精品解析：黑龙江省佳木斯市第十一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

佳木斯市第十一中学2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，， 所以复数的共轭复数为. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量加法及减法运算. 【详解】. 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，， 则 ． 4. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，则，所以， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示： 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为． 5. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件判断四边形为平行四边形，求出相关边长，再计算出四边形的面积，利用直观图与原图面积之间的数量关系计算即得. 【详解】由题意，，轴，轴，轴， 则，设轴与交点为D，则四边形为平行四边形， 则,，， 于是，四边形的面积为， 因为四边形面积是四边形的面积的倍， 所以四边形的面积为． 6. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】连接，相交于，可证平面，利用四棱锥的体积公式即可求解. 【详解】连接，相交于，则， 由正棱柱的性质可知平面，平面， 所以，又，平面， 则平面，且， 所以四棱锥的高为，其体积为， 解得． 7. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件先求出，再由向量数量积的定义即可求得两向量的夹角. 【详解】由可得，解得， 又由可得， 因，则，即与的夹角为. 8. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设底面圆的半径为， 在等腰三角形中，由余弦定理： 代入，，，得： 即，解得。 圆锥表面积. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 已知若则 B. 若，则 C. 则与的夹角正弦值为 D. 在平行四边形ABCD中，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示可判断A；利用向量数量积运算律，可计算判断B；利用向量数量积的定义，可计算判断C；利用平行向量的线性运算可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确； 对于B，由可得，化简可得，所以当是非零向量时，.但题中没有这个前提条件，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为，所以.故C正确； 对于D，如图， 由， 所以，， 则故D正确. 故选：ACD. 10. 下面命题不正确的是（ ） A. 两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等 B. 圆心和圆上两点确定一个平面 C. 若，则直线l与平面内的所有直线都没有公共点 D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等角定理判断A；利用确定平面公理判断B；利用线面平行的定义判断C；利用线面位置关系判断D. 【详解】对于A，两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补，A错误； 对于B，圆心与直径的两个端点不能确定一个平面，B错误； 对于C，，则直线l与平面没有公共点，C正确； 对于D，两条平行线中的一条与一个平面平行，另一条可能在平面内，D错误. 故选：ABD 11. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是纯虚数或零 C. 若，则 D. 若，是方程；的两根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】举例，，判断A；利用复数的运算法则判断B；利用反例法判断选项C．利用韦达定理计算判断选项D. 【详解】举例说明：若，，则，，， 但与都是虚数，不能比较大小，故A错； 设，则，故， 当时是零，当时，是纯虚数，B正确； 令，，满足，但，故， 不能推出，故C错误． 已知是方程的两根，由韦达定理得， ，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量的长度即可. 【详解】由，所以， 所以，所以在方向上的投影向量的长度为. 13. ，则________. 【答案】 【解析】 【详解】由已知， 所以 . 14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【解析】 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 四、解答题 (15题13分，16题-17每题15分，18题-19题每题17分) 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 16. 在中，已知： （1）求角； （2）若，，求边及的面积． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理求解. （2）利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，而， 则，因此，而， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理及， 得，而，所以，的面积. 17. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出正四面体和正方体的表面积即可； （2）计算三棱锥的体积，利用割补法计算. 【小问1详解】 因为是正方体， 所以， 所以三棱锥的表面积为， 而正方体的表面积为， 故三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值． 【小问2详解】 三棱锥，，，是完全一样的． 因为三棱锥的体积为，正方体的体积为， 所以三棱锥的体积为 18. 如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点. （1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求四面体的体积. 【答案】（1）平面，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及三角形的中位线定理，再利用平行的传递性及平行四边形的判定，再结合线面平行的判定即可求解； （2）根据已知条件得出点到平面的距离，进而得到点到平面的距离，再求出面积，结合三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 直线与平面平行，理由如下 如图所示， 取中点为，连接， 因为为的中点，为的中点， 所以. 又 ，，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形.则. 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，，为的中点. 所以,，， 因为平面平面，， 平面平面， 所以平面，平面，所以，， 又，所以平面， 所以点到平面的距离为，因为为的中点. 即点到平面的距离为， 因为为的中点，所以， 又因为四边形是直角梯形，，，， 所以 ， 所以四面体ODME的体积为 . 19. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． （1）求间距离； （2）该救援船到达D点需要多长时间？ 【答案】（1）海里 （2）小时 【解析】 【小问1详解】 在中，海里，， 由正弦定理，得，即， ，即. 【小问2详解】 如图，连接．在中，，，． 由余弦定理，得， ，． 故救援船到达点需要的时间为小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佳木斯市第十一中学2025-2026学年度高一下学期期中考试 数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 已知，则的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A. B. 6 C. D. 6. 在正四棱柱中，，且四棱锥的体积为6，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 8. 如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面直径所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为（　　） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分) 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 已知若则 B. 若，则 C. 则与的夹角正弦值为 D. 在平行四边形ABCD中，则 10. 下面命题不正确的是（ ） A. 两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等 B. 圆心和圆上两点确定一个平面 C. 若，则直线l与平面内的所有直线都没有公共点 D. 如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 11. 已知，为复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 是纯虚数或零 C. 若，则 D. 若，是方程；的两根，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知向量满足，且，则在方向上的投影向量的长度为______． 13. ，则________. 14. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题 (15题13分，16题-17每题15分，18题-19题每题17分) 15. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 在中，已知： （1）求角； （2）若，，求边及的面积． 17. 如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求： （1）三棱锥的表面积与正方体的表面积的比值； （2）三棱锥的体积． 18. 如图所示，平面平面是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，分别为的中点. （1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由； （2）求四面体的体积. 19. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时． （1）求间距离； （2）该救援船到达D点需要多长时间？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $