例3-2】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式3-1】（2026·河南驻马店·三模）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C．1.5 D．1.6 【答案】A 【详解】解：由数轴可知，点位于和之间， ∴ ∵，而，，， ∴ 点表示的数可能是． 【变式3-2】（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 【变式3-3】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． ▌题型04 多重符号化简 多重符号化简口诀：奇负偶正。式子中负号个数为奇数，结果为负；负号个数为偶数，结果为正（与正号无关）。 解题模板：仅统计式子中负号个数，依据“奇负偶正”直接化简，无需逐步计算。 【典例4】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）下列化简结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，则此项错误，符合题意； B、，则此项正确，不符合题意； C、，则此项正确，不符合题意； D、，则此项正确，不符合题意； 故选：A． 【变式4-1】下列各对数中互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．5和 【答案】B 【详解】解：A、∵，，两数相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； B、∵，，3和只有符号不同，符合相反数定义，∴两数互为相反数，该选项符合题意； C、∵，与相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意； D、∵，与5相等，∴不是互为相反数，该选项不符合题意． 【变式4-2】化简的结果是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】解：． 【变式4-3】化简下列各数： (1)    ； (2)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型05 基础绝对值化简 1. 几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离，记作，距离恒非负。 2. 代数分段公式（必考）： 3. 核心性质：① 非负性：，绝对值最小的数为0；② 互为相反数的两数绝对值相等，即；③ 若，则或。 解题模板：正数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是其相反数。 【典例5-1】若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【典例5-2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）__________________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为；． 【变式5-1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【变式5-2】若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级上·云南文山·期末）如果，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． ▌题型06 绝对值非负性求值（高频大题） 若干个非负数的和为0，则每一个非负数都为0（绝对值为典型非负数）。 【典例6-1】（25-26七年级上·甘肃·期末）若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 【典例6-2】判断对错 (1)一定是非负数； (2)一定是非负数； (3)若，则； (4)若，则． 【详解】（1）解：∵一定是非负数 ∴一定是非正数， ∴（1）“错误”； （2）解：∵一定是非负数， ∴（2）“正确”； （3）解：∵，则或， 所以（3）“错误”； （4）解：∵， ∴m、n互为相反数， ∴， ∴（4）“正确”． 【典例6-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，计算的值． 【答案】或 【详解】解：， ，， 解得：，， ∵， ∴， 当时，． 当时，． 【变式6-1】（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、绝对值方程 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 【变式6-2】的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 【变式6-3】已知，，均为整数，且满足，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，且，，均为整数， ∴和均为非负整数，且和为， ∴可能情况为：且，则， ∴； 且， 则， ∴， 综上，． 【变式6-4】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式6-5】（25-26七年级上·重庆万州·阶段检测）已知，求的相反数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 故， 所以的相反数为． 【变式6-6】已知 ， (1)求的值． (2)画数轴，并在数轴上标出到a、b两数距离之和为4的数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设到a、b两数距离之和为4的数为， 则， 当时，，； 当时，，方程无解； 当时，，； ∴到a、b两数距离之和为4的数为或． ▌题型07 有理数大小比较 1. 数轴法：数轴上右侧的数始终大于左侧的数（通用所有有理数）。 2. 符号法则：① 正数＞0＞负数；② 两个正数比较，绝对值越大，数值越大；③ 两个负数比较，绝对值越大，数值越小（高频易错点）。 【典例7-1】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 【答案】 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 【典例7-2】（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【典例7-3】（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）在一次体检过程中，七(3)班班长记录了该班名学生的视力情况，若每名学生的视力以为标准，大于的记为正数，小于的记为负数，记录数据如下： 学生 小明 小颖 小梦 小璐 小杰 小萌 视力 (1)这名学生中哪名学生的视力最差？用学过的知识说明理由； (2)若规定与标准视力相差大于需要配戴眼镜，则名学生中有几人需要配戴眼镜？ 【详解】（1）解：小璐的视力最差．理由如下， ∵， ∴最小， ∴小璐的视力最差． （2）解：∵，，， ，，， ∴6名学生中有3人需要配戴眼镜． 【变式7-1】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【详解】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式7-2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】数轴见解析； 【详解】解：数轴如图所示即为所求： 按从小到大顺序排列：． 【变式7-3】请阅读材料，并解决问题． 在比较与的大小时，若利用绝对值法比较，则需要进行分数的通分，因为分母较大，所以比较繁琐．我们也可以使用如下的方法比较大小： 因为，，所以，所以． (1)填空：上述方法是先通过找中间量______来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“______大的负数反而小”进行判断． (2)利用上述方法比较与的大小． 【详解】（1）解：上述方法是先通过找中间量来比较正数与的大小，再根据两个负数比较大小的结论“绝对值大的负数反而小”进行判断； 故答案为：；绝对值； （2）解：∵，， ∴， ∴． ▌题型08 数轴上整点覆盖 一、核心解题公式（万能通用） 数轴上，若一条线段两端点为 （）： 1. 两端点均为整数：覆盖整点个数 2. 两端点均不为整数：覆盖整点个数 3.一端整数、一端非整数：覆盖整点个数 极简秒杀口诀：整数端点必加一，非整端点直接取，区间包裹即计数。 二、核心知识点说明 1. 整点定义：数轴上坐标为整数的点（0、正整数、负整数）； 2. 线段覆盖规则：只要整点落在线段区间内（含端点），即算作被覆盖整点； 3. 高频易错点：整数区间计数必须+1，直接差值会少算一个端点整点，是考试高频扣分点。 【典例8-1】（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 【典例8-2】（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住部分的整数有___________个． 【答案】7 【详解】解：根据数轴可得：墨迹盖住的整数共有，共7个． 故答案为7． 【典例8-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 【变式8-1】（25-26七年级上·四川达州·期中）如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】解：由数轴可知：被墨水盖住的部分整数有，共7个； 故选D． 【变式8-2】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，是王老师在黑板上画的一个数轴，若王老师用直尺将数轴的一部分遮挡，则直尺遮挡的整数个数为（   ） A．26 B．25 C．24 D．23 【答案】B 【详解】解：到之间的整数有个， 故选B． 【变式8-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个． 【答案】 201 200 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $