专项训练01 与绝对值有关的化简（巩固培优）新七年级数学新教材人教版

**基本信息** 以绝对值定义（代数/几何意义）和性质（非负性等）为基础，通过四类题型系统构建“概念-性质-应用”逻辑链，突出分类讨论、数形结合的解题方法，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|定义（2要点）、性质（3条）|代数意义（符号判断）、几何意义（距离模型）|从定义（数与数轴关系）到性质（非负性等），构建概念基础| |题型|4类（非负性、数轴化简、分类讨论、几何意义），含8道例题+10道练习题|非负性用非负性质，数轴化简用数轴符号判断，分类讨论用临界点划分区间，几何意义转化为距离问题|题型从基础（非负性）到综合（几何意义最值），实现知识应用的梯度提升|

专项训练01 与绝对值有关的化简 【知识点1 绝对值的定义】 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点分析： （1） 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 【知识点2 绝对值的性质】 性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 【题型1 绝对值的非负性】 1．已知满足，则式子的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，代数式的求值，乘方运算，解题的关键是两个非负数和为0的条件是它们都是0．由出来，再代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 解，得， ， 故答案为：． 2．在五个有理数，，0，，中任意取出两个相乘，则最大的积为a，最小的积为b． (1)求a、b的值； (2)，求代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法、绝对值的性质、整式的化简求值等知识点，熟练掌握有理数的乘法法则和绝对值的性质是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则得出a、b的值即可； （2）将a、b的值代入，再根据非负数的性质得出x、y的值，然后根据整式的混合运算法则化简，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，． （2）解：∵，即 ∴，， ∴，， ∴． 【题型2 利用数轴化简绝对值】 3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1) ， ； (2)化简：． 【答案】(1)0， (2) 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及利用数轴判断式子符号、化简绝对值： （1）结合数轴以及，得与是相反数，即可作答． （2）由数轴得，，得出，接着化简，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，∵ ∴， ∴， 故答案为：0，； （2）解：∵ ∴ ∴ 4．已知数轴上A，，三点对应的数分别是，，，若，，，为最小的正整数． (1)请在数轴上标出A，，三点的大致位置； (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查数轴和绝对值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的有关概念、绝对值的性质． （1）由c为最小的正整数，确定出，再由，，，得出b到原点的距离大于a到原点的距离，从而确定出在数轴上的大概位置； （2）根据A，B，C三点在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可． 【详解】（1）解：A，，三点的大致位置，如图所示， （2）解：由数轴可得，，，， ∴，，， ∴ ． 【题型3 分类讨论化简绝对值】 5．已知、，那么＝ 【答案】±2或0 【分析】根据x+a，x+b的符号，结合绝对值的性质进行计算即可． 【详解】解：当x+a＞0，x+b＞0时，原式＝1+1＝2， 当x+a＞0，x+b＜0时，原式＝1﹣1＝0， 当x+a＜0，x+b＞0时，原式＝﹣1+1＝0， 当x+a＜0，x+b＜0时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2， 故答案为：±2或0． 6．我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【题型4 几何意义化简绝对值】 7．如图，已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数－6，4．若x表示一个有理数． (1)数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为______； (2)若，则______； (3)式子的最小值为______，此时x的取值范围是______； (4)式子有最大值么？若有，请直接写出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)6或2 (3)8， (4) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、两点之间的距离公式和中点公式、列代数式、绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解本题的关键． （1）根据两点之间的距离公式和中点公式，计算即可； （2）根据绝对值的性质，列出方程即可求解； （3）根据绝对值的几何意义，结合图形，即可解答； （4）把问题转化为式子，当最小时，代数式的值最大，根据绝对值的几何意义分析，得出当x在与3之间时，有最小值8，然后把的最小值8代入代数式，计算即可得出代数式的最大值． 【详解】（1）∵数轴上有两个点，分别表示有理数， ∴数轴上点到点的距离为； ∴数轴上到点的距离相等的点的位置表示的有理数为； 故答案为：； （2）根据题意， ， 解得：或 故答案为：6或2 （3）∵表示数轴上x到3两点之间的距离，表示数轴上x到两点之间的距离， 由图可知， 当或时，， 当时， ∴式子的最小值为8，此时x的取值范围为； 故答案为：8， （4）， 当式子的最小值为8时，有最大值； 此时 的最大值为 8．【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）点，表示的数分别为，2，则_______； （2）若，则_________； 【应用】 （3）如图，数轴上表示数的点，问是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． （4）由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）9；（2）1或；（3）有，5；（4）有，最小值为7， 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴、有理数、绝对值，熟练掌握绝对值几何意义是关键． （1）根据绝对值几何意义计算即可； （2）根据绝对值几何意义计算即可； （3）根据的几何意义解答即可； （4）利用绝对值几何意义，分析出当时有最小值解答即可． 【详解】解：（1）点，表示的数分别为，2，则， 故答案为：9； （2）数轴上与表示的点相距3个单位的点表示的数为1或， 若，则或， 故答案为：1或； （3）有最小值，理由如下： 表示数轴上有理数所对的点到和2所对的两点距离之和， 当时，有最小值， 此时最小值为； （4）有最小值，理由如下： 若表示一个有理数，则有最小值，表示到，和1距离的和， 若想和的值最小，则当表示时，到三点的距离和最小， 当时，的最小值为7． 1．式子取最小值时，x等于（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 故选：D． 2．若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 3．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 4．当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 此时时，的值最小，则； 故答案为：． 5．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据非负数的性质求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 6．已知a，b，c为非零有理数，请解决下列问题： （1）当时， ； （2）若，则的值为 ． 【答案】 1 0或/或0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的运算，熟练掌握绝对值的性质，是解题的关键． （1）由给出条件和绝对值的性质即可解答； （2）由条件先确定a、b、c的正负情况，再化简绝对值，然后计算代数式的值即可． 【详解】解：（1）当时，． 故答案为：1． （2）∵， ∴a、b、c为两正一负或a、b、c都为负， ①当a、b、c为两正一负时，不防设， ∴； ①当a、b、c都为负时，即， ∴； 综上，该代数式的值为0或． 故答案为：0或． 7．已知有理数，，，且．    (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简： 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴与绝对值，整式的加减运算，根据题意判断式子正负是解题关键． （1）由题意可知，，再填写数轴即可； （2）由题意可知，再取绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：有理数，，，且， 则，， 在数轴上表示如下：    （2）解：由题意，可知， 所以 ． 8．根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 9．有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 10．我们知道，是指数轴上表示数的点到原点的距离．这是绝对值的几何意义．进一步地，如果数轴上点分别对应数，那么两点间的距离为． (1)如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，则_____，_____，_____； (2)若，则_____； (3)已知三个数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（）根据数轴解答即可求解； （）由可得式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和，根据可得数不可能在与之间，再分在左侧和在右侧两种情况解答即可求解； （）由数轴可得，，进而得到，，，，再根据绝对值的性质化简合并即可； 本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间距离，有理数与数轴，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可得，，，， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴式子表示数对应的点到对应的点与到对应点的距离之和， ∵， ∴数不可能在与之间， 当在左侧时，则， 解得； 当在右侧时，则， 解得； ∴或， 故答案为：或； （3）解：由数轴可得，，， ∴，，，， ∴原式 ． 1．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，已知，有如下四个结论：①；②；③；④．上述结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，表示a，b互为相反数，从而在数轴上标出原点，结合数轴得，，据此进行判断各结论，得到结果．本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴数轴上的原点在表示a，b两点的中间，a，b互为相反数， ∴，， ∴，结论①错误，不符合题意； ∴，结论②错误，不符合题意； ∴，结论③正确，符合题意； ∴，结论④正确，符合题意， 则正确的结论有2个， 故选：B． 2．下列说法：①若，则为负数；②若不是负数，则为非正数；③；④若，，则．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，理解绝对值的性质是解题关键． 根据绝对值的性质逐个分析判断即可得解． 【详解】解：若， ， ． ①的说法错误； 若不是负数， ， ，即为非正数． ②的说法正确； ，， ． ③的说法正确； 若，， ， ． ④的说法正确． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个正确结论． 故选：C． 3．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ， ，化简 【答案】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，熟练掌握根据点在数轴的位置判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴上各点的位置可得，，据此即可判定式子的符号，然后结合绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴上有理数、、的位置可得： ，， ∴，，，， ∴，，，， ∴， 故答案为：，，，，． 4．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【详解】站台分别位于，处 A站台与B站台之间的距离， A站台与P站台之间的距离， P站台是； 或A站台与P站台之间的距离， P站台是． 故P站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 5．阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值； 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 6． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合． (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： ①点和点之间的距离为______，②点到点的距离为______； ③点和点之间的距离为______，④点到点的距离为______； (2)【发现新知】如果数轴上点对应的数是，点对应的数是，那么点和点之间的距离可表示为______．（用含，的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示和的两点，之间的距离是10，求的值． ②式子的最小值是______． 【答案】(1)①4  ②2  ③3  ④4； (2)； (3)①或；②式子的最小值是8． 【分析】本题考查了列代数式、数轴，两点间距离，解决本题的关键是绝对值的意义的运用． （1）观察数轴运用有理数减法即可求解； （2）根据（1）中所观察规律即可得结论； （3）①根据（2）中得到的结论列出等式，求解即可； ②分，，，，五种情况讨论，可得答案． 【详解】（1）解：观察数轴，可得 ①点D与点A的距离为， 故答案为：4； ②点D与点G的距离为； 故答案为：2； ③点C与点A的距离为， 故答案为：3； ④点C与点F的距离为； 故答案为：4； （2）解：如果点P对应的数是a，点Q对应的数是b，那么点P与点Q之间的距离可表示为． 故答案为：； （3）解：①根据（2），得：， ， 即或， 解得：或． ②分五种情况： 当时，， 此时，当时，最小值是12； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，； 当时，， 此时，当时，最小值是8； 当时，， 此时，当时，最小值是12； 综上，当式子取最小值时，相应的x的取值范围是， 即 =8， ∴最小值是8． 故答案为：8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专项训练01与绝对值有关的化简 知识复盘卡 【知识点1绝对值的定义】 1.定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作| +2=2;-3的绝对值等于3，记作-3=3.· 要点分析： (1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身：一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 0.即对于任何有理数a都有：. [a(a>0) |a={0(a=0) -a(a<0) (2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对 值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.· (3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.· 【知识点2绝对值的性质】 性质：·(1)0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数. (2)互为相反数的两个数(0除外)的绝对值相等. (3)绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.· 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1绝对值的非负性】 1.已知a,b满足la-2+6+3=0,则式子(a+b)的值是 2.在五个有理数-5，-3,0，+2，+7中任意取出两个相乘，则最大的积为a,最小的积为b 117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求a、b的值； (2)r+a+y+b=0,求代数式2(x+y)-(y-x)的值. 【题型2利用数轴化简绝对值】 3.己知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，且4=. b 0 a b (10a+b=—’a (2化简：la+c-c--b-d. 4.已知数轴上A,B,C三点对应的数分别是a,b,c,若a<0,b<0,a<l,c为最小的正整数. 0 (1)请在数轴上标出A,B,C三点的大致位置： (2)化简：1a-b-2b-a-c+b-2c|. 【题型3分类讨论化简绝对值】 x+ax+b 5.已知x+a≠0八x+b≠0？那么x+a+x+b 6.我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数α的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合. 分类讨论思想可以解决一些问题求解下列问题： (1)若a=-5时， 的值为 a (2)若la+5=la-成立，则a=。 ab c abc (3)若abc<0,则ab1c1abc 4)当式子x+3到+x-4取最小值时，相应的x的取值范围」 最小值是 【题型4几何意义化简绝对值】 7.如图，已知数轴上有A,B两个点，分别表示有理数-6,4.若x表示一个有理数. 217 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B -6 4 (I)数轴上点A到点B的距离为一一一；数轴上到点A、B的距离相等的点表示的有理数为一一一： (2若x-4=2,则x=」 (3)式子x-3到+x+5的最小值为一，此时x的取值范围是 (4)式子8-2-3引-2x+有最大值么？若有，请直接写出最大值：若不存在，请说明理由. 8.【阅读】若点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,则 |AB=a-,即5-3到表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离. (1)点A，B表示的数分别为-7,2，则AB= (2)若r+2=3,则x=_ 【应用】 (3)如图，数轴上表示数a的点，问la++a-2是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有， 说明理由、 方432101234567 (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数x,x+6+x+3+-是否有最小值？如果有，直接写出最小 值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由 ★能力培优练 1.式子x++2取最小值时，x等于() A.0 B.1 C.2 D.-1 2.若m-2+n+7=0,则m+川=() A.2 B.7 C.8 317 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.己如表示有理数4，b的点在数轴上的位置如图所示，则日+份+2025的值是（) a b a 0b1 A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 4.当2m+7-5的值最小时，m= 5.已知x-2+y+4=0,则x+y= 6.已知a,b,c为非零有理数，请解决下列问题： la= 1)当a>0时， (2)若bc<0,则 albllcllabc a b c abc 的值为 7.已知有理数a<0,b>0,c>0,且l<a<d. () 0() () (1)如图，在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中： (2)化简：2a-l+lb-c-2c-ad 8.根据4≥0这一性质，解答下列问题： (1)当a=时，|a-4有最小值，此时最小值为_： (2)当a取何值时，|a-1+3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，4-a有最大值？这个最大值是多少？ 9.有理数a、bc在数轴上的位置如图： a 0b (1)a+b_0,abc0,b-a_0:填(“>”或“<”) (2如果a、c互为相反数，则。—一 (3)计算： 4,b4 a b c 10.我们知道，是指数轴上表示数a的点到原点的距离.这是绝对值的几何意义.进一步地，如果数轴 上点A、B分别对应数a、b,那么A、B两点间的距离为AB=a-b 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0 a 0 b b 0 a 图1 图2 (1)如图1，点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,则a一0，b一0，a-0: 2)若x-2+x+3=7,则x=_一： (3)已知a、bc三个数在数轴上的位置如图2所示，化简：la-+c+b+a+c+lc-. ★创新拓展练 1.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，已知a+b=0,有如下四个结论：①ab>0；② l4>c;③a+c<0;④b-c>0.上述结论正确的个数是() c b a A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列说法：①若+x=0,则x为负数：②若-a不是负数，则a为非正数：③a=(-a:④若 d=-b,=b,则a=b=0.其中正确的结论有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.己知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，且l4>,则la-=一，la+=一， a+c=一，b-=一，化简d-la++a=一 a b→ 日。申影《哈利波特》中，小哈利波特穿拔墙进入“站台”的头《如示意图的Q站合)，构思奇炒 28 给观众留下深刻的印象。若A、B站台分别位于一3,3处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2 倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”、 -1012345678910 5.阅读下列材料： 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经过有理数运算的学习，我们知道5-3引可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可 以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离.|5-(-2)川可以表示5与-2之差的绝对值.也可 以理解为5与-2两个数在数轴上所对应的两点之间的距离. -8-7-6-5-4-3-2-10123456781 (1)4-1川表示数轴上4与一 所对应的两点之间的距离. (2)lx-5表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离，|x+2表示数轴上有理数 x所对应的点到 所对应的点之间的距离. (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数x,使得x+2+x-1上3请直接写出这样的整数x的 值： 4)利用绝对值的几何意义，求出x+3+x-2的最小值。 6.“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读， 并解答题目后提出的两个问题， 求a+b+lc 例：三个有理数a,b,c满足bc>0,求a+b+。的值。 解：由题意得：a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， l4,b+_0+b+e-1+1+1=3, a b c a b c ②当a,b,c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 则：回+A,日-8+力+e=1++)=- a cc a b c 统上运：日女但的资家 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： a b (1已知a,b是有理数，当b≠0时，求ab值. b+c,a+c,a+b 2已知a,b,c是有理数，a+b+c=0'abc>0,求4+闪+的值. 7.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合. (1)【问题情境】如图，探究数轴上任意两点之间与两点的对应数的关系： 617 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f4095台 ①点D和点A之间的距离为」 ②点D到点G的距离为一一： ③点C和点A之间的距离为一一，④点C到点F的距离为一一： (2)【发现新知】如果数轴上点P对应的数是a,点Q对应的数是b,那么点P和点Q之间的距离可表示为 P№=.（用含a,b的式子表示） (3)【综合运用】①数轴上表示x和-4.5的两点M,N之间的距离是10，求x的值. ②式子r-2+r-4+k-6+x-8的最小值是_一. 717