第二十五章一元二次方程 单元巩固测试卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册.

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元巩固测试卷，全面覆盖定义、解法、根的判别式及应用，梯度设计合理，融合文化传承（杨辉问题）与现实情境（赛事增长、利润计算），适配单元复习需求，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|定义、配方、根与系数关系|基础概念辨析，如第6题结合古代数学文化| |填空题|6/18|根的意义、判别式、自定义运算|第12题创新定义运算，第16题动点几何情境| |解答题|8/72|解法应用、实际问题、综合探究|第19题赛事增长（模型意识），第24题矩形动点面积（几何直观），第23题配方法迁移应用（推理能力）|

第二十五章一元二次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 3．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数关系列方程，求解得到的值． 【详解】解：∵ 原方程可变形为， 由平方差公式因式分解得 ， ∴ 方程的两个根为和， ∵ ，， ∴ ，，代入关系式得 ， 展开整理得 ， 因此的值为． 4．某地足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则列式，即可作答． 【详解】解：∵根据参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场，设共有个队参加比赛， ∴， 故选：D 5．若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 6．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 7．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是关键． 先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出、的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程， ∴移项得， 配方得，即， 与比较，得，， ∴， 故选：B． 8．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 9．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再对各选项变形计算，即可找出错误选项. 【详解】解：∵方程的两实根为、， ∴，； 对选项A：，A正确； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D不正确. 10．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 12．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 14．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 15．已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 【答案】 10 4或 【分析】（1）先利用直接开平方法求解方程求出，再分两种情况解答即可． （2）分两种情况并结合勾股定理计算解答即可. 【详解】解：（1）， 解得． ①当底边长和腰长分别为4和2时，，此时不能构成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，符合题意， 的周长为． （2）由（1）知，方程的两个根为． ①若2，4是的两条直角边的长，则， ②若2，4分别是Rt的一条直角边长和斜边长， 则另一条直角边长为， ． 的面积为4或． 16．如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 【答案】10或15或30 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，培养了学生的抽象思维能力，使学生学会用运动的观点来观察事物，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分两种情况进行讨论： （1）当第一只蚂蚁在上运动时，列方程进行求解即可； （2）当蚂蚁在上运动，根据三角形的面积公式即可列方程求解． 【详解】解： 设后两只蚂蚁与点组成的三角形面积为 有两种情况： （1）如图 1，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，． （2）如图 2，当第一只蚂蚁在上运动时，由题意得 ， 整理得， 解得，（舍去）． 综上所述，在后，两只蚂蚁与点组成的三角形的面积均为． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用配方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．先将方程整理为标准形式，第二题先将二次项系数化为1，再通过配方将方程化为完全平方等于常数的形式，最后用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解： 移项得 配方，方程两边同时加16得 整理得 开方得 解得，． （2）解： 移项得 二次项系数化为1得 配方，方程两边同时加得 整理得 解得． 18．解一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 ∴， （2）解： ，， ∴， （3）解： 或 ∴， 19．某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 【答案】 【详解】解：设参赛人数的年平均增长率为， 则， 解得：，（舍）， 答：参赛人数的年平均增长率为． 20．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】(1)原方程有两个实数根，理由见解析 (2) 【分析】（1）计算判别式，据此判断方程实数根个数； （2）利用因式分解法解原方程，可得出原方程的解为，，结合原方程有一个根不小于5，即可得出． 【详解】（1）原方程有两个实数根，理由如下： ∵ ∴原方程有两个实数根； （2）∵， ∴， 解得：，， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 21．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 22．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 23．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据已知得出，即可求解； （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为，得出，即可求解． 【详解】（1）解：（1）． ∵，， ∴． ∴的最小值是. （2）设垂直于墙的一边长为，则另一边长为， 根据题意，得． ∵，∴．∴． ∴当时，有最大值，最大值是． ∴围成的菜地的最大面积是． 24．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，解答本题的关键是找准等量关系，列出一元二次方程解决问题． （1）先求出，，再利用勾股定理建立方程解方程即可得到答案； （2）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，设运动时间为秒， ，， ， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； 故答案为：． （2）由题意得：， 的面积等于， ， ， ， 或（舍去）， 当时，使得的面积等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 3．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．某地足球联赛中，参赛的每两个队之间都需要进行一场比赛，共比赛了45场．设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 5．若是方程的两个根，则代数式的值为（    ）． A． B．2 C． D．6 6．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 7．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（） A．2028 B． C．2024 D． 8．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 9．若方程的两实根为，那么下列说法不正确的是（     ） A．B．C．D． 10．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知是一元二次方程的一个根，则___________． 12．对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 14．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 15．已知一元二次方程． （1）若方程的两个根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则的周长为_________． （2）若方程的两个根恰好是的两边长，则的面积为_________． 16．如图，是一条射线，，一只蚂蚁由点以的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点以的速度沿方向爬行，则经过________后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．用配方法解下列方程 (1) (2) 18．解一元二次方程： (1) (2) (3) 19．某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 20．关于x的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 21．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 22．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 23．阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ． ∵， ∴． ∴当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ． ∵， ∴． ∴． ∴当时，有最大值，最大值是-1． (1)【直接应用】若，试求的最小值； (2)【知识迁移】如图，学校打算用长的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 24．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．． (1)当_______时，的长度等于（直接填结果）； (2)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $