2026-2027学年人教版数学七年级上册【绝对值】培优专项训练

**基本信息** 以“定义-性质-方法-应用”为逻辑主线，系统整合绝对值代数与几何意义，提炼3大化简方法、5类性质应用及“奇点偶段”等解题模型，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5大核心方法|代数意义法、零点分段法、几何意义法；“奇点偶段”最值结论|从定义（代数/几何）到性质（非负性等），推导距离公式与化简方法，构建概念-性质-应用链条| |典例分析|7题型（1例+变式）|分类讨论、非负性应用、分段函数法|题型覆盖定义化简、非负性、含参化简、最值、方程等，每题对应1-2种核心方法，形成“题型-方法”映射| |综合训练|3层次（基础/能力/拓展）|几何意义迁移（数轴动点）、跨情境建模（和谐数组）|从基础计算到压轴探究，逐步提升抽象能力与应用意识，契合中考高频考点|

七年级上册数学绝对值专题培优练习 第一部分 知识梳理 1.绝对值的定义 代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离，叫做数的绝对值，记作. 2.绝对值的核心性质 （1）非负性：，绝对值最小的数是0. （2）互为相反数的两个数绝对值相等：. （3）绝对值等于本身的数：非负数（正数和0）. （4）绝对值等于相反数的数：非正数（负数和0）. （5）若，则或. （6）几个非负数之和为0，则每个非负数都为0：若，则. （7）当时，，所以； 当时，，所以. 3.数轴上两点间的距离公式 数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离为： 4.绝对值化简的核心方法 方法一：代数意义法：先判断绝对值内式子的正负，正数直接去绝对值，负数取相反数. 方法二：零点分段法：求出所有“零点”，用零点将数轴分段，在各段内分别化简. 方法三：几何意义法：表示数轴上到的距离，利用数轴直观分析. 5.绝对值最值问题的常用结论 的最小值为，当在和之间时取到. 的最大值为，最小值为. 多个绝对值之和：奇数个零点时，取中间零点时最小；偶数个零点时，取中间两零点之间任意值时最小.（奇点偶段） 第二部分 典例分析和变式训练 题型一：绝对值的定义与基本化简 例1已知，，且，求的值. 思路点拨：由得，由得,由得，再结合、的值进行分类讨论. 变式1 已知，，且，求的值. 变式2 已知，，且，求的值. 题型二：绝对值的非负性 例2若，求的值. 思路点拨：利用绝对值的非负性——两个非负数之和为0，则每个非负数必须为0. 变式3 若，求的值. 变式4 已知，求的值. 题型三：含字母的绝对值化简 例3有理数、在数轴上的位置如图所示，化简. 思路点拨：先根据数轴判断、、的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号. 例4若，，化简. 思路点拨：先根据已知条件判断、的符号及大小关系，再判断绝对值内各式的正负. 变式5 若，，且，化简. 变式6 有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简. 题型四：单个绝对值的最值问题 知识要点：表示数轴上点到点的距离，其最小值在时取得，最小值为0. 例5求的最小值，并求此时的值. 变式7 的最小值，并求此时的值. 变式8 的最小值，并求此时的值. 题型五：多个绝对值的最值（几何意义） 例6求的最小值. 思路点拨：表示数轴上到的距离，表示数轴上到的距离.两者之和的最小值，即数轴上一点到和两点的距离之和的最小值.当在和之间时，距离之和等于到的距离，即最小值. 例7求的最小值. 思路点拨：三个绝对值之和的最小值问题，零点为、、.三个零点，取中间零点时和最小.也可利用几何意义：数轴上一点到、、三点的距离之和最小. 例8求的最大值和最小值. 思路点拨: 方法一：几何意义法 表示数轴上点到点的距离，表示点到点的距离，则表示两距离之差.通过分析在不同位置时差值的变化规律，可直观得到最值. 方法二：零点分类讨论法（分段函数法） 以绝对值内部为零的点为分界，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再求各段上的最值. 变式9求的最小值. 题型六：含绝对值的方程 例9解方程. 思路点拨：利用零点分段法，令和，得零点和.将数轴分为三段：，，，在各段内分别去掉绝对值符号. 变式10解方程. 题型七：绝对值的分类讨论 例10已知、、是非零有理数，且，求的值. 思路点拨：说明、、中至少有一个正数一个负数.的值只有（时）和（时）两种可能.需要根据正负数的个数进行分类讨论. 变式11已知是非零有理数，且，求的值. 第三部分 综合训练 一、基础过关 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 绝对值等于的数是（ ） A. B. C. D. 3. 计算：. 4. 比较大小：（填“”“”或“”）. 5. 绝对值大于且小于的所有整数的和是_________. 6. 若，则. 7. 若，则. 8. 已知，则的值是_________. 9. 质检员抽查了个零件的尺寸（单位：mm），超过标准长度的记为正，不足的记为负，结果如下：，，，.哪个零件最接近标准长度？ 二、能力提升 1. 若，则的取值范围是________________. 2. 若，则的值是_____________. 3. 若，，且，求的值. 4. 已知，，且，求的值. 5. 若，化简. 6. 有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简. 7. 求的最小值，并写出此时的取值范围. 8. 若为有理数，求的最小值. 9. 解方程：. 10. 若，，且，化简. 11. 已知的最小值为，求的值及此时的取值. 12. 若、、是非零有理数，且，求的值. 13. 已知、、是非零有理数，且，判断的符号. 14. 已知，，，且，求的值. 15. 解方程：. 16. 已知整数满足，求所有满足条件的的值. 17. 若的值恒为常数，求的取值范围及该常数的值. 三、拓展探究 1. 已知、两点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离记为. （1）数轴上表示和的两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是. （2）若，求的值. （3）求的最小值，并求此时的取值范围. 2. 已知、、均为整数，且. （1）求和的值. （2）求的值. （3）若，求所有可能的、、的值. 3. 我们知道，可以理解为，表示数轴上到的距离. （1）的最小值为，此时的取值范围是. （2）如图，一条流水线上依次有个工位、、、、，相邻两个工位之间的距离均为米.现要在流水线上设置一个工具箱，使个工位到工具箱的距离之和最小，则工具箱应放在哪个工位处？最小距离之和是多少米？ （3）由以上探究，猜想：对于任意有理数，（其中）何时取最小值？请用文字表述你的结论. 4. 在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且. （1）求、的值，并在数轴上标出、两点. （2）若点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动.设运动时间为秒. ①当为何值时，、两点相遇？ ②当为何值时，、两点之间的距离为？ （3）在（2）的条件下，是否存在使得取最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由. 5. 若三个有理数、、满足，则称、、为“和谐数组”. （1）判断、、是否为“和谐数组”？请说明理由. （2）判断、、是否为“和谐数组”？请说明理由. （3）若、、为“和谐数组”，且，求证：等价于数轴上在和之间. （4）若、、为“和谐数组”，且，，求所有可能的值. 第四部分 答案与解析 例1 已知，，且，求的值. 【答案】或 【解析】 由得，由得. 由可知. 若，则，故，此时. 若，则，故，此时. 综上所述，或. 变式1 已知，，且，求的值. 【答案】或 【解析】 由得，由得. 由知与同号. 同正：，则. 同负：，则. 变式2 已知，，且，求的值. 【答案】或 【解析】 由得，由得. 由可知，即. 若，则恒成立，均可： 时，； 时，. 若，则需，而均不满足，舍去. 故或. 例2 若，求的值. 【答案】 【解析】 由绝对值的非负性：，，两者之和为，则必须各自为. 故. 变式3 若，求的值. 【答案】 【解析】 变式4 已知，求的值. 【答案】 【解析】 故. 例3 有理数、在数轴上的位置如图所示，化简. （由图可知，且） 【答案】 【解析】 由数轴知：，，且. （负数的绝对值等于其相反数） （正数的绝对值等于本身） （为负，为正，差为负），故 代入原式： 例4 若，，化简. 【答案】 【解析】 由且，可知（异号得负）.所以. ：，再加，整体为正，故 ：，再减，整体为负，故 原式 变式5 若，，且，化简. 【答案】 【解析】 ，，且，说明的绝对值更大. ：因为，所以，故 ，故 原式 变式6 有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简. 【答案】 【解析】由数轴得，且 ，所以， ，所以， ，，且，所以， 原式 例5 求的最小值，并求此时的值. 【答案】最小值为，此时 【解析】 表示数轴上到的距离.当时，距离为，即最小值. 变式7 求的最小值，并求此时的值. 【答案】最小值为，此时 【解析】 ，当时取得最小值，此时原式. 变式8 求的最小值，并求此时的值. 【答案】最小值为，此时 【解析】 ，当时取得最小值，此时原式. 例6 求的最小值. 【答案】最小值为 【解析】 表示到的距离，表示到的距离. 两点之间线段最短：当在和之间（即）时，距离之和等于到的距离，即，此为最小值. 例7 求的最小值. 【答案】最小值为，此时 【解析】 三个零点为，奇数个零点，取中间零点时和最小. 代入：. 几何意义：数轴上一点到三点的距离之和最小，时和为. 例8 求的最大值和最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【解析】 方法一（几何意义法）：表示到的距离，表示到的距离. 当时，两距离之差（最大值） 当时，两距离之差（最小值） 方法二（零点分类讨论法）：零点为和. ：原式 ：原式，范围 ：原式 故最大值为，最小值为. 变式9 求的最小值. 【答案】最小值为，此时 【解析】 四个零点为，偶数个零点.根据"奇点偶段"，取中间两零点到之间的任意值时和最小. 取： 取： 故最小值为，此时. 例9 解方程. 【答案】或 【解析】 零点为和，分三段讨论. 1. ：原式，成立. 1. ：原式，矛盾，无解. 1. ：原式，成立. 故解为或. 变式10 解方程. 【答案】或 【解析】 零点为和. 1. ：，成立. 1. ：，矛盾，无解. 1. ：，成立. 故解为或. 例10 已知是非零有理数，且，求的值. 【答案】 【解析】 ，说明中至少有一个正数、一个负数. 情况一：两正一负 不妨设. . ，.总和. 情况二：两负一正 不妨设. . ，.总和. 两种情况结果均为，故答案为. 变式11 已知是非零有理数，且，求的值. 【答案】1或-3 【解析】 因为是非零有理数，且，可能的情况有3正1负、1正3负、2正2负. 情况一：3正1负 前四项=1+1+1+(-1)=2，奇数个负数→abcd<0→第五项=-1，总和=2+(-1)=1. 情况二：1正3负 前四项=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2，奇数个负数→abcd<0→第五项=-1，总和=-2+(-1)=-3. 情况三：2正2负 前四项=1+1+(-1)+(-1)=0，偶数个负数→abcd>0→第五项=1，总和=0+1=1. 故答案为1或-3. 一、基础过关 1.的绝对值是（　） A.　　B.　　C.　　D. 【答案】A 【解析】负数的绝对值等于它的相反数，. 2.绝对值等于的数是（　） A.　　B.　　C.　　D. 【答案】C 【解析】，，故的绝对值都等于. 3.计算：________. 【答案】 【解析】，，. 4.比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】，.两个负数比较，绝对值大的反而小，，故. 5.绝对值大于且小于的所有整数的和是________. 【答案】 【解析】绝对值大于且小于的整数有：，其和为. 6.若，则________. 【答案】 【解析】绝对值等于的数有两个：和. 7.若，则________. 【答案】 【解析】. 8.已知，则的值是________. 【答案】 【解析】 . 9.质检员抽查了个零件的尺寸（单位：mm），超过标准长度的记为正，不足的记为负，结果如下：，，，.哪个零件最接近标准长度？ 【答案】对应的零件 【解析】比较各数据的绝对值：，，，.绝对值越小越接近标准长度，故对应的零件最接近. 二、能力提升 1.若，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】，绝对值等于其相反数，说明，即. 2.若，则的值是____________. 【答案】或 【解析】或或. 3.若，，且，求的值. 【答案】或 【解析】，.由分类： 时，需， 时，需，只能为， 故或. 4.已知，，且，求的值. 【答案】或 【解析】，.由得. 时，，故， 时，，故， 故或. 5.若，化简. 【答案】 【解析】，则，. . 6.有理数在数轴上的位置如图所示，化简. 【答案】 【解析】由数轴可知，且 ， （）， ， 原式 7.求的最小值，并写出此时的取值范围. 【答案】最小值为，此时 【解析】表示到的距离，表示到的距离.当在和之间时，距离之和等于到的距离. 8.若为有理数，求的最小值. 【答案】最小值为，此时 【解析】三个零点为.奇数个零点，取中间零点时和最小. 代入：. 9.解方程：. 【答案】或 【解析】零点为和. 1. ：，成立. 1. ：，矛盾，无解. 1. ：，成立. 故解为或. 10.若，，且，化简. 【答案】 【解析】，说明与同号，故.且. （）， （）， （）， 原式 11.已知的最小值为，求的值及此时的取值. 【答案】，此时 【解析】三个零点为.奇数个零点，取中间零点. 代入：.故，. 12.若是非零有理数，且，求的值. 【答案】或 【解析】，说明中负数的个数为偶数（个或个）. 全正：三项均为，总和. 两负一正：两项为，一项为，总和. 13.已知是非零有理数，且，判断的符号. 【答案】 【解析】三个值之和为，说明有个和个，即负正.两个负数相乘为正，再乘以正数仍为正，故. 14.已知，，，且，求的值. 【答案】或 【解析】由及取值范围分析，可能的组合： a b c a>b>c a+b-c 2 -3 -4 ✅ 2-3-(-4)=3 -2 -3 -4 ✅ -2-3-(-4)=-1 故或. 15.解方程：. 【答案】或 【解析】零点为，分四段讨论. 1. ：，成立. 1. ：，不在范围内，舍去. 1. ：，成立. 1. ：，不在范围内，舍去. 故解为或. 16.已知整数满足，求所有满足条件的的值. 【答案】 【解析】表示到和的距离之和. 当时，距离之和恒为，故均满足. 当时，距离之和，故. 当时，距离之和，故. 所有满足条件的整数为：. 17.若的值恒为常数，求的取值范围及该常数的值. 【答案】，常数为 【解析】表示到和的距离之和.当在和之间（包括端点）时，距离之和恒等于到的距离. 三、拓展探究 1.已知、两点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离记为. （1）数轴上表示和的两点之间的距离是______；数轴上表示和的两点之间的距离是______. 【答案】， 【解析】由距离公式直接得. （2）若，求的值. 【答案】或 【解析】零点为和. 1. ：，成立. 1. ：，矛盾，无解. 1. ：，成立. 故或. （3）求的最小值，并求此时的取值范围. 【答案】最小值为，此时 【解析】是偶数，根据“奇点偶段”，取中间两零点和之间任意值时和最小. 令代入计算： 2.已知均为整数，且. （1）求和的值. 【答案】且，或且 【解析】均为整数，和都是非负整数.两非负整数之和为，则必为一个为、另一个为. （2）求的值. 【答案】 【解析】 若且，则，. 若且，则，. 综上，. （3）若，求所有可能的的值. 【答案】或 【解析】 情形一：， 则，且. ：，则，. ：，非整数，舍去. 情形二：， 则，且. ：，则，. ：，非整数，舍去. 故所有可能的解为或. 3.我们知道，可以理解为，表示数轴上到的距离. （1）的最小值为______，此时的取值范围是______. 【答案】最小值为，此时 【解析】表示到和的距离之和.当在和之间时，距离之和等于到的距离. （2）一条流水线上依次有个工位，相邻两个工位之间的距离均为米.现要在流水线上设置一个工具箱，使个工位到工具箱的距离之和最小，则工具箱应放在哪个工位处？最小距离之和是多少米？ 【答案】工具箱应放在工位处，最小距离之和为米 【解析】设在数轴处，则在，在，在，在. 问题转化为求的最小值. 五个零点（奇数个），取中间零点（即处）时和最小. 代入：米. （3）由以上探究，猜想：对于任意有理数，（其中）何时取最小值？请用文字表述你的结论. 【答案】 当为奇数时，取中间一个零点（即）时，和取最小值. 当为偶数时，取中间两个零点之间的任意值（即）时，和取最小值. 简记为"奇点偶段". 4.在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，且. （1）求、的值，并在数轴上标出、两点. 【答案】，.点在数轴上处，点在处. 【解析】由非负性：，. （2）点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动.设运动时间为秒. ①当为何值时，、两点相遇？ 【答案】秒 【解析】点位置：，点位置：. 相遇时：（秒）. ②当为何值时，、两点之间的距离为？ 【答案】秒或秒 【解析】、距离. 或. 故秒或秒. （3）在（2）的条件下，是否存在使得取最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由. 【答案】存在，最小值为，此时（取时恰好到达点） 【解析】，. . 当时：（常数） 当时： 故当时，恒为，即最小值. 5.若三个有理数满足，则称为“和谐数组”. （1）判断是否为“和谐数组”？请说明理由. 【答案】是 【解析】，.满足条件，故是“和谐数组”. （2）判断是否为“和谐数组”？请说明理由. 【答案】不是 【解析】，.，故不是“和谐数组”. （3）若为"和谐数组"，且，求证：等价于数轴上在和之间. 【证明】 充分性：若在和之间（），则，，.左边右边，成立. 必要性：由三角不等式，等号成立当且仅当在和之间（即或）.结合，可知在和之间.证毕. （4）若为"和谐数组"，且，，求所有可能的值. 【答案】中的任意有理数（特别地，或也满足） 【解析】由定义：. 代入，，，即. 到的距离正好为，当在和之间（包括端点）时，距离之和恒为. 故所有可能的值为中的任意有理数. 第1页共18页 学科网（北京）股份有限公司 $