精品解析：辽宁沈阳市第二中学2025-2026学年高一年级下学期期末数学试卷

沈阳二中2025—2026学年度下学期期末考试 高一（28届）数学试题 说明： 1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数对应的点位于第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】,所以复数的虚部为，A错误； ，B错误； 的共轭复数为，C正确； 复数对应的点为，位于第一象限，D错误. 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A,可能在平面内，可能平行于，A错误； 对于B,可能与相交，也可能平行，B错误； 对于C，与可能平行，可能异面，也可能相交，不一定垂直，C错误； 对于D，根据线面垂直的性质定理可知D正确. 3. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量与的夹角，再转化为线线角即可. 【详解】如图，由题意，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 不妨设，则， 则， 则， 又由两直线所成角的范围为， 则直线与所成的角为. 故选：C. 4. 如果是平面向量的一组基底，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】已知是一组基底，说明不共线，向量数量积公式：， 为两向量夹角， 充分性： 若是钝角，则，，又模长， 因此，充分性成立； 必要性： 若，则，； 当时两向量反向共线，此时不能作为基底 题目限定是基底，故不可能共线，即， 因此只能有（钝角），必要性成立, 综上，是充分必要条件. 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】因为 依题意得，， 则点到直线的距离为. 故选：A. 6. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】由题意可知：，，， 因为， 则 ， 所以． 故选：D. 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，对于下列判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的不存在 D. 若，则为等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据大边对大角，结合正弦定理判断A；利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理判断B；利用余弦定理求解三角形判断C；利用余弦定理化角为边，判断的形状，即可判断D. 【详解】由，得； 由正弦定理，得，所以A正确. 若，则由正弦定理得， 即，所以， 因为，所以为钝角，所以是钝角三角形，故B正确. 若，，， 则由余弦定理， 得， 所以. 因为， 所以方程无解，即符合条件的不存在，所以C正确. 若，则， 所以，即， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：作出单位圆，由面积大小关系得到，从而得到，再利用作差法，二倍角公式得到，从而得到答案；方法二：通过构造函数和，求导判断函数的单调性即可比较大小. 【详解】方法一：设，作出单位圆，与轴交于点，则， 过点作垂直于轴，交射线于点，连接，过点作⊥轴于点， 由三角函数定义可知，，， 设扇形的面积为，则，即， 故， 所以，即， 又，故，即， 由， 因为，所以，故， 综上可得，. 方法二：设函数，则， 因，可得，故，即函数在上单调递增， 故，即在上恒成立， 因，则，即，故； 再设函数，则， 令，则，即函数在上单调递增， 则，故函数在上单调递增， 则，故在上恒成立， 因，则，即. 综上可得. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换整理可得，即可求最小正周期，即可判断A；以为整体，结合正弦函数单调性判断B；代值检验，根据对称性的性质判断CD. 【详解】由， A：正弦函数的最小正周期，错误， B：当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 因此在区间上不单调，错误； C：当时，，而， 所以的图象关于对称，正确， D：的对称中心满足，得， 对称中心的纵坐标为，即对应的对称中心为，错误. 10. 在中，，，，点，分别满足，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题目条件得出，点为的中点；再根据向量的线性运算可判断选项A和B，根据向量模的计算方法及向量的数量积运算可判断选项C，根据向量的夹角公式及向量的数量积运算可判断选项D. 【详解】 因为在中，，，， 所以. 取的中点，连接. 因为点满足，， 所以，，即为的中点. 因为点满足， 所以为中点. 则在中，由三角形中位线的性质可得：. 又因为中，为的中点，， 所以点为的中点. 对于选项A：因为，故选项A错误； 对于选项B：由点为的中点，可得：，故选项B正确； 对于选项C：因为为中点， 所以， 则，故选项C正确； 对于选项D：因为在中，，，， 所以. 又因为， 所以 ，故选项D正确． 故选：BCD． 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. B. 若为直线上的动点，则为定值 C. 点A到平面的距离为 D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平行公理可判断A；由数量积的定义可判断B；由等体积法可判断C；由截面面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆可判断D. 【详解】于选项A：连结，，正方体中，，而M，N分别为棱，的中点，则，所以，故A正确； 对于选项B：设与的夹角为，由上图可知， 所以，故B正确； 对于选项C：连接，设点到平面的距离为，由得，又，则，所以，故C错误； 对于选项D：连接交于点，则是的中点. 正方体外接球球心是正方体对角线的中点，半径. 由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积最小的圆是以所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为. 易得.∴. 故截面圆半径. 此时截面圆面积为，故D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边过点，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以. 13. 在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 【答案】6 【解析】 【详解】设 ， 因为，， 则， 底边，， 在中，由余弦定理得， 即， 化简得，解得 或 ，即 或 ， 当，，， 由余弦定理得，此时，矛盾，故 舍去， 得 ，所以. 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 【答案】（1） 连接交于点，连接，， 因为为三棱台，，所以， 又为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． （2）根据棱台的体积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为， 设三棱台的高为，则， 所以． 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）当x∈时，的最大值为4，求a的值； （3）在（2）的条件下，求满足且的x的取值集合． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由函数，结合三角函数的图象与性质，即可求得函数的单调递增区间； （2）当时，取得最大值4，代入即可求解的值； （3）由，得到，结合，即可求解的取值集合. 【详解】（1）由题意，函数， 令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，可得， 所以当时，即时，取得最大值4， 即，解得. （3）由，可得， 则或， 解得或， 又因为，解得， 所以的取值集合为. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可； （2）根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得，利用正弦定理得，然后利用角的范围，结合正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 ， 即，而，， 解得，又，所以. 【小问2详解】 由及，余弦定理得， 又，解得， 由得， 即，则，所以. 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 则， 由正弦定理得， 即， 为锐角三角形， ，所以，所以， 所以，所以， 所以， 所以，即边上的中线的取值范围为． 18. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2） （3）存在，点为上靠近的四等分点 【解析】 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. 【小问3详解】 假设存在，易知平面的一个法向量为 因为，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 19. 如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. （1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； （2）如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； （3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 【答案】（1） （2） （3）证明:如图过射线上一点在面作交于点， AI 在面内作交于点，连接， 则是二面角的平面角， 在中，由余弦定理得：， 在中，由余弦定理得：， 两式相减得：， 则， 两边同除以，得： ， 从而得证. 【解析】 【分析】（1）法1：构建三角形，算出各边，根据余弦定理可得解；法2：依题意，将相关数据代入三面角余弦定理求得，再求出 （2）依题意证明平面，将和分别用表示，求出的表达式，借助于二次函数的最值即得体积最大值. （3）在射线上一点，分别作，，即得二面角的平面角，在和中，由余弦定理分别求出，消去，整理后利用直角三角形中三角函数定义即可推得结论. 【小问1详解】 法1：取的中点，连接，如图所示， 则，于是是二面角的平面角， 设，则， 由余弦定理得， 故 法2：利用三面角余弦定理，设二面角的平面角为，则有， 计算得，故 【小问2详解】 二面角的平面角的大小为，利用三面角余弦定理得 ，计算得， 于是. 由于，则. ， 即当时，三棱锥体积的最大值为 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳二中2025—2026学年度下学期期末考试 高一（28届）数学试题 说明： 1．测试时间：120分钟总分：150分 2．客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数的虚部是 B. C. 复数的共轭复数是 D. 复数对应的点位于第四象限 2. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则 3. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 4. 如果是平面向量的一组基底，则“与的夹角是钝角”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（　　） A. B. C. D. 6. 郑国渠是秦王嬴政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝.如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为，点分别在堤坝斜面与地面上，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，若，二面角的大小为，则（ ） A. 3 B. C. D. 6 7. 已知的内角，，所对的边分别为，，，对于下列判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是钝角三角形 C. 若，，，则符合条件的不存在 D. 若，则为等腰三角形 8. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，则对于下列结论，其中错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 10. 在中，，，，点，分别满足，，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. B. 若为直线上的动点，则为定值 C. 点A到平面的距离为 D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的终边过点，则__________． 13. 在中，在线段上，，，，，则线段的长是__________． 14. 如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 16. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）当x∈时，的最大值为4，求a的值； （3）在（2）的条件下，求满足且的x的取值集合． 17. 在中，内角的对边分别是，，． （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； （3）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 19. 如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：. （1）如图2，在三棱锥中，为等腰直角三角形，为等边三角形，，求二面角平面角的正弦值； （2）如图3，在三棱锥中，平面，连接，，求三棱锥体积的最大值； （3）当时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $