精品解析：黑龙江佳木斯市第十一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

2025-2026年度第二学期期末考试 数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 1. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】该组数据的平均数为， 该组数据共8个数，则中位数为第4个和第5个数的平均数，是， 该组数据的众数， 所以. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以． 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. ， C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，若，，则或，错误. 选项B，若，，则或，错误. 选项C，由线面平行的性质定理可知，若直线平行于一个平面，且该直线包含于另一个与已知平面相交的平面内，则这条直线与两平面的交线平行，题设条件完全符合定理要求，故，正确. 选项D：若，，则或，结合，可得与的位置关系可能为平行、相交或，不一定垂直，错误. 4. 某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 5. 已知平面向量，，且，则等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据向量的平行求出的值，再根据向量的坐标运算计算即可． 【详解】解：∵，，且， ， 解得，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题． 6. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，，，. . 8. 如图，西周琱（diāo）生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为5∶3，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4∶5，则圆柱与圆台的体积之比约为（ ） A. 80∶81 B. 80∶61 C. 9∶8 D. 1∶2 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，设圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5， 则圆台的体积为， 圆柱的体积为， 所以. 二、多选题(共3 小题，每小题6分，共18分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，，第60百分位数为第6位和第7位数据的平均值，即，故A错误； 对于B，由数据2，3，5，x，8的平均数为5，得； ，故B正确； 对于C，分层随机抽样为等概率抽样，每个个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值，与个体所在层的个体总数无关，因此各层个体被抽到的概率相同，故C错误； 对于D，，，…，的方差为2，则，，…，的方差为. 10. （多选题）下列结论正确的是（ ） A. 若，互为对立事件，，则 B. 事件，，两两互斥，则事件与互斥 C. 事件与对立，则 D. 若与互斥，则它们的对立事件也互斥 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过互斥事件和对立事件的定义与概率性质，逐一分析各选项即可. 【详解】若，互为对立事件，则，已知，可得，故A正确； 事件两两互斥，则事件不能同时发生，则事件与也不可能同时发生， 则事件与互斥，故B正确； 事件与对立，则，故C正确； 若，互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D错误. 故选：ABC 11. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理结合已知条件求得，从而求得，判断A；根据正弦定理对进行边角互化得，从而求得，判断B；求出的值，判断C；求出的面积，判断D. 【详解】选项A：由余弦定理得， 所以， 化简得，即， 又，故，故A正确. 选项B，由题意得， 由正弦定理得，所以，故B正确. 选项C，由，得， 所以，所以，故C错误. 选项D，由题意得的面积为，故D正确. 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，则_________． 【答案】-21 【解析】 【详解】因为， 所以，所以． 13. 某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 【答案】48 【解析】 【详解】由题意得，，得 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题 (15题13分 ，16题17分，17题15分，18题15分，19题每题17分) 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的模长公式计算即可； （2）由向量的数量积公式列方程求解即可. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，， 解得． 16. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． 【小问2详解】 因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 17. 为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． （1）估计满意度评分的中位数； （2）现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，则，解得. 前两组的频率之和为，前三组的频率之和为； ，中位数位于区间内. 设中位数为，则，解得. 估计满意度评分的中位数为. 【小问2详解】 满意度评分在的频率为，满意度评分在的频率为，两组频率之比为. 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在中抽取的人数为，记为；在中抽取的人数为，记为. 则从6人中任取2人，所有可能的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的情况有，，，，，，，，共8种； . 一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率为. 18. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下： 抽取的名组成员考核成绩为：，，，； 抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，． 规定：考核成绩不低于分为“优秀”． （1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率； （2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由． 【答案】（1）； （2）平均数都是88；组方差为17，组方差为；由于，，所以组的成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）先根据按比例分层抽样求出从两组抽取的成绩优秀的人数，用字母表示并列出“从中任取两人”的样本空间和“两人来自同一组”的样本点，根据古典概型概率公式计算； （2）分别计算出两组成绩的平均数与方差，对应比较即得结果. 【小问1详解】 由题意知，抽取的样本数据中考核成绩为优秀的成员共有5人， 其中组有2人，分别记为，；组有3人，分别记为，，； 从上述5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共包含10个样本点， 其中，这两人来自同一组包含4个样本点， 则， 所以考核成绩“优秀”的5人中任取两人，两人来自同一组的概率为. 【小问2详解】 记抽取的4名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 记抽取的6名组成员的考核成绩的平均数为，方差为， 则， ， ， ， 由于，，所以组的成绩更稳定． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，证明，然后由线面平行的判定定理得证； （2）先证明平面，再由面面垂直的判定定理得证； （3）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角. 【小问1详解】 如图，连接交于，连接， 是正方形，则是中点，又E为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， ，从而， 所以，， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 易知平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值为，从而正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年度第二学期期末考试 数学试卷 一、单选题(共8小题，每小题5分，共40分) 1. 一组数据为1，2，4，4，6，7，9，10，记该组数据的平均数，中位数，众数分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. ， C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，且，则等于 A. B. C. D. 6. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，西周琱（diāo）生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆柱和圆台的高之比约为5∶3，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为4∶5，则圆柱与圆台的体积之比约为（ ） A. 80∶81 B. 80∶61 C. 9∶8 D. 1∶2 二、多选题(共3 小题，每小题6分，共18分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第60百分位数是6 B. 已知一组数据2，3，5，x，8的平均数为5，则这组数据的方差是 C. 用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大 D. 若，，…，的方差为2，则，，…，的方差是18 10. （多选题）下列结论正确的是（ ） A. 若，互为对立事件，，则 B. 事件，，两两互斥，则事件与互斥 C. 事件与对立，则 D. 若与互斥，则它们的对立事件也互斥 11. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 三、填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量，则_________． 13. 某企业生产，，三种不同型号的产品，其产量之比为5∶4∶3，现用按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有12件，则________． 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题 (15题13分 ，16题17分，17题15分，18题15分，19题每题17分) 15. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）若，求； （2）若，求实数． 16. 记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． （1）求； （2）求的周长. 17. 为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． （1）估计满意度评分的中位数； （2）现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 18. 某学校的羽毛球社团有，两个训练小组，其中组人，组人，期末学校对羽毛球训练成效进行考核，满分为分．为了解两个小组的训练成效，现采用按比例分层抽样的方法从该社团成员中抽取容量为的样本，记录样本中每名成员的考核成绩（单位：分），统计结果如下： 抽取的名组成员考核成绩为：，，，； 抽取的名组成员考核成绩为：，，，，，． 规定：考核成绩不低于分为“优秀”． （1）根据个样本数据，从考核成绩为“优秀”的成员中任取两人，求这两人来自同一组的概率； （2）以样本估计总体，分别估计，两组考核成绩的平均数与方差，判断哪组的成绩更稳定？请说明理由． 19. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，E为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $