辽宁大连市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末考试高一数学试题双向细目表 题号 题型 知识点 考查能力 分值 简单 中等 较难 1 单选题 三角诱导公式化简求值 运算求解、理解 5 √ 2 单选题 复数除法运算、复数模长计算 运算求解 5 √ 3 单选题 空间直线与平面位置关系判定（线线、线面、面面平行垂直辨析） 概念辨析、逻辑推理 5 √ 4 单选题 平面向量数量积坐标运算、向量垂直条件求值 运算求解 5 √ 5 单选题 三角恒等变换公式化简求值 运算求解 5 √ 6 单选题 由三角函数周期图像求函数解析式（ω、φ求解） 图像分析、运算求解 5 √ 7 单选题 解三角形实际应用（仰角测量高度，正余弦定理建模） 数学建模、几何直观、运算求解 5 √ 8 单选题 四棱锥中点动点轨迹、线面平行判定、线段轨迹长度计算 空间想象、综合推理、运算求解 5 √ 9 多选题 三角恒等变换化简、特殊三角式求值 概念辨析、运算求解 6 √ 10 多选题 平面向量平行判定、坐标线性运算、投影向量、夹角为锐角限制条件 运算求解、逻辑推理 6 √ 11 多选题 正方体动点、线面平行、表面最短路径、三棱锥体积、多面体外接球表面积 几何直观、综合推理、运算求解 6 √ 12 填空题 任意角三角函数定义、三角恒等化简计算 运算求解 5 √ 13 填空题 三角函数图像平移变换、对称轴求参数 图像分析、运算求解 5 √ 14 填空题 正余弦定理边角互化、三角形代数式最值求解 综合运算、最值探究 5 √ 15 解答题 三角函数单调区间求解、三角不等式恒成立求参数范围 图像分析、综合运算、逻辑推理 13 √ 16 解答题 正方体中线面平行证明、截面交线作图、几何体体积分割比值计算 空间想象、逻辑证明、运算求解 15 √ 17 解答题 余弦定理求内角、三角形中线与面积计算、角平分线条件下面积最小值 运算求解、综合建模、最值探究 15 √ 18 解答题 直三棱柱线面平行证明、面面垂直证明、线面角正弦值计算 空间逻辑证明、几何运算、空间想象 17 √ 19 解答题 解三角形边角与面积计算、三角恒等式证明、三角形代数式最值探究 综合运算、逻辑证明、最值探究 17 √ 学科网（北京）股份有限公司 $大连市20252026学年度下学期期末考试 高一数学参考答案 题号 1 3 4 5 6 7 9 10 11 答案 A C D A A B B 0 ABD ABD BCD 1【答案】A 【详解】c0s600°=c0s(360°+240)=c03240°=c0s180°+60)=-c0s60°=- 2 2.【答案】C 【详解1：=多+2=55-（+53用-15+10--2+，测则日-2+-5 3+i 3+i（3+)(3-) 10 3.【答案】D 【详解】若nca&,mcB,a/1B,则nll或n,m异面，故A错误： 若m/1a,m⊥n,则n/a或n,a相交或nca,无法推出n⊥a,故B错误： 若mca,nCa,m/B,nllP,若，n相交，则a1B, 若m/n,则无法判断u/1B,故C错误； 若m/1a,ml/B,ax∩B=n,过直线m作平面Y,y∩a=a, m/1a,.m/1a,过直线m作平面6,6⌒B=b, :ml/B,..m/ib,..a//b,bcB,aB,..allB, :aca,a∩B=n,a//n,/In,故D正确 4.A 【详解】a+b=(2-l,4),若a+6与a垂直，则(a+)a=0, 即：-1×(2-1)+3×4=0，解得：1=13 5.【答案】A 【详解】因为tana=3=sinc 所以sin a=3cosa, cosa 因此2 sin a cos a= 2sinacosa 6cos-a 6-3 sin2a+cos2a 9cos2a+cos2a 10 5 6.【答案】B 【详解】根据函数图像可知A=2, 高一数学答案第1页（共8页） 周期7=（，所以， 所以y=2sin(2x+p), 将最高点坐标（B习代入可得 2=22p],所以+9-+2ez 解得p-受+2点ke2, 当k=0时，”=2亚， 3， 所以y=2sin2x+ 2π 3 7.【答案】B 【详解】设AB=x,由题意得AB⊥BC,AB⊥BD,而∠ACB=30°，∠ADB=45°， 得到BC=V3x,BD=x,在aBCD中，cs∠CBD=Y5 CD=100√2， 由余弦定理得 N5+x2-2V5x2×5=105,解得x=10,故B正确 8.【答案】D 【详解】如图，取棱PD的中点G,连接FG,EG. 因为F,G分别是棱AD,PD的中点，所以GFI‖PA. 因为PA⊥平面ABCD,所以GF⊥平面ABCD. 因为BDC平面ABCD,所以BD⊥GF, 由正方形的性质易证BD⊥EF. 因为GFC平面EFG,EFc平面EFG,EFOGF=F, 所以BD⊥平面EFG,则M∈平面EFG 因为M是侧面PCD内的一个动点，所以动点M的轨迹为线段EG. 因为PA=AB=BC=4,所以PC=4√3， 因为B,G分别是棱CD,PD的中点，所以BG=PC=2√5， 即动点M的轨迹长度是2√5. 9ABD 【详解】m15co159=0=子4正确： 高一数学答案第2页（共8页） 2m250-1=-c0s45°=-5，B正确： 2 1 c0s26°cos34°+sin26sin34=cos6°-34°）=cos（8°上cos8°≠三，C错误； 2 tan71°-tan26° =tan(71°-26°)=tan45°=1，D正确： 1+tan71tan26° 10.【答案】ABD 【详解】解：选项A,a⊥b,ab=0, 又：a=(2,3),b=(-4,x),.ab=-8+3x=0, 8 解得x=3A正确： 选项B,:3ā+b=(2,10),.3a+b=3(2,3)+(-4,x)=(2,9+x)=(2,10), .9+x=10,解得x=1,B正确： 选级c,:在6的按问读为语五。则 a56-5,所以 ab =1, 代入$标每产1，化简得2-3x+24=0,易知方程无解，C错员 选项D,:云与6夹角为锐角，∴a6=-8+3x>0,解得x> 8 若a与b共线，则2x-3×(4)=0,解得x=-6, 而当x>时，x取不到6，因此与6夹角为锐角时， re D正确. 3 11.【答案】BCD 【详解】对A:取BC中点G,连接EG、FG,由E为AD中点，则EGAB, D 又EG￠平面ABC,D,ABC平面ABCD,故EG∥平面ABCD, 由F为DD中点，则EFAD, F B 又EFt平面ABCD,AD1c平面ABCD,故EF/平面ABCD, D 又EF∩EG=E,EF、EGC平面EFG,则平面EFG∥平面ABCD, 则当点P在线段EG上时，由FPc平面EFG,可得FPI∥平面ABCD, 故存在点P,使得FP∥平面ABCD,故A错误； A B 对B:将平面ABB1A1与平面BB1C1C沿BB1展开，使其位于同一平面如下图： 高一数学答案第3页（共8页） 则从A到C1的最短距离为AC=√2+(2+2=2V5,故B正确： 对c:64-22x2-号放c正确： 对D:取A1A、B1B、CC中点M、N、Q,连接成四边形MWQF, 三棱锥F-ACD的外接球与长方体ABCD-MNQF的外接球相同， 故FB即为该外接球直径，故半径为P+2+23】 2 则外接球表面积为4π =9元，故D正确. D B 2 2 F 【详解】由题可得cosC= V22+(-12 5,所以 c0s2=2c0s2a-1=2× 13.【答案】 设 【详解】将函数y=3sim2x++P的图象向左平移后得到函数y=3sim 4 的图象，所以gx)=3sin 〔2x++pj 函数)=g()的图像关于直线x=牙对称，则2×石+匹+0=工+机k∈2， 12 1212 2 解得和+akz,又<所以k1,亦 12 14.【答案】3…2分 2W2 3 3分 【详解】在AABC中，由3a=bcosC-及余弦定理，得3a=b.。+b-c -c.4+c2-b2 2ab 2ac =+B-Cd+c2-6-c,因t-C=3: 2a 2a a COSA=b'+c-ab+c2b-c 3=+2c≥22c_22,当且仅当b=5c时取等号， 2bc 2be 3bc 3bc 3 所以cosA的最小值为2巨 3 高一数学答案第4页（共8页） 150=2am2-11-cm2g+-5m2x=sm2x-5c2x+13分 由2m+5≤2x-晋≤2版+3kez, 21 4分 解得机+Bs≤+是 πk∈Z, 12 故函数f(x)的单调递减区间为m+ 元，m+1n7 5π，k∈Z. 12 12 .6分 (2) 由≤x≤5得石2x-, 4 2 6 33 .7分 则分sm2x-3s1. 8分 所以2≤f(x)≤3 9分 由lf(x)-mk2得-2<f(x)<m+2在x∈ 4’2 上恒成立， -2<2 所以 m+2>3 11分 解得1<m<4,即m的取值范围是(1,4)： 13分 16.【详解】(1)在正方体ABCD-ABCD中，AB//AB,且AB=AB,AB,/1C1D且 AB=CD, 2分 AB11CD且AB=CD,所以，四边形ABCD为平行四边形， 所以BC/IAD. 4分 又'：BC1文平面ADE,ADC平面ADE, .BC/1平面ADE. 6分 (2)在正方形DCCD中，直线DE与直线DC相交. 延长DE,DC,交于点F,连接AF, :F∈DC,DCC平面ABCD,则F∈平面ABCD. :F∈DE,DEC平面ADE,.F∈平面ADE. ·平面ADEO平面ABCD=AF,则平面ADE和底面ABCD的交线为AF, 设BCOAF=G,则如图平面ADE和底面ABCD的交线为AG, 高一数学答案第5页（共8页） 连接GE,则GE为平面ADE和平面BCCB的交线 由E为CC的中点，得G为BC的中点，·EG1IADe出即可E ·9分 所以平面ADE将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE-DAD 解法一：设正方体ABCD-AB,CD的棱长为2. 71 -D地.caE{T血8 Sonx D- 3 12分 另一部分几何体的体积为2-？=17 33 两部分的体积比为7：17 15分 解法二：设正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，所以平面ADE将正方体分成两部分，其中 部分是三棱台CGB-DAD, 所以=a-风a+及a80+8四cm-月 12分 另一部分几何体的体积为2？=17 33 两部分的体积比为7：17. .15分 D A A B 17.(1)由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,又a2+b2-ab=c2, .1分 代入可得：20sC=1→c0sC= 2分 又ce(0,m,故c=亚 3 3分 (2)记BC边上的中线为AD,则AD=√7， 在△ADC中，由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cosC, 5分 化简可得：b2-2b-3=0,解得b=3或-1（舍）， 7分 所以5ABc=absinC=×4x3x9=3V3 9分 (3)设角C平分线交AB于E,CE=V, 高一数学答案第6页（共8页） 由SAABC=SAACE+SABCE得：absin号=bV3:sin君+3aV3:i11分 化简得ab=a+b, 12分 由基本不等式a+b≥2Vab得ab≥2Vab,解得：ab≥4，当且仅当a=b=2时等号成 立，故面积最小值 B Snm-×4x93 …15分 18.(1)法一：取BB1中点H,连接HG,HF, 1分 G G,H,F分别为B,C,BB和AB中点. .HG/BC,HF∥BA,:AB,I1AB,从而IFIAB, …2分 HG立平面ABC,HF丈平面ABC,BC￠平面ABC,AB￠平面ABC, .HG∥平面ABC,HF∥平面ABC,HGc平面HGF,HFc平面HGF, :HG与HF在平面HGF内且相交，平面HGF∥平面ABC, 4分 :GFc平面HGF..GF∥ABC .5分 法二：连接BA, …1分 B F为BA1中点F为BA中点，G为BC中.FG/CA,3分 ,CAC平面ABC,GF丈平面ABC,.FG/I平ABC. 5分 (2)在直棱柱ABC-ABC中，BB,⊥平面ABC, :ACC平面ABC,.BB,⊥AC, 6分 不纺设4=1，：4=AC-BC=5B,AC=2C=1,BV5. .CA2+CB2=AB2,AC⊥BC, 8分 又：BC与BB1在平面BCC1B1内且相交，.AC⊥平面BCBC, 9分 :ACc平面ACB,平面ACB⊥平面BCBC. ....11分 (3)连接MB,MB, …12分 :BB,⊥平面ABC,直线BM为直线BM在平面ABC内的射影， .∠BMB是B,M与平面ABC所成的角， 13分 高一数学答案第7页（共8页） 在aat,8w=-G-y-9 15分 BM=BB2+BM= 53 4-21 16分 故si∠RMB=BB=2 BM3· 17分 19.(1)c2=a2+b2-2abcosC,a=b 1分 B A a2+b+c2=4N5 k-absinC=25 bsinC,联立得 √3sinC+cosC=2 3分 则2snC+=2→mc+） G =1,因为0<C<元， 6 6 日c年2 B 66 4分 所以c+名分即c 3 .5分 (2) ad+b+c2-4√3s=d+b2+c2-2√3 absin C=2(a2+b2-abcosC-V3 ab sin C…7分 2aeaoaac-iaancj-2dp-oac-5nc-ti-anc+ 9分 当且仅当a=b时等号成立； 因为smc+s1,所以1-smc+月≥0. 6 6 10分 此时C-子，当且仅当△ABC是等边三角形时等号成立 则a2+b2+c2-4v3S≥0，即a2+b2+c2≥4V3S 11分 (3)因为 b cos B bsin B+asinC cos B b2+ac cosB b+acxatc?b 2ac 14分 asin C sin B asinC sin B absin C absinc 所以b cosB4323absinc-3 asin C sin B 2absin C 2absinC 2absinC 16分 当且仅当AABC是等边三角形时等号成立. .17分 高一数学答案第8页（共8页）大连市20252026学年度下学期期末考试 高一数学 考试时间：(120分钟满分：150分) 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项符合要求。 1.c0s600°=() B. 1 c.3 2 D.-3 2 2已知复数z= 3i-1 3+i +2(其中i为虚数单位)，则=() A.5 B.3 c.5 D. 3.设m、n表示两条不重合的直线，a、B表示两个不重合的平面，则下列说法正确 的是( A.若nCa,mCB,a∥B,则m/m B.若m/1a,m⊥n,则n⊥ C.若mca,nca,mB,nB,则a/Ip D.若m/1a,mB,a∩B=n,则mm 4.已知向量a=(-1,3),b=（元，1)，若a+b与a垂直，则=() A.13 C.11 D. 5.若tana=3,则2 sin a cosa=( 4 D. 4-5 6.某函数在一个周期内的图像，此函数的解析式可以是() A.y=2sin2x+ 3 B.y=2sin2x+ 2π 3 C.y=2sin 2x-3 π D.y=2sin 2x-3 7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同 一平面内的两个观测点C与D,现测得cos∠CBD= 3,cD=100W2 米，在点C处测得塔顶A的仰角为30°，在点D处测得塔顶A的仰角 为45°，则铁塔的高度为() ● A.80米 B.100米C.112米 D.120米 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为4的正方形，PA=4,E,F分别是棱CD,AD的中点，M 是侧面PCD内的一个动点，若BD⊥平面MEF,则动点M的轨迹长度 为() A.2V2 B.V3 C.2 D.2W3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列等式正确的是( A.sin15°cos15°= 4 B.2sim2.5°-1=-V2 2 C.cos26cos34+sin26sin349=1 tan71°-tan26° D. 1 1+tan71°tan26° 10.已知平面向量d=(2,3),6=(-4,x),下列说法正确的是() A若16，则x骨 B.若3a+6=(2,10),则x=1 8 C.若G在b上的投影向量为b,则x=5D.若d与b夹角为锐角，则x∈ 11.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F分别是AD, D DD,的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为 B ( ) D A.不存在点P,使得FP∥平面ABC,D, E B.蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点C,的最短距离为25 C.三棱锥G-ARP的体积为号 D.三棱锥F-ACD的外接球表面积为9π 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在平面直角坐标系xOy中，角的始边落在x轴正半轴上，点P(2,-1)在角a的终 边上，则cos2a= 13.将函数y=3sin 2x+子+<的图像向左平移后得到函数y=g约的图像。 且函数y=8(切的图像关于直线x=二对称，则」 12 14己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a=bcosC-c cosB,则 b2-c2 cosA的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f(x)=2sin2 +x B cos2x, (1)求函数f(x)的单调递减区间 (2)若不等式|f(x)-K2在x∈ 4’2 上恒成立，求实数m的取值范围 16.(15分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为CC的中点 D (1)求证：BC1∥平面ADE B (2)在图中作出平面ADE和底面ABCD的交线（作出即可） E 并求平面ADE将正方体分成两部分的体积之比 17.(15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-ab=c2. (1)求角C (2)若a=4,且BC边上的中线长为√7，求△ABC的面积 (3)若角C的平分线长为√3，求△ABC的面积的最小值 18(17分)如图，直三棱柱ABC-AB,C中，AA,=AC=BC=号AB, A C 若G,F分别是B,C,A,B的中点。 (1)求证：GF/平面ABC (2)求证：平面BCC1B⊥平面ACB B (3)设M是AC中点，求直线B,M与平面ABC所成角的正弦值 19.(17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S. (1)若a2+b2+c2-4v3S,a=b,求C (2)求证：a2+b2+c2≥4w3S (3)求b。+】的最小值 asin C tan B