精品解析：广西南宁市银海三雅学校2022-2023学年上学期九年级开学数学试卷

2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）开学数学试卷（附答案与详细解析） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 2. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方﹣6x+5＝0，配方后可得（ ） A. B. C. D. 5. 为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：，，， ，则成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，直线、相交于点，射线平分，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在轴上，点在轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，四边形ABCD内接于，DE是的直径，连接BD．若，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 32.5° D. 35° 11. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 12. 如图，抛物线与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①；②；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分） 13. 3的平方根是______． 14. 分式的值为0，则x＝_____． 15. 因式分解：______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，点D到AB的距离DE=3cm，则AC等于________ cm． 17. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转90°后的点的坐标是______． 18. 如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ___________． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. （1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． （2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图： ①连接OA； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B； ③在射线OB上截取BC＝OA； ④连接AC． 若AC＝3，求⊙O的半径． 22. 某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额x(单位：元)，将数据分组如下：A．；B．；C．；D．；E．，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为． 　 请根据以上信息，解答下列问题． （1）A组的频数是_____，本次调查的样本容量是_____； （2）补全频数分布直方图(需标明各组频数)； （3）所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？ 23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. （1）分别求，关于的函数关系式； （2）两图象交于点，求点坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 25. 如图，直线交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线经过点A，B，顶点为C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标． （2）将抛物线向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连接AD，BD．若，求m的值． 26. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点F，G，H分别为，，的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； （2）探究证明 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； （3）拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年广西南宁市青秀区银海三雅学校九年级（上）开学数学试卷（附答案与详细解析） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 2022的倒数是（　　） A. B. C. 2022 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此即可求得答案，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】2022的倒数是， 故选：D． 2. 剪纸是我国特别悠久的民间艺术形式之一，它是人们用祥和的图案期望吉祥、幸福的一种寄托．下列剪纸图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】将图A沿某直线折叠，直线两旁的部分不能重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意； 将图B沿某直线折叠，直线两旁的部分不能重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意； 将图C沿过中心的竖直的直线折叠，直线两旁的部分能重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意； 将图D沿某直线折叠，直线两旁的部分不能重合，所以不是轴对称图形，故此选项不合题意. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的判断，掌握定义是解题的关键． 3. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了的光刻机难题，其中，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：. 4. 用配方法解方﹣6x+5＝0，配方后可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到方程右边，再方程两边同时加上9，即可求解． 【详解】解：-6x+5=0， -6x=-5， -6x+9=-5+9， =4， 故选：B． 【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． 5. 为考察甲、乙、丙、丁四个学生的学习情况，对这四名同学的四次测试成绩进行统计的平均数与方差为：，，， ，则成绩又高又稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：∵，， ∴乙，丁的平均成绩较高，甲，丁的成绩较稳定， ∴成绩又高又稳定的是丁， 故选：D． 【点睛】本题考查了平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6. 的两边是方程组的解，第三边长为整数，符合条件的三角形有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：， 由得③， 将③代入②得，， 解得， 将代入①得， 解得：， ∵的两边是方程组的解， ∴2＜第三边长＜6， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：3，4，5． ∴这样的三角形有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 7. 如图，直线、相交于点，射线平分，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据角平分线的概念求出，然后利用邻补角互补求解即可． 【详解】∵射线平分，若， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，邻补角互补，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键． 8. 已知点在轴上，点在轴上，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A、B所在位置求出m，n的值，即可判断点C所在是象限． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ，， 解得：，， 则点在第二象限． 故选：B． 【点睛】此题考查了根据点坐标求参数，根据点的坐标判断点所在的象限，正确掌握点的坐标与象限关系是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再求出的长，即可确定的长． 【详解】解：，， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理，可得， 解得或（舍去）， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理，得， 或（舍去）， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10. 如图，四边形ABCD内接于，DE是的直径，连接BD．若，则的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 32.5° D. 35° 【答案】B 【解析】 【分析】由圆内拉四边形性质求出∠A=60°，从而由圆周角定理得∠BOC=2∠A=120°，从而得∠BOE=180°-120°=60°，再由圆周角定理得∠BDE=∠BOE，即可求解． 【详解】解：如图，连接OB， ∵四边形ABCD内接于， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵ ∴∠A+2∠A=180°， ∴∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°， ∴∠BOE=180°-120°=60°， ∴∠BDE=∠BOE=30°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆内拉四边形性质，圆周角定理，熟练掌握圆内拉四边形性质、圆周角定理是解题的关键． 11. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ＝CM，再由勾股定理得BD＝5，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠CPM＝∠CQM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，， ∴∠CPM＝∠CQM＝∠BCD=90°， ∴四边形PCQM是矩形， ∴PQ＝CM， ∴当CM最小时，PQ最小， ∵点M在BD上运动， ∴当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴此时， ∴PQ的最小值为，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，抛物线与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①；②；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①②③，由直线经过点A可得k与b的数量关系，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，②正确． ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，①正确． 由图象可得当x＞2时，y随x增大而增大， ∴③错误． 将A（5，0）代入得， 解得， ∵b＜0， ∴k＞0， ∴点E（k，b）在第四象限，④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数图像的性质，函数图像与参数的关系，通过函数图像解不等式，函数图像与图像的关联，能够通过图像的性质列不等式是解题关键． 二．填空题（本题共计6小题，每题2分，共计12分） 13. 3的平方根是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：3的平方根是． 14. 分式的值为0，则x＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行解答即可；分式值为0，则分子=0，分母≠0． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴则2x﹣4＝0且x+5≠0， ∴x＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟练地掌握分式值为0，则分子=0，分母≠0是解题的关键． 15. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，点D到AB的距离DE=3cm，则AC等于________ cm． 【答案】9 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=CD=3cm，再由直角三角形的性质可得AD=2DE=6cm，即可求解． 【详解】解：∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=3cm， ∵∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∴AD=2DE=6cm， ∴AC=AD+CD=9cm． 故答案为：9 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理，直角三角形的性质是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转90°后的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图所示：AB即为线段BC绕点B顺时针旋转90°后得到线段， 则AB＝BC， 过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AD⊥y轴于D，则∠CEB＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， 而∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠CBD＝∠BAD， 在△CBE与△BAD中， ， ∴△CBE≌△BAD（AAS）， ∴BD＝CE，AD＝BE， ∵C（﹣2，3），B（0，2）， ∴CE＝2，OB＝2，OE＝3， ∴AD＝BE=3﹣2＝1，OD＝OB+BD＝2+2＝4． 则点A的坐标为：（1，4）． 故答案为：（1，4）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标． 18. 如图，在正方形中，．E、F分别为边、的中点，连接、，点N、M分别为、的中点，连接，则的长度为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，并延长交于点G，先通过证明得到，后，证明是的中位线，可得，在中利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接并延长交于点G，连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵E、F分别为边、的中点， ∴，． ∵M为的中点， ∴， 在和中， ． ∴． ∴，． ∴M为的中点， ∵N为的中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质与勾股定理的应用，难度较大，解答本题的关键是添加辅助线把归纳到三角形中，然后证明是三角形的中位线． 三．解答题（本大题共8个小题，共72分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据开平方运算、绝对值运算、开立方运算及值分别求解后再根据实数加减运算求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及到开平方运算、绝对值运算、开立方运算及值等知识点，熟练掌握相关运算法则及公式是解决问题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据平方差公式与单项式乘以单项式进行计算，然后将代入求值即可求解． 【详解】解：原式＝ 当时，原式 【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，代数式求值，正确的计算是解题的关键． 21. （1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． （2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图： ①连接OA； ②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B； ③在射线OB上截取BC＝OA； ④连接AC． 若AC＝3，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为． 【解析】 【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论； （2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长． 【详解】（1）证明：在△ABE和△ACD中 ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴AB＝AC； （2）解：连接AB，如图②， 由作法得OA＝OB＝AB＝BC， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝60°， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠BAC， ∵∠OBA＝∠C+∠BAC， ∴∠C＝∠BAC＝30° ∴∠OAC＝90°， 在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝． 即⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质． 22. 某社区随机抽取了部分家庭，调查他们每月用于“信息消费”的金额x(单位：元)，将数据分组如下：A．；B．；C．；D．；E．，并将数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为． 　 请根据以上信息，解答下列问题． （1）A组的频数是_____，本次调查的样本容量是_____； （2）补全频数分布直方图(需标明各组频数)； （3）所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有多少户？占所抽取家庭的百分之几？ 【答案】（1）2，50 （2）见解析 （3）有38户，占所抽取家庭的 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由B组的频数为10，且A，B两组户数在频数分布直方图中的高度比为可得A组频数；用A、B组频数和除以其所占百分比即可； （2）用总人数分别乘以C、D、E对应的百分比得出其人数，从而补全图形； （3）将C、D、E组人数相加得出不少于200元的户数，再将C、D、E组百分比相加得出其所占百分比即可． 【小问1详解】 解：由图知，组的频数为10，且，两组户数在频数分布直方图中的高度比为， 组的频数为2， 本次调查的样本容量为， 故答案为：2；50； 【小问2详解】 解：组频数为，组频数为，组频数为， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（户，， 答：所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少于200元的有38户，占所抽取家庭的． 23. 为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下： 甲：所有商品按原价8.5折出售； 乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 设需要购买体育用品的原价总额为元，去甲商店购买实付元，去乙商店购买实付元，其函数图象如图所示. （1）分别求，关于的函数关系式； （2）两图象交于点，求点坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算． 【答案】（1）y甲=0.85x；y乙与x的函数关系式为y乙= （2）（600，510） （3）当x＜600时，选择甲商店更合算；当x=600时，两家商店所需费用相同；当x＞600时，选择乙商店更合算． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式； （2）根据（1）的结论列方程组解答即可； （3）由点A的意义并结合图象解答即可． 【小问1详解】 由题意可得，y甲=0.85x； 乙商店：当0≤x≤300时，y乙与x的函数关系式为y乙=x； 当x＞300时，y乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90， 由上可得，y乙与x的函数关系式为y乙= 【小问2详解】 由，解得， 点A的坐标为（600，510）； 【小问3详解】 由点A的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元， 结合图象可知， 当x＜600时，选择甲商店更合算； 当x=600时，两家商店所需费用相同； 当x＞600时，选择乙商店更合算． 【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D． （1）求证：直线AB是⊙O的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC=AB，求出∠A=90°-∠B=60°，根据直角三角形的性质得出BD=AD=AB，求出AD=AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC=∠ACD=60°，求出∠ODC=∠DCO=30°，求出OD⊥AB，再根据切线的判定得出即可； （2）求出BD=AC=，BO=2DO，根据勾股定理得出BO2=OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO和扇形DOE的面积即可． 【小问1详解】 证明：连接OD，CD， ∵∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=AB，∠A=90°-∠B=60°， ∵D为AB的中点， ∴BD=AD=AB， ∴AD=AC， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠ADC=∠ACD=60°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCO=90°-60°=30°， ∵OD=OC， ∴∠ODC=∠DCO=30°， ∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=60°+30°=90°， 即OD⊥AB， ∵OD过圆心O， ∴直线AB是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：由（1）可知：AC=AD=BD=AB， 又∵AC=， ∴BD=AC=， ∵∠B=30°，∠BDO=∠ADO=90°， ∴∠BOD=60°，BO=2DO， 由勾股定理得：BO2=OD2+BD2， 即（2OD）2=OD2+（）2， 解得：OD=1（负数舍去）， 所以阴影部分的面积S=S△BDO-S扇形DOE=． 【点睛】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键． 25. 如图，直线交x轴于点B，交y轴于点A，抛物线经过点A，B，顶点为C． （1）求抛物线的表达式及点C的坐标． （2）将抛物线向下平移m个单位长度，点C的对应点为D，连接AD，BD．若，求m的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点的坐标，再代入抛物线解析式求出的值，进而得到抛物线表达式，最后将抛物线化为顶点式求出顶点的坐标； （2）先求出抛物线向下平移个单位后顶点的坐标，再找到直线与对称轴的交点，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可． 【小问1详解】 解：（1）直线交轴于点，交轴于点， ，． 将，代入，得： 解得， 抛物线的表达式为． ， ． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式为， 将该抛物线向下平移个单位长度得到， 平移后的抛物线的顶点为． 把代入，得， 直线AB与对称轴的交点为． ， ， 解得：或． 的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的解析式求解与图象平移，掌握利用待定系数法求二次函数解析式，结合函数平移规律和三角形面积公式解题是解题的关键． 26. 如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点F，G，H分别为，，的中点． （1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，的度数为 ； （2）探究证明 把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理； （3）拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）等边三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质综合运用；解（1）的关键是判断出，，解（2）的关键是判断出，解（3）的关键是判断出最大时，的面积最大． （1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，由三角形内角和定理得到，最后即可得出结论； （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，，，即可得出，同（1）的方法得到，即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【小问1详解】 解：点F，H分别是，的中点， ∴，， 点H、G是，的中点， ∴，， ∵，， ， ∴， ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： 由旋转知，， ∵，， ， ，， ∵点F，G，H分别为，，的中点． ∴，，，， ，，， ∴是等腰三角形， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解：由（2）知，是等边三角形，， 最大时，面积最大， 点在的延长线上时，最大，即最大， 此时如图，， ， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $