暑假预习：匀速物体追变速物体问题、变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题 讲义-2026年初升高暑假物理人教版第一册

暑假预习：匀速物体追变速物体问题、变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题讲义 暑假预习：匀速物体追变速物体问题、变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题讲义 考点目录 匀速物体追变速物体问题 变速物体追匀速物体问题 变速物体追变速物体问题 考点一 匀速物体追变速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：后车匀速 ，前车匀变速（匀加速/匀减速） 1. 分两类情景 （1）前车匀加速： 前车速度不断变大；一开始 ，距离缩小；当 时相距最近；若此时没追上，之后前车速度更大，距离越来越大，永远追不上。 （2）前车匀减速： 前车速度持续减小，后车匀速速度不变，两者差距持续缩小，大概率能追上；需注意前车可能提前停下，不能全程用匀减速公式。 1. 关键公式 后车位移： 前车位移： 追上条件： 二、解题原理 1. 前车匀加速：先求共速时间 ，算出此时两者位移；若 ，追不上；反之能追上。 1. 前车匀减速：先算前车停车总时间，判断追上时刻前车是否已停止；若提前停，前车位移只用总刹车位移计算。 1. 求相距最远/最近：只在 处计算间距。 1. 图像辅助：匀速为水平直线，倾斜线为变速，交点为共速时刻，面积差为间距。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，A、B两辆自动驾驶测试车，在相邻平直车道上向右做匀速直线运动，A车在B车的后方，A车的速度，B车的速度。当A、B两车沿运动方向上相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，刹车过程可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此刻开始计时，求： (1)B车在6 s内的位移大小； (2)A车追上B车所用的时间； (3)A车追上B车前，两车之间最大距离。 【答案】(1)25m (2)7.5s (3)24m 【详解】（1）B车刹车停止运动所用时间为 B车在内的位移大小 （2）B车在5s末停止运动时A车通过的位移为 则有 可见A车是在B车停止后才追上；则A车追上B车所用的时间为 （3）设经过时间，两者相距的距离最大，此时A、B两车速度相等，则有             解得 则两者相距的最大距离为 解得 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）如图为“渝超”比赛中西大附中老师代表北碚进球后庆祝瞬间。比赛中运动员将足球以的初速度踢出后，立即以的速度做匀速直线运动追赶足球。足球被踢出后以的加速度做减速运动。已知该运动员与足球运动轨迹共线，足球全程不出界。 (1)求追赶过程中他与球的最远距离。 (2)通过计算判断该运动员能否在足球停止前追上足球？如果能，求追上的时间；如果不能，求足球停止时人与球距离。 【答案】(1)1m (2)能，2s 【详解】（1）当足球与队员速度相等时，由 解得 此时足球运动 队员运动 二者相距最远距离为 （2）此后足球减速为0时 解得 足球的位移 对队员 故队员在足球停止运动前追上足球，由 解得 例3．（25-26高二下·山东青岛·期中）智能手机通过星闪连接进行数据交换，配对过的两手机之间距离小于某一值时可正常通讯，一旦超过该值时，星闪信号便会立即中断。如右图所示，甲、乙两位同学在两个平行的直跑道进行测试，跑道间距离d=6m，已知星闪设备在10m以内时能够实现通信。t=0时刻，甲、乙两人刚好位于图示位置，此时甲同学的速度为8m/s，乙同学的速度为2m/s。从该时刻起甲同学以2m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下，乙同学保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，求： (1)甲、乙两人并排前的最大距离是多少？ (2)甲、乙两人能利用星闪通信的时间是多少？ 【答案】(1) (2)10s 【详解】（1）设运动时间为，由匀变速直线运动位移与时间的关系，得甲的位移 乙的位移 沿跑道方向的距离差 甲初始速度大于乙，距离差逐渐增大，当两者速度相等时，达到最大，此后甲速度小于乙，距离差减小，直到并排。由匀变速直线运动速度与时间的关系，令 代入数据解得 此时最大距离差 两人的直线距离为 （2）星闪能通信的条件是两人距离，即 代入，解得 由匀变速直线运动速度与时间的关系，甲匀减速到停止的时间 由匀变速直线运动速度与位移的关系，停止后甲位移保持 在时间内，有 令，解得满足条件的范围为 时长 时，，不满足通信条件。在时间内，甲停止运动，有 令，解得满足条件的范围为 时长 总通信时间 【变式训练】 变式1．（2026·云南玉溪·模拟预测）甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持8m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=16m处作了标记，并以v=8m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。求： (1)此次练习中乙在接棒前的加速度a； (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。 【答案】(1)2m/s2 (2) 【详解】（1）设经过时间t，甲追上乙，则根据题意有 代入数据解得t=4s 又因为 解得a=2 m/s2 （2）在追上乙的时候，乙走的距离为，则有 代入数据得到S=16m 所以乙离接力区末端的距离为 变式2．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）甲、乙两小车在同一地点同时开始，往相同方向做直线运动的v-t图像如图所示（甲小车速度减为0后不再运动），求： (1)甲车在0~4s内的加速度大小； (2)甲、乙两小车相遇时离出发点的距离为多少； (3)在乙追上甲之前，甲、乙两车的最远距离为多少？ 【答案】(1)1m/s2 (2)32m (3)10m 【详解】（1）根据v-t图像的斜率表示加速度可知，甲车在0~4s内的加速度大小为 （2）由图可知，甲停止运动时位移为 甲停止运动时乙的位移为 由此可知，甲停止运动后才与乙车相遇，所以甲、乙两小车相遇时离出发点距离为32m； （3）由图可知，在乙追上甲之前，当t=5s时，甲、乙两车速度相等，此时甲、乙两车相距最远，根据图像与横轴围成的面积表示位移可知，甲车的位移为 乙车的位移为 则甲、乙两车的最远距离为 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）如图所示，甲、乙两辆汽车在平直公路上两条平行跑道上行驶，乙车在甲车前方100m处做匀速直线运动，速度大小为v2=30m/s。此时甲车的速度为v1=10m/s，做加速度大小为a1=2m/s2的匀加速直线运动。甲、乙车上安装有信号发射与接收装置，当甲乙两车距离超过L=175m时，甲、乙车不能接收到彼此的通讯信号。求：（只考虑沿运动方向的距离且两辆汽车均可视为质点→以下结果均可保留根式） (1)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少? (2)在第（1）问条件下，当甲乙两车距离最大时，甲车开始匀速运动，乙车立即刹车，刹车阶段加速度大小为a2=3m/s2，则还需要经过多长时间甲车追上乙车? 【答案】(1)200m (2) 【详解】（1）当甲车速度增大到与乙车速度相等时，两车距离最大，由速度关系 解得 由匀变速直线运动位移与时间的关系，此过程中甲的位移 乙的位移 初始乙在甲前方，因此最大距离： （2）距离最大后，甲车匀速，速度 乙车匀减速刹车，由匀变速直线运动速度与时间的关系，得乙车刹车到停止的时间 由匀变速直线运动速度与位移的关系，得乙刹车过程位移 时间内甲车位移 时间内甲比乙多走的距离 说明乙停止时甲还未追上，剩余距离 剩余距离由甲匀速走完，所需时间 因此总追及时间 考点二 变速物体追匀速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：后车匀加速/匀减速，前车保持匀速 1. 高频经典：后车匀加速追匀速（考试重点） 后车初速度小于前车，不断加速： 初始 ，距离拉大；共速时相距最远；之后 ，距离缩小，一定能追上，且只相遇一次。 1. 特殊：后车匀减速追匀速 后车速度持续变小，若共速时仍未追上，之后后车更慢，永远追不上。 1. 位移表达式 后车： 前车： 二、解题原理 1. 匀加速追匀速： 共速是相距最远的临界点；直接联立位移方程一定有解，存在追上时刻。 1. 匀减速追匀速： 求出共速时刻位移，若此时后车位移不足，则全程追不上；同时要验算后车是否提前停下。 1. 求最大距离：必须取速度相等时刻计算，其余时刻间距都更小。 1. 多解判断：此类模型最多追上一次，无两次相遇情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）大雾天气严重影响交通安全。汽车A在能见度较低的大雾天气以的速度匀速行驶，某时刻A车司机发现正前方有汽车B正在以速度沿同方向匀速运动。为避免两车发生事故，A车司机采取刹车措施，已知A车司机刹车的反应时间为，刹车后汽车匀减速前进，加速度大小为。若两车刚好未相碰，求A车司机发现B车时两车的距离为多少。 【答案】 【详解】汽车A在反应时间内匀速运动的位移 设A刹车后经过时间t两车速度相等，根据速度与时间关系式有 在时间t内A、B的运动位移， 则 解得 例2．（25-26高二下·安徽六安·期末）某次新能源无人智驾汽车测试中，汽车A（待测无人智驾汽车）与汽车B从同一起点沿平直道路开始同向行驶。汽车A以大小v1=10m/s的速度匀速行驶；汽车B由静止开始以大小a1=2m/s2的加速度匀加速行驶，匀加速行驶时间t1=6s后开始匀速行驶。智驾系统设定：两车的间距小于d=16m时报警，超出则停止报警。当智驾系统开始第二次报警时，汽车A的智驾系统触发紧急制动，汽车A立即做变减速行驶，2s后改做匀减速行驶，从开始制动计时，变减速行驶的加速度大小随时间t变化的规律为a=kt，其中k=3m/s3，根据微元思想，当物体的速度v随时间t变化的规律为二次函数时，其位移随时间t变化的规律为。两车均视为质点。求： (1)智驾系统刚停止第一次报警时，汽车A到起点的距离s0； (2)智驾系统从刚停止第一次报警到开始第二次报警所用的时间∆t； (3)汽车A在紧急制动（变减速）阶段行驶的距离xA。 【答案】(1)20m (2)8s (3)16m 【详解】（1）假设在汽车匀加速行驶的阶段，智驾系统已停止第一次报警，设两车出发后经过时间智驾系统刚停止第一次报警，根据位移关系有 代入数据解得或 因为，所以舍去，假设成立，汽车的位移为 代入数据解得 （2）出发后经过时间，两车间的距离为 代入数据解得 因为，所以在汽车刚开始匀速行驶时，智驾系统尚未第二次报警，汽车匀速行驶的速度大小为 代入数据解得 设两车出发后经过时间智驾系统开始第二次报警，此时汽车在汽车前方，根据位移关系有 代入数据解得 智驾系统从刚停止第一次报警到开始第二次报警所用的时间为 代入数据解得 （3）汽车在紧急制动阶段的加速度随时间线性变化，其运动的图像与时间轴围成的面积表示汽车速度的变化量，从汽车紧急制动起在时间（）内，汽车的速度变化量大小为 从汽车开始紧急制动计时，汽车的速度随时间变化的规律为 根据微元思想并结合题干中给出的规律，从汽车开始紧急制动计时，在制动时间内，汽车行驶的距离为 代入数据解得 例3．（2026·四川泸州·一模）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以10m/s和18m/s的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长，货车车身长，某时货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为2m/s2，假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度，求： (1)甲车超车之前与货车的最大距离； (2)甲车完成超车至少需要多长时间； 【答案】(1)23m (2)10s 【详解】（1）当甲车加速到与货车速度相等时，两者距离达到最大。此前甲车速度小于货车，距离持续增大，此后甲车速度大于货车，距离开始减小。 设经过时间两者速度相等，由速度关系： 解得 此过程中两车位移分别为 甲车位移： 货车位移： 初始时货车在甲车前 因此最大距离： （2）甲车完成超车的条件是：甲车整个车身完全超过货车，位移满足关系： 代入匀变速、匀速位移公式： 解得 即甲车完成超车至少需要 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东广州·期中）A、B两列火车在同一直轨道上同向行驶，A在前，速度为vA=36km/h，B车在后速度vB=108km/h，因大雾能见度低，B车在距A车d=175m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过900mB车才能停止。问： (1)B车刹车的加速度大小多大？ (2)A车若仍按原速前进，两车是否会相撞？B车开始刹车计时，若会相撞，B车将在何时何地发生？若不会相撞，求出两车相距最近距离？ (3)B车在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号2s后加速前进，求A车的加速度多大时，才能避免事故发生。（不计信号传输时间，最后结果可用分式表示） 【答案】(1) (2)会相撞，刹车后10s、距B车刹车初始位置275m处相撞 (3) 【详解】（1）B车刹车做匀减速直线运动，末速度为0，由匀变速速度-位移公式有 将、代入解得 （2）临界条件为两车共速，设共速所需时间为t，则 将代入解得 此过程B的位移为 A的位移为 由于 则两车会相撞，设经时间，两车相撞，则有 解得或（舍去）， （3）前2s内，B车的位移为 A车位移为 2s末两车间距 2s末B速度 设2s后经两车共速，此时刚好不相撞，满足， 联立解得 变式2．（25-26高一上·广东汕头·期中）强行超车是道路交通安全的极大隐患，图为车辆行驶过程中在平直道路上变道超车的情景。A车以vA=20m/s的速度行驶，B车以vB=15m/s的速度在A车前方同向匀速行驶，当两车相距d=84m时，A车准备借用对向车道超越B车，此时对向车道与A车相距L=200m处有另一汽车C正以vC=20m/s迎面驶来。A车加速和刹车的加速度aA大小均为4m/s2，道路限速vm=32m/s，不考虑变道的时间、车速变化和位移的侧向变化，不考虑车长，以A车开始借道超车的时刻作为计时起点。 (1)若A车一开始选择加速超越B车： ①A车超越B车需要多长时间； ②C车在tC=1s时发现A车，为了避免发生碰撞，C车立即刹车，已知C车刹车的加速度aC介于1~6m/s2，通过计算说明A车能否完成超车； (2)若A车一开始选择放弃超车，为避免与B车相撞，立即刹车，同时鸣笛发出信号提醒B车加速，B车经过tB=0.5s的反应时间后，立即以aB=2m/s2的加速度加速： ①B车加速后经过多长时间与A车速度相等； ②通过计算说明A车是否与B车追尾。 【答案】(1)①；②见解析 (2)①；②见解析 【详解】（1）①A车做匀加速直线运动到最大速度，根据速度时间公式有 解得 根据速度位移公式有 解得A车做匀加速直线运动的位移为 A车做匀速直线运动的位移为 B车做匀速直线运动的位移为 追上时，根据位移关系有 解得 故A车超越B车需要多长时间 ②C车做匀速直线运动的位移为 C车以最大的加速度，即做减速，根据速度位移公式有 解得 又A车超车全过程所需要的距离为 无法完成超车 （2）①设B车经时间，与A车共速，B车做匀加速直线运动，根据速度时间公式有 A车做匀减速直线运动，根据速度时间公式有 解得， ②B车做匀速直线运动的位移为 B车做匀加速直线运动的位移为 A车做匀减速直线运动的位移为 联立解得两车位移差 不会追尾 变式3．（25-26高一上·湖北随州·期末）一摩托车由静止开始以的加速度追赶距离它为，以速度匀速行驶的汽车，已知摩托车的最大速度为，达到最大速度后做匀速运动，求： (1)摩托车需要多长时间追上前方的汽车； (2)摩托车追赶汽车的过程中，二者之间的最大距离是多少？ (3)当摩托车距离汽车某一距离时，前方汽车智能驾驶系统发现有摩托车追赶后，立刻启动智能加速系统，系统启动后汽车的加速度随位移变化的关系可简化为如图所示的图线，图中段为加速系统的启动阶段，从位置开始，汽车做匀加速直线运动直至位置时速度达到停止加速并保持匀速行驶。已知，，求此次汽车加速过程中汽车的总位移。 【答案】(1)34s (2)290m (3)260m 【详解】（1）摩托车做匀加速直线运动直至最大速度的过程中，用时 前进的位移为 设再经过时间可以追上汽车， 则有 解得 摩托车追上前方的汽车所用的时间为 （2）摩托车追赶汽车的过程中，当二者的速度相等时距离最大，此时所用时间为 则有，得 此时二者之间的距离为 代入数据，可求得 （3）将汽车在段的运动分成很多个（若干个）小段，则每一小段的运动近似可看作匀加速直线运动，设汽车运动到处时速度大小为v，则 等式右边表示段图像与横轴围成的面积的2倍，解得 汽车做匀加速直线运动直至速度达到过程中 解得 考点三 变速物体追变速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：前后两车都做匀变速直线运动（匀加追匀加、匀加追匀减、匀减追匀加） 1. 临界不变： 仍是间距极值点。 1. 位移方程联立后为标准一元二次方程： · 整理： 判别式 · ：两个时间点，能追上两次； · ：共速时恰好追上，只相遇一次； · ：无实数解，全程追不上。 1. 陷阱：存在车辆减速到 0 静止，分段讨论，不能全程套用匀变速公式。 二、解题原理 1. 第一步分别写出两车速度、位移表达式； 1. 联立追上位移关系，整理一元二次方程，用判别式快速判断能否追上、相遇几次； 1. 求最大/最小间距：令 解出时间，代入位移求间距； 1. 校验车辆停止情况：若算出的相遇时间大于某车停车时间，分段计算该车总位移再比较； 1. 区分加速度正负：加速 ，减速 ，列式统一正方向避免符号混乱。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江·期末）在一条足够长的平直公路上，A、B、C三车（可视为质点）同向行驶，A车最前，B车中间，C车最后。初始时刻间距为35 m，间距为45 m。A车：以10 m/s匀速行驶；B车：以20 m/s匀速行驶；C车：以30 m/s匀速行驶，则： (1)A因故在时刻以的加速度做匀减速运动，经过1 s反应时间后B开始匀减速运动，求B的加速度至少为多少才能保证A、B二车不相撞（不考虑C车影响）； (2)在（1）的条件下，C经过2 s反应时间后开始以10m/s²的加速度匀减速运动，求C运动过程中与B最近距离； (3)若时刻A以的加速度做匀加速运动，B在时开始以的加速度做匀加速运动，C在时开始以的加速度做匀加速运动，相对距离为，相对距离为，求从到任意两车相遇过程中的最值。 【答案】(1) (2) (3)最大值，最小值 【详解】（1）A停下时，， 则末位置与初位置间距 第内，运动，剩余距离 B加速度为，则至少有解得 经检验A速度大小始终小于B，故过程中不会相撞 （2）据可知：时BC二车同时速度为0，且此前一直速度大于，故二车停下时距离最近 第内，BC相对运动 根据可得再经后B停止运动 C在第2 s内，运动 根据可得再经过后C停止运动 故最近距离 （3）以B初始位置为原点，且可得经过三者重合，则有，， 相对距离为，相对距离为 当时，单调递增 当时，单调递增 当时，单调递增 综上，当有最小值 当有最大值 例2．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前区间的速度不超过。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为的加速度匀减速刹车。 (1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章； (2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前处的速度恰好为，乙车司机在发现甲车刹车时经的反应时间后开始以大小为的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 【答案】(1)100m (2)66m 【详解】（1）对甲车速度由减速至的位移为 又 即甲车司机需在离收费站窗口至少处开始刹车 （2）乙车在收费站窗口前区不超速且二者不相撞的临界条件是二者速度都减到时，乙车刚好追上甲车 乙车从开始以减速至的位移为 代入数据解得 所以要满足条件甲、乙的距离为 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）羚羊从静止开始奔跑，以大小的加速度做匀加速直线运动，经过距离能加速到最大速度，并能维持很长时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度，然后做加速度大小为的匀减速直线运动。假定羚羊和猎豹均沿同一直线向相同方向运动，求： (1)羚羊的最大速度； (2)猎豹加速时的加速度大小； (3)若猎豹与羚羊距离时开始攻击，羚羊在猎豹攻击后经反应才开始奔跑，请通过运算说明猎豹能否追上羚羊。 【答案】(1) (2) (3)能追上 【详解】（1）羚羊做匀加速直线运动，根据速度位移公式 代入数据解得 （2）猎豹加速过程，根据速度位移公式 代入数据解得 （3）猎豹加速时间 位移 猎豹匀速运动时间，位移 羚羊加速时间 位移 当猎豹匀速运动结束时，总时间 此时猎豹总位移 羚羊运动时间 其中加速，匀速，总位移 此时两者距离 猎豹未追上。此后猎豹做匀减速运动，羚羊做匀速运动。猎豹速度，距离继续缩小。设再经过时间追上，有 整理得 解得（另一解不符合题意） 此时猎豹速度 说明猎豹在减速阶段追上羚羊。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）如图所示，甲、乙两车在平直公路上同向行驶，乙车在甲车前方时，甲车正在做匀加速直线运动，初速度为，加速度大小为；同时乙正在做匀加速直线运动，初速度为，加速度大小为。根据以上信息求： (1)在甲车追上乙车之前，经过多长时间，甲、乙两车之间相距最远？ (2)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少？ 【答案】(1)6s (2)90m 【详解】（1）根据题意可知，在甲车追上乙车之前，当两车速度相等时两车之间相距最远，设经过的时间为，则有 代入数据解得 （2）6s内甲车的位移为 乙车的位移为 故在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为 变式2．（25-26高一上·江西吉安·期末）如图所示，某学校人工智能社团活动中，两位同学遥控甲、乙两架无人机进行模拟竞逐，两架无人机初始位置高度相同，前后相距。现甲无人机向前追乙无人机，两无人机同时同向直线运动。如果甲无人机以初速度，加速度向前匀加速，乙无人机同时从静止开始以的加速度匀加速直线运动。 (1)请通过计算分析，甲无人机能不能追上乙无人机？ (2)为避免相撞，甲无人机从开始立刻做匀减速直线运动的最小加速度为多大？ 【答案】(1)能追上 (2) 【详解】（1）由分析可知开始两者间距减小，两者速度相等时相距最近，设经时间t₁速度相等，则对甲 对乙 又，解得 则 此过程甲位移 解得 乙位移 解得 由于 故甲能追上乙。 （2）设甲至少以加速度a₃匀减速恰好与乙没有相撞，则分析可知速度相等时两者恰好在同一位置，设此过程经历时间t₂，则 此过程甲位移 乙位移 又 联立上式可得， 为避免相撞加速度大小至少为 变式3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）甲、乙两辆无人快递车沿同一直线同向行驶，t=0时，甲车在乙车前方x0=20m处以初速度v甲=10m/s、加速度大小a甲=2m/s2做匀减速直线运动，乙车由静止开始以加速度大小a乙=3m/s2做匀加速直线运动。求： (1)甲、乙两车速度相等的时刻t； (2)乙车追上甲车前，两车之间的最大距离∆xm； (3)乙车从开始运动到追上甲车所用的时间t′。 【答案】(1)2s (2)30m (3) 【详解】（1）根据速度时间关系可得，甲车速度为 乙车速度为 速度相等时，即 解得 （2）当两车速度相等时，距离最大，由位移公式可得， 两车之间的最大距离为 联立可得 （3）设甲车经时间t0停下来，由速度公式可得 甲车运动的位移 乙车运动的位移 由于 故乙车追上甲车时，甲车已静止不动，设乙车经过时间t′追上甲车，由位移公式可得 联立可得 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：匀速物体追变速物体问题、变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题讲义 暑假预习：匀速物体追变速物体问题、变速物体追匀速物体问题、变速物体追变速物体问题讲义 考点目录 匀速物体追变速物体问题 变速物体追匀速物体问题 变速物体追变速物体问题 考点一 匀速物体追变速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：后车匀速 ，前车匀变速（匀加速/匀减速） 1. 分两类情景 （1）前车匀加速： 前车速度不断变大；一开始 ，距离缩小；当 时相距最近；若此时没追上，之后前车速度更大，距离越来越大，永远追不上。 （2）前车匀减速： 前车速度持续减小，后车匀速速度不变，两者差距持续缩小，大概率能追上；需注意前车可能提前停下，不能全程用匀减速公式。 1. 关键公式 后车位移： 前车位移： 追上条件： 二、解题原理 1. 前车匀加速：先求共速时间 ，算出此时两者位移；若 ，追不上；反之能追上。 1. 前车匀减速：先算前车停车总时间，判断追上时刻前车是否已停止；若提前停，前车位移只用总刹车位移计算。 1. 求相距最远/最近：只在 处计算间距。 1. 图像辅助：匀速为水平直线，倾斜线为变速，交点为共速时刻，面积差为间距。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，A、B两辆自动驾驶测试车，在相邻平直车道上向右做匀速直线运动，A车在B车的后方，A车的速度，B车的速度。当A、B两车沿运动方向上相距时，B车因前方突发情况紧急刹车，刹车过程可视为匀减速直线运动，加速度大小为，从此刻开始计时，求： (1)B车在6 s内的位移大小； (2)A车追上B车所用的时间； (3)A车追上B车前，两车之间最大距离。 例2．（25-26高二下·重庆·阶段检测）如图为“渝超”比赛中西大附中老师代表北碚进球后庆祝瞬间。比赛中运动员将足球以的初速度踢出后，立即以的速度做匀速直线运动追赶足球。足球被踢出后以的加速度做减速运动。已知该运动员与足球运动轨迹共线，足球全程不出界。 (1)求追赶过程中他与球的最远距离。 (2)通过计算判断该运动员能否在足球停止前追上足球？如果能，求追上的时间；如果不能，求足球停止时人与球距离。 例3．（25-26高二下·山东青岛·期中）智能手机通过星闪连接进行数据交换，配对过的两手机之间距离小于某一值时可正常通讯，一旦超过该值时，星闪信号便会立即中断。如右图所示，甲、乙两位同学在两个平行的直跑道进行测试，跑道间距离d=6m，已知星闪设备在10m以内时能够实现通信。t=0时刻，甲、乙两人刚好位于图示位置，此时甲同学的速度为8m/s，乙同学的速度为2m/s。从该时刻起甲同学以2m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停下，乙同学保持原有速度做匀速直线运动。忽略信号传递时间，求： (1)甲、乙两人并排前的最大距离是多少？ (2)甲、乙两人能利用星闪通信的时间是多少？ 【变式训练】 变式1．（2026·云南玉溪·模拟预测）甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持8m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=16m处作了标记，并以v=8m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为L=20m。求： (1)此次练习中乙在接棒前的加速度a； (2)在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。 变式2．（25-26高一下·山东临沂·阶段检测）甲、乙两小车在同一地点同时开始，往相同方向做直线运动的v-t图像如图所示（甲小车速度减为0后不再运动），求： (1)甲车在0~4s内的加速度大小； (2)甲、乙两小车相遇时离出发点的距离为多少； (3)在乙追上甲之前，甲、乙两车的最远距离为多少？ 变式3．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）如图所示，甲、乙两辆汽车在平直公路上两条平行跑道上行驶，乙车在甲车前方100m处做匀速直线运动，速度大小为v2=30m/s。此时甲车的速度为v1=10m/s，做加速度大小为a1=2m/s2的匀加速直线运动。甲、乙车上安装有信号发射与接收装置，当甲乙两车距离超过L=175m时，甲、乙车不能接收到彼此的通讯信号。求：（只考虑沿运动方向的距离且两辆汽车均可视为质点→以下结果均可保留根式） (1)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少? (2)在第（1）问条件下，当甲乙两车距离最大时，甲车开始匀速运动，乙车立即刹车，刹车阶段加速度大小为a2=3m/s2，则还需要经过多长时间甲车追上乙车? 考点二 变速物体追匀速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：后车匀加速/匀减速，前车保持匀速 1. 高频经典：后车匀加速追匀速（考试重点） 后车初速度小于前车，不断加速： 初始 ，距离拉大；共速时相距最远；之后 ，距离缩小，一定能追上，且只相遇一次。 1. 特殊：后车匀减速追匀速 后车速度持续变小，若共速时仍未追上，之后后车更慢，永远追不上。 1. 位移表达式 后车： 前车： 二、解题原理 1. 匀加速追匀速： 共速是相距最远的临界点；直接联立位移方程一定有解，存在追上时刻。 1. 匀减速追匀速： 求出共速时刻位移，若此时后车位移不足，则全程追不上；同时要验算后车是否提前停下。 1. 求最大距离：必须取速度相等时刻计算，其余时刻间距都更小。 1. 多解判断：此类模型最多追上一次，无两次相遇情况。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）大雾天气严重影响交通安全。汽车A在能见度较低的大雾天气以的速度匀速行驶，某时刻A车司机发现正前方有汽车B正在以速度沿同方向匀速运动。为避免两车发生事故，A车司机采取刹车措施，已知A车司机刹车的反应时间为，刹车后汽车匀减速前进，加速度大小为。若两车刚好未相碰，求A车司机发现B车时两车的距离为多少。 例2．（25-26高二下·安徽六安·期末）某次新能源无人智驾汽车测试中，汽车A（待测无人智驾汽车）与汽车B从同一起点沿平直道路开始同向行驶。汽车A以大小v1=10m/s的速度匀速行驶；汽车B由静止开始以大小a1=2m/s2的加速度匀加速行驶，匀加速行驶时间t1=6s后开始匀速行驶。智驾系统设定：两车的间距小于d=16m时报警，超出则停止报警。当智驾系统开始第二次报警时，汽车A的智驾系统触发紧急制动，汽车A立即做变减速行驶，2s后改做匀减速行驶，从开始制动计时，变减速行驶的加速度大小随时间t变化的规律为a=kt，其中k=3m/s3，根据微元思想，当物体的速度v随时间t变化的规律为二次函数时，其位移随时间t变化的规律为。两车均视为质点。求： (1)智驾系统刚停止第一次报警时，汽车A到起点的距离s0； (2)智驾系统从刚停止第一次报警到开始第二次报警所用的时间∆t； (3)汽车A在紧急制动（变减速）阶段行驶的距离xA。 例3．（2026·四川泸州·一模）强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以10m/s和18m/s的速度在路面上匀速行驶，其中甲车车身长，货车车身长，某时货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为2m/s2，假定货车速度保持不变，不计车辆变道的时间及车辆的宽度，求： (1)甲车超车之前与货车的最大距离； (2)甲车完成超车至少需要多长时间； 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·广东广州·期中）A、B两列火车在同一直轨道上同向行驶，A在前，速度为vA=36km/h，B车在后速度vB=108km/h，因大雾能见度低，B车在距A车d=175m时，才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但要经过900mB车才能停止。问： (1)B车刹车的加速度大小多大？ (2)A车若仍按原速前进，两车是否会相撞？B车开始刹车计时，若会相撞，B车将在何时何地发生？若不会相撞，求出两车相距最近距离？ (3)B车在刹车的同时发出信号，A车司机在收到信号2s后加速前进，求A车的加速度多大时，才能避免事故发生。（不计信号传输时间，最后结果可用分式表示） 变式2．（25-26高一上·广东汕头·期中）强行超车是道路交通安全的极大隐患，图为车辆行驶过程中在平直道路上变道超车的情景。A车以vA=20m/s的速度行驶，B车以vB=15m/s的速度在A车前方同向匀速行驶，当两车相距d=84m时，A车准备借用对向车道超越B车，此时对向车道与A车相距L=200m处有另一汽车C正以vC=20m/s迎面驶来。A车加速和刹车的加速度aA大小均为4m/s2，道路限速vm=32m/s，不考虑变道的时间、车速变化和位移的侧向变化，不考虑车长，以A车开始借道超车的时刻作为计时起点。 (1)若A车一开始选择加速超越B车： ①A车超越B车需要多长时间； ②C车在tC=1s时发现A车，为了避免发生碰撞，C车立即刹车，已知C车刹车的加速度aC介于1~6m/s2，通过计算说明A车能否完成超车； (2)若A车一开始选择放弃超车，为避免与B车相撞，立即刹车，同时鸣笛发出信号提醒B车加速，B车经过tB=0.5s的反应时间后，立即以aB=2m/s2的加速度加速： ①B车加速后经过多长时间与A车速度相等； ②通过计算说明A车是否与B车追尾。 变式3．（25-26高一上·湖北随州·期末）一摩托车由静止开始以的加速度追赶距离它为，以速度匀速行驶的汽车，已知摩托车的最大速度为，达到最大速度后做匀速运动，求： (1)摩托车需要多长时间追上前方的汽车； (2)摩托车追赶汽车的过程中，二者之间的最大距离是多少？ (3)当摩托车距离汽车某一距离时，前方汽车智能驾驶系统发现有摩托车追赶后，立刻启动智能加速系统，系统启动后汽车的加速度随位移变化的关系可简化为如图所示的图线，图中段为加速系统的启动阶段，从位置开始，汽车做匀加速直线运动直至位置时速度达到停止加速并保持匀速行驶。已知，，求此次汽车加速过程中汽车的总位移。 考点三 变速物体追变速物体问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型：前后两车都做匀变速直线运动（匀加追匀加、匀加追匀减、匀减追匀加） 1. 临界不变： 仍是间距极值点。 1. 位移方程联立后为标准一元二次方程： · 整理： 判别式 · ：两个时间点，能追上两次； · ：共速时恰好追上，只相遇一次； · ：无实数解，全程追不上。 1. 陷阱：存在车辆减速到 0 静止，分段讨论，不能全程套用匀变速公式。 二、解题原理 1. 第一步分别写出两车速度、位移表达式； 1. 联立追上位移关系，整理一元二次方程，用判别式快速判断能否追上、相遇几次； 1. 求最大/最小间距：令 解出时间，代入位移求间距； 1. 校验车辆停止情况：若算出的相遇时间大于某车停车时间，分段计算该车总位移再比较； 1. 区分加速度正负：加速 ，减速 ，列式统一正方向避免符号混乱。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·黑龙江·期末）在一条足够长的平直公路上，A、B、C三车（可视为质点）同向行驶，A车最前，B车中间，C车最后。初始时刻间距为35 m，间距为45 m。A车：以10 m/s匀速行驶；B车：以20 m/s匀速行驶；C车：以30 m/s匀速行驶，则： (1)A因故在时刻以的加速度做匀减速运动，经过1 s反应时间后B开始匀减速运动，求B的加速度至少为多少才能保证A、B二车不相撞（不考虑C车影响）； (2)在（1）的条件下，C经过2 s反应时间后开始以10m/s²的加速度匀减速运动，求C运动过程中与B最近距离； (3)若时刻A以的加速度做匀加速运动，B在时开始以的加速度做匀加速运动，C在时开始以的加速度做匀加速运动，相对距离为，相对距离为，求从到任意两车相遇过程中的最值。 例2．（25-26高一上·湖南长沙·学业考试模拟）春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前区间的速度不超过。现有甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为的加速度匀减速刹车。 (1)甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章； (2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前处的速度恰好为，乙车司机在发现甲车刹车时经的反应时间后开始以大小为的加速度匀减速刹车。为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前区不超速，则在甲车司机开始刹车时，甲、乙两车至少相距多远？ 例3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）羚羊从静止开始奔跑，以大小的加速度做匀加速直线运动，经过距离能加速到最大速度，并能维持很长时间。猎豹从静止开始奔跑，经过的距离能加速到最大速度，以后只能维持这个速度，然后做加速度大小为的匀减速直线运动。假定羚羊和猎豹均沿同一直线向相同方向运动，求： (1)羚羊的最大速度； (2)猎豹加速时的加速度大小； (3)若猎豹与羚羊距离时开始攻击，羚羊在猎豹攻击后经反应才开始奔跑，请通过运算说明猎豹能否追上羚羊。 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·河南安阳·阶段检测）如图所示，甲、乙两车在平直公路上同向行驶，乙车在甲车前方时，甲车正在做匀加速直线运动，初速度为，加速度大小为；同时乙正在做匀加速直线运动，初速度为，加速度大小为。根据以上信息求： (1)在甲车追上乙车之前，经过多长时间，甲、乙两车之间相距最远？ (2)在甲车追上乙车之前，甲、乙两车之间的最大距离为多少？ 变式2．（25-26高一上·江西吉安·期末）如图所示，某学校人工智能社团活动中，两位同学遥控甲、乙两架无人机进行模拟竞逐，两架无人机初始位置高度相同，前后相距。现甲无人机向前追乙无人机，两无人机同时同向直线运动。如果甲无人机以初速度，加速度向前匀加速，乙无人机同时从静止开始以的加速度匀加速直线运动。 (1)请通过计算分析，甲无人机能不能追上乙无人机？ (2)为避免相撞，甲无人机从开始立刻做匀减速直线运动的最小加速度为多大？ 变式3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）甲、乙两辆无人快递车沿同一直线同向行驶，t=0时，甲车在乙车前方x0=20m处以初速度v甲=10m/s、加速度大小a甲=2m/s2做匀减速直线运动，乙车由静止开始以加速度大小a乙=3m/s2做匀加速直线运动。求： (1)甲、乙两车速度相等的时刻t； (2)乙车追上甲车前，两车之间的最大距离∆xm； (3)乙车从开始运动到追上甲车所用的时间t′。 2 学科网（北京）股份有限公司 $