甘肃兰州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

西北师大附中 2025—2026学年第二学期期末考试试题 高二数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的充要条件 C．命题“，使得”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 3．掷红、蓝两个均匀的骰子，设事件：蓝色骰子的点数是5或6；事件：两骰子的点数之和大于8，则（ ） A． B． C． D． 4．在一次对人体脂肪含量和年龄的关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制成如图所示的人体脂肪含量与年龄的关系的散点图．下列结论正确的是（ ） A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20% 5．已知三棱柱中，，，，是的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列结论错误的是（ ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为0.2 D．相关系数 7．已知奇函数在上单调递增，且是可导函数，．若，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 8．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关．现有，两个盒子，各装有1个黑球和1个红球，现从，两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为．则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知，，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 10．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 11．设函数，则下列结论正确的是（ ） A．至少有一个零点 B．若的图象过点的切线恰好有2条，则 C．若，则有两个零点 D．若是的极值点，且存在（）使得，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．设随机变量，若，则的值为________． 13．已知平面的一个法向量为，且点在平面内，则点到的距离为________． 14．若曲线：与曲线：（）存在2条公共切线，则的值是________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题13分）为了普及安全教育，某学校随机抽取男生、女生各100名进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得知，该校有85%的同学成绩超过90分，具体情况如表格： 单位：人 性别 了解安全知识的程度 得分不超过90分 得分超过90分 男生 10 女生 （1）求，，； （2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关？ 附：，． （） 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（本小题15分）某课外实验小组通过实验统计了某种子的发芽率与土壤的湿度的相关数据如表． 40 45 50 55 60 50 56 64 72 83 （1）求关于的样本相关系数（精确到0.001），并判断它们是否具有较强的线性相关关系； （2）求关于的经验回归方程，并预测当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率的值．参考公式及数据：对于一组数据，经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，样本相关系数，，，，． 17．（本小题15分）如图，是块矩形硬纸板，其中，为中点，将它沿折成直二面角． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 18．（本小题17分）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响． （1）求甲考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值； （2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力． 19．（本小题17分）牛顿迭代法（又称牛顿切线法）是求方程近似根的重要方法．对于方程，若可导，从一个初始近似值出发，构造迭代公式在，，1，2，…适当条件下，随着的增大，会越来越接近于方程的根．已知函数，区间．满足上述迭代公式且初值，．（参考数据：，，，，） （1）证明：方程在区间内有唯一实根； （2）证明：； （3）对，记．证明：数列单调递减． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末考试答案 高二数学 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．C 7．C 8．A 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全都选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．ABD 10．BD 11．ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．2 13． 14． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题13分） 解：（1）根据题意可知， 该校成绩超过90分的人数为，成绩没有超过90分的人数为，因此，，． （2）零假设为：该校男生和女生了解安全知识的程度与性别无关． 因为， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 所以不能推断该校男生和女生了解安全知识的程度与性别有关． 16．（本小题15分） 解：（1）由题意，，， 所以关于的样本相关系数 ， 所以与具有较强的线性相关关系． （2）由题意及（1）得， 则， 所以关于的经验回归方程为， 当时，， 所以当土壤的湿度为70%时，种子的发芽率的预测值为97.8%． 17．（本小题15分） 解：（1）证明：由题设可知，取中点，连结、， ，， 又∵二面角为直二面角， ∴平面平面， 又平面平面，平面， 平面，又平面，， ∵由题意可得，， ，， 又，，平面， 平面，又平面，， 又，，平面， 平面． （2）取中点，连结，则，平面， 以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系（如图）， 则，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则，，， 取，，，则， 平面的法向量， ∴二面角的余弦值为． 18．（本小题17分） 解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，，，， 所以的分布列为 1 2 3 ． （2）设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知， 所以， ，， ． 所以的分布列为 0 1 2 3 ． 则，，，，． 所以，， 故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当； 从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定； 从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．因此甲的实验操作能力较强． 19．（本小题17分） 证明：（1），． 由零点存在定理，在内至少有一个零点． 又，当时，，，故，即严格单调递增． 因此在区间内有唯一零点． （4分） （2）．由于，，则． 下证：，． ，故在区间上单调递增． 令，则， 故在区间上单调递减，得到， 取，得， 由于（否则与矛盾），故，因此． （10分） （3）先证明：，． 对，令，，则． 由于在区间上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增． 得到，．由于且，则， 即． 则，， 又．由（1）可知严格单调递增，则，且， 所以，所以数列单调递减． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $