奥数培优 笔算乘法的算理与拓展（讲义）2026-2027学年四年级上册数学人教版

本讲义聚焦小学数学笔算乘法的算理与规范计算，系统梳理两位数乘两位数算理、三位数乘两位数笔算、末尾有0简便写法、格子乘法拓展、中间有0处理等核心考点，构建“算理理解-规范笔算-技巧拓展”的完整体系，为后续复杂乘法学习提供扎实支架。 资料以“算理本质+思维提升”为特色，通过知识体系表格梳理、解题方法口诀记忆等形式，结合错中求解推理、格子乘法与竖式联系等例题，培养学生运算能力与推理意识。分层精练适配不同水平，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题七 笔算乘法的算理与拓展 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：两位数乘两位数的竖式算理深度理解 3 考点二：三位数乘两位数的笔算 4 考点三：乘数末尾有 0 的简便写法 5 考点四：格子乘法与竖式乘法的联系 7 考点五：乘数中间有 0 的处理方法 8 第三部分 易错避坑指南 9 易错点 1：第二步乘积末尾对齐个位，数位对错 9 易错点 2：乘数末尾有 0，漏补 0 或多补 0 9 易错点 3：乘数中间有 0，直接跳过不乘 9 易错点 4：连续进位时，漏加进位数 9 易错点 5：格子乘法对角线相加，漏加进位 10 第四部分 分层进阶专题精练 11 一、基础夯实篇（8 题） 11 二、能力进阶篇（7 题） 11 三、思维跃迁篇（5 题） 12 第五部分 精准解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版四年级上册第四单元的计算核心培优内容，围绕笔算乘法的算理本质与规范计算展开，涵盖两位数乘两位数算理、三位数乘两位数笔算、末尾有 0 简便写法、格子乘法拓展、中间有 0 处理五大考点，建立“算理理解 - 规范笔算 - 技巧拓展”的完整计算体系，掌握位值对应、分步累加、错解反推等核心方法，提升笔算准确率与推理能力，为后续复杂乘法运算与简便计算学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 两位数乘两位数竖式算理 分步相乘累加的计算逻辑，乘法分配律的直观体现，位值原理的应用 分步相乘法、位值对应法 第二步乘积末尾对错数位；忘记累加进位数 三位数乘两位数笔算 通用笔算步骤，两次分层相乘再求和，连续进位处理 分层计算法、进位标记法 三位数十位相乘时数位对错；连续进位计算漏加进位数 乘数末尾有 0 的简便写法 先算非零部分再补 0，竖式错位对齐简化书写 先算后补法、错位对齐法 漏补末尾的 0；0 的总个数数错 格子乘法与竖式联系 铺地锦的计算规则，与竖式乘法的算理共通性 格点相乘法、对角线求和法 对角线相加漏进位；格子数位对应错误 乘数中间有 0 的处理 0 的占位作用，0 参与相乘的规则，进位叠加处理 零位占位法、分步验算法 跳过 0 不乘；忽略 0 位的进位叠加 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 分层笔算法 标准笔算乘法题 个位乘得第一积→十位乘得第二积→错位相加得结果 个位对齐个位，十位对齐十位，乘完再相加 简便写算法 末尾有 0 的乘法 非零数对齐相乘→数 0 总个数→积末尾补对应 0 末尾 0，先不算，算完再把 0 补上 格子计算法 格子乘法拓展题 画对应格子→填乘数数字→格内写乘积→对角线求和 铺地锦，斜着加，从低到高进位加 零位处理法 中间有 0 的乘法 0 位也要乘→有进位就加→无进位写 0 占位 中间有 0 别漏乘，有进位数要加上 错解推理法 笔算错中求解 找错误数位差→算对应积差→反推正确乘数 看错哪一位，差量对应算，反推原数字 三、奥数思维提升 1. 位值思想：每步乘积的数位意义 核心要点：笔算乘法中，用第二个乘数哪一位上的数去乘，得到的积就对应那一位的计数单位，所以积的末尾要和那一位对齐。理解每一步的位值含义，才能真正掌握算理，而非机械记忆步骤。 示例：计算 123×24 时，用十位的 2 去乘 123，得到的 246 实际代表 246 个十，也就是 2460，因此末尾必须和十位对齐，最后相加时数位才会对应正确。这就是位值原理在笔算中的直接体现。 2. 转化思想：多位数乘法的拆分简化 核心要点：三位数乘两位数可以转化成“三位数乘一位数 + 三位数乘整十数”，再把两个积相加。把复杂的新知转化为已经掌握的旧知，降低学习难度，是转化思想在计算中的典型应用。 示例：计算 145×12，拆成 145×2 和 145×10，分别算出 290 和 1450，再相加得到 1740。不用学习全新的计算规则，只用已有的乘法和加法知识就能解决新问题。 3. 建模思想：笔算乘法的通用模型 核心要点：无论是两位数乘两位数，还是三位数乘两位数，笔算的核心模型完全统一：用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数，用哪一位乘，积的末尾就和那一位对齐，最后把所有积相加。掌握通用模型，可迁移到更多位数的乘法计算。 示例：两位数乘两位数分两步乘再相加，三位数乘两位数也是两步乘再相加，只是第一个乘数位数增加。未来学习三位数乘三位数，也只是多一步相乘，核心计算模型保持不变。 4. 推理思想：错中求解的反向推导 核心要点：已知笔算时看错了某个数位的数字，得到了错误的积，通过分析错误带来的差量，反向推导出正确的乘数，再计算出正确结果。这是逆向推理思想在计算中的重要应用。 示例：小明做三位数乘两位数时，把两位数个位的 3 看成了 5，结果积多了 46。多出来的 46 就是 2 乘三位数得到的，由此反推出三位数是 23，再代入原式就能算出正确的积。 5. 优化思想：简便写法的效率提升 核心要点：对于末尾有 0 的乘法，不用按普通竖式逐位相乘，可以把 0 前面的数对齐，先算非零部分，再补 0，简化计算步骤，减少计算量，提升计算效率与准确率，体现优化思想。 示例：计算 250×30，普通竖式需要三步计算，简便写法只需要先算 25×3=75，再添 2 个 0 得到 7500，计算更简洁，还能降低出错概率。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：两位数乘两位数的竖式算理深度理解 典型例题 1（基础型）—— 标准笔算计算 题目：列竖式计算：13×24 思路点拨： ① 先用第二个乘数个位的 4 去乘 13，得 52，积的末尾和个位对齐； ② 再用第二个乘数十位的 2 去乘 13，得 26，代表 26 个十，积的末尾和十位对齐； ③ 把两次乘得的积相加：52+260=312。 【答案】 【知识点睛】第二步乘积的末尾要和十位对齐，因为它对应的计数单位是“十”。 典型例题 2（提高型）—— 算理本质辨析 题目：竖式计算 26×15 时，第二步计算的是 26×10 吗？为什么这一步的末尾要和十位对齐？ 思路点拨： ① 第二步是用十位上的 1 去乘 26，十位的 1 代表 1 个十，因此实际计算的就是 26×10； ② 得到的结果是 260，末尾的 0 在十位上，所以积的末尾要和十位对齐； ③ 这是由位值原理决定的，不同数位上的数字代表的计数单位不同。 【答案】是的，因为十位的 1 代表 1 个十，结果是 26 个十，所以末尾对齐十位 【知识点睛】理解算理的核心，是明白每一步计算对应的计数单位。 典型例题 3（奥数型）—— 错中求解推理 题目：小红做两位数乘两位数时，把其中一个乘数 12 的个位 2 看成了 5，结果比正确的积多了 33。正确的积是多少？ 思路点拨： ① 个位 2 看成 5，多算了 3，也就是多算了 3 个另一个乘数，对应积多了 33； ② 另一个乘数：； ③ 正确的积：。 【答案】 【知识点睛】看错个位数字，积的差量等于个位数字差乘另一个乘数，由此可反推未知乘数。 考点二：三位数乘两位数的笔算 典型例题 1（基础型）—— 标准笔算步骤 题目：列竖式计算：145×12 思路点拨： ① 先用 12 个位上的 2 乘 145，得 290，积的末尾对齐个位； ② 再用 12 十位上的 1 乘 145，得 145，代表 145 个十，积的末尾对齐十位； ③ 把两次的积相加：。 【答案】 【知识点睛】三位数乘两位数分两步乘，第二行积的末尾必须和十位对齐，再错位相加。 典型例题 2（提高型）—— 连续进位笔算 题目：计算：286×35 思路点拨： ① 用 5 乘 286：5×6=30 写 0 进 3，5×8=40+3=43 写 3 进 4，5×2=10+4=14，得 1430； ② 用 3 乘 286，得 858，代表 858 个十，积的末尾对齐十位； ③ 错位相加：。 【答案】 【知识点睛】遇到连续进位时，每一步都要标记进位数字，避免漏加进位导致计算错误。 典型例题 3（奥数型）—— 数位差量推算 题目：一个三位数乘 24，小马虎把三位数的百位数字 3 看成了 5，结果算出来的积比正确答案多多少？ 思路点拨： ① 百位 3 看成 5，相当于三位数增加了 200； ② 另一个乘数不变，积的增加量就是 200 乘 24； ③ 计算得：。 【答案】多 4800 【知识点睛】哪个数位看错，先算出该数位的数值差，再乘另一个乘数，就是积的总差量。 考点三：乘数末尾有 0 的简便写法 典型例题 1（基础型）—— 基础简便计算 题目：用简便写法计算：160×30 思路点拨： ① 把 0 前面的数对齐，先算非零部分：； ② 数两个乘数末尾 0 的总数：1+1=2 个； ③ 在 48 后面添上 2 个 0，得到 4800。 【答案】 【知识点睛】末尾有 0 的乘法，先算 0 前面的数，再补对应个数的 0，竖式书写更简便。 典型例题 2（提高型）—— 含内生 0 的计算 题目：计算：250×40 思路点拨： ① 简便对齐后，先算非零部分：； ② 两个乘数末尾共有 2 个 0，在 100 后面再添 2 个 0； ③ 最终结果为 10000。 【答案】 【知识点睛】非零部分相乘也可能产生 0，最终积末尾 0 的个数，是内生 0 加原有末尾 0 的总和。 典型例题 3（奥数型）—— 填数推理 题目：在□里填合适的数字： 思路点拨： ① 先去掉两个乘数末尾的 0，转化为两位数乘一位数：； ② 枚举符合条件的组合：12×6=72、18×4=72、24×3=72、36×2=72、72×1=72； ③ 任选一组补 0 即可，例如。 【答案】示例：120×60=7200（答案不唯一） 【知识点睛】末尾有 0 的填数题，先统一去掉末尾的 0，转化为普通乘法再推导，最后补 0 验证。 考点四：格子乘法与竖式乘法的联系 典型例题 1（基础型）—— 基础格子乘法计算 题目：用格子乘法计算：12×34 思路点拨： ① 画 2×2 的格子，上方依次写 1、2，右侧从上到下写 3、4； ② 每个格子填对应数字的乘积，十位写左上，个位写右下：1×3=03，2×3=06，1×4=04，2×4=08； ③ 从右下到左上沿对角线相加：个位 8，十位 0+0+4=4，百位 0+3+0=3，结果为 408。 【答案】 【知识点睛】格子乘法又叫铺地锦，沿对角线从低位到高位依次相加，满十向前一位进一。 典型例题 2（提高型）—— 算理对比分析 题目：格子乘法和竖式乘法有什么相同点？ 思路点拨：① 算理本质相同：都是把两个乘数拆分成不同数位的数字，分别相乘，再把所有乘积相加；② 理论依据相同：都基于位值原理和乘法分配律； ③ 只是书写呈现形式不同，底层的计算逻辑完全一致。 【答案】算理和依据都相同，都是分步相乘再求和，只是呈现形式不同 【知识点睛】格子乘法是竖式乘法的另一种表现形式，核心计算逻辑完全相通。 典型例题 3（奥数型）—— 三位数格子乘法 题目：用格子乘法计算：123×12 思路点拨： ① 画 3×2 的格子，上方依次写 1、2、3，右侧从上到下写 1、2； ② 逐个格子填乘积：第一行 1×1=01、2×1=02、3×1=03；第二行 1×2=02、2×2=04、3×2=06； ③ 对角线从低到高相加：个位 6，十位 3+4=7，百位 2+2+0=4，千位 1+0=1，结果为 1476。 【答案】 【知识点睛】多位数格子乘法规则统一，位数对应格子数，都沿对角线求和进位。 考点五：乘数中间有 0 的处理方法 典型例题 1（基础型）—— 标准计算 题目：计算：105×23 思路点拨： ① 用 3 乘 105：3×5=15 写 5 进 1，3×0=0+1=1，3×1=3，得 315； ② 用 2 乘 105，得 210，代表 210 个十，积的末尾对齐十位； ③ 错位相加：。 【答案】 【知识点睛】乘数中间的 0 必须参与相乘，不能跳过；有进位要加上进位，没进位就写 0 占位。 典型例题 2（提高型）—— 规则辨析 题目：计算 208×15 时，十位的 0 乘 15 这一步可以省略吗？为什么？ 思路点拨： ① 不可以省略； ② 0 乘任何数都得 0，但它起到数位占位的作用，能保证后续乘积的数位对齐正确； ③ 如果省略这一步，会导致后续乘积的数位对错，最终结果出错。 【答案】不可以，0 起到占位作用，保证数位对齐正确 【知识点睛】中间的 0 计算后数值是 0，但占位作用很重要，不能直接跳过不写。 典型例题 3（奥数型）—— 规律辨析 题目：三位数乘两位数，乘数中间有 0，积的中间也一定有 0 吗？举例说明。 思路点拨： ① 不一定有 0； ② 举例：，乘数 105 中间有 0，但积的中间没有 0； ③ 原因是个位相乘产生的进位会加到 0 所在的数位上，改变该数位的数字。 【答案】不一定，例如 105×13=1365，积中间没有 0 【知识点睛】乘数中间有 0 不代表积中间一定有 0，进位会改变中间数位的数值。 第三部分 易错避坑指南 易错点 1：第二步乘积末尾对齐个位，数位对错 错误示例：计算 12×34 时，第二步 12×3 的结果 36 末尾对齐个位，相加后结果错误。 正确分析：第二步是用十位上的数去乘，得到的是多少个十，积的末尾必须和十位对齐。 修正方法：牢记“用哪一位乘，积的末尾就和哪一位对齐”，乘完先对齐数位再相加。 易错点 2：乘数末尾有 0，漏补 0 或多补 0 错误示例：计算 150×20，先算 15×2=30，只补 1 个 0 得 300，漏补一个 0。 正确分析：两个乘数末尾一共有几个 0，就要在积的末尾补几个 0，两个乘数共 2 个 0，应补 2 个，结果是 3000。 修正方法：计算前先圈出两个乘数末尾的 0，数清楚总个数，算完非零部分后对应补全。 易错点 3：乘数中间有 0，直接跳过不乘 错误示例：计算 103×24 时，十位的 0 不乘，直接用 2 乘百位和个位，导致数位错乱。 正确分析：中间的 0 也要参与乘法运算，0 乘任何数都得 0，还要加上低位的进位，不能直接跳过。 修正方法：按数位从右到左依次相乘，遇到 0 也正常计算，有进位加进位，没进位就写 0 占位。 易错点 4：连续进位时，漏加进位数 错误示例：多位数乘法计算中，某一位相乘满几十进位，计算前一位时忘记加上进位的数。 正确分析：每一位相乘后，都要加上后一位进来的进位，再写本位数字、记录新的进位。 修正方法：笔算时用小数字标记进位，计算每一位时先加进位，再计算本位乘积。 易错点 5：格子乘法对角线相加，漏加进位 错误示例：格子乘法沿对角线相加时，满十不向前一位进位，直接写和，导致高位结果错误。 正确分析：沿对角线从低位到高位相加，满十要向前一条对角线进 1，和竖式加法的进位规则一致。 修正方法：从最右下的对角线开始计算，每一条算完标记进位，加到前一条对角线的和里。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8 题） 1. 两位数乘两位数，第二步的积的末尾要和__________位对齐。 2. 计算 132×24 时，先用____________去乘 132，再用__________去乘 132，最后把两次的积相加。 3. 计算 250×40，可以先算____________×____________=____________，再在积的末尾添__________个 0。 4. 乘数中间有 0 时，0__________参与乘法计算。（填“需要”或“不需要”） 5. 判断：三位数乘两位数，积一定是五位数。（ ） 6. 格子乘法也叫____________，和竖式乘法的算理____________。 7. 计算 106×30，简便写法先算 106×3=____________，再添__________个 0。 8. 最大的两位数与最小的三位数相乘，积是____________。 二、能力进阶篇（7 题） 9. 列竖式计算：236×18 10. 用简便方法计算：320×25 11. 计算：209×17 12. 用格子乘法计算：25×14 13. 小明做笔算乘法时，把乘数 16 看成了 19，结果积多了 36，正确的积是多少？ 14. 判断：两个乘数末尾一共有 2 个 0，积的末尾一定只有 2 个 0。（ ） 15. 简述三位数乘两位数的笔算步骤。 三、思维跃迁篇（5 题） 16. 用简便方法计算：125×32×25 17. 小马虎做三位数乘两位数时，把两位数 21 的个位和十位写反了，得到的积比正确结果少了 1170，正确的积是多少？ 18. 用格子乘法计算：124×13 19. 要使□23×32 的积是四位数，□里最大填几？ 20. 计算：，并说说用到了什么运算思想。 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】十 思路点拨： ① 第二步用十位上的数去乘，结果代表多少个十，因此末尾对齐十位。 【知识点睛】笔算乘法的数位对齐规则。 2. 【答案】；（或 2 个十） 思路点拨： ① 三位数乘两位数，分别用第二个乘数的个位和十位去乘第一个乘数。 【知识点睛】三位数乘两位数的分步计算逻辑。 3. 【答案】；；； 思路点拨： ① 先算非零部分 25×4=100； ② 两个乘数末尾共 2 个 0，再添 2 个 0。 【知识点睛】末尾有 0 乘法的简便计算规则。 4. 【答案】需要 思路点拨： ① 0 有占位作用，必须参与计算，不能跳过。 【知识点睛】乘数中间有 0 的处理规则。 5. 【答案】 思路点拨： ① 例如 100×10=1000，积是四位数，因此不一定是五位数。 【知识点睛】三位数乘两位数的积的位数范围。 6. 【答案】铺地锦；相同（相通） 思路点拨： ① 格子乘法古称铺地锦，与竖式乘法算理一致，都是分步相乘再求和。 【知识点睛】格子乘法的基本认知。 7. 【答案】； 思路点拨： ① 先算 106×3=318，乘数末尾有 1 个 0，再添 1 个 0。 【知识点睛】几百零几乘整十数的简便计算。 8. 【答案】 思路点拨： ① 最大两位数是 99，最小三位数是 100； ② 乘积：99×100=9900。 【知识点睛】特殊数字的乘法计算。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】 思路点拨： ① 个位 8 乘 236 得 1888； ② 十位 1 乘 236 得 236，末尾对齐十位； ③ 相加：1888+2360=4248。 【知识点睛】标准三位数乘两位数笔算。 10. 【答案】 思路点拨： ① 简便写法先算 32×25，把 32 拆成 8×4，； ② 补上 320 末尾的 1 个 0，得 8000；或直接。 【知识点睛】末尾有 0 乘法的凑整巧算。 11. 【答案】 思路点拨： ① 个位 7 乘 209 得 1463； ② 十位 1 乘 209 得 209，末尾对齐十位； ③ 相加：1463+2090=3553。 【知识点睛】乘数中间有 0 的笔算。 12. 【答案】 思路点拨： ① 画 2×2 格子，填数计算对角线和； ② 最终结果为 350。 【知识点睛】基础格子乘法计算。 13. 【答案】 思路点拨： ① 乘数多算了 19-16=3，积多 36； ② 另一个乘数：36÷3=12； ③ 正确积：12×16=192。 【知识点睛】错中求解的差量推理。 14. 【答案】 思路点拨： ① 例如 250×40，乘数末尾共 2 个 0，但积是 10000，末尾有 4 个 0； ② 非零部分相乘也可能产生 0，因此积末尾 0 的个数不少于乘数末尾 0 的总数。 【知识点睛】积末尾 0 的个数判断。 15. 【答案】① 先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末尾和个位对齐；② 再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末尾和十位对齐；③ 最后把两次乘得的积加起来。 思路点拨： ① 按照分层相乘、错位相加的标准步骤描述即可。 【知识点睛】三位数乘两位数的笔算步骤总结。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】 思路点拨： ① 把 32 拆成 8×4； ② 原式 =(125×8)×(4×25)=1000×100=100000。 【知识点睛】乘法结合律凑整的高阶巧算。 17. 【答案】 思路点拨： ① 21 写反变成 12，乘数减少了 21-12=9； ② 积少了 1170，三位数：1170÷9=130； ③ 正确的积：130×21=2730。 【知识点睛】数位写反的错中求解。 18. 【答案】 思路点拨： ① 画 3×2 格子，依次计算每个格子的乘积； ② 沿对角线相加进位，最终得 1612。 【知识点睛】三位数乘两位数的格子乘法。 19. 【答案】最大填 2 思路点拨： ① 填 3 时，323×32=10336，是五位数； ② 填 2 时，223×32=7136，是四位数； ③ 因此最大填 2。 【知识点睛】乘积位数的估算与验证。 20. 【答案】9999，用到了转化思想与乘法分配律 思路点拨： ① 利用平方差思路转化：； ② 计算得 10000-1=9999； ③ 将复杂乘法转化为简单乘法与减法，体现转化思想。 【知识点睛】乘法巧算中的转化思想应用。 1 学科网（北京）股份有限公司 $