专题2.1 等式性质与不等式性质讲义-2026年暑假预习新高一数学人教A版2019必修第一册

专题2.1 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1 【考点1：用不等式表示不等关系】 2 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 3 【考点3：作差法比较大小】 4 【考点4：作商法比较大小】 4 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 5 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 6 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 5．（专题03不等式的基本性质及一元二次方程、不等式01（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 2．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 3.（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若正实数满足不等式组，则的大小关系为______（按由小到大排列） 【考点3：作差法比较大小】 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 4．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【考点4：作商法比较大小】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 3．（专题01不等式及其应用（比大小、求范围）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 4．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 5．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（25-26高一上·新疆巴州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知实数、满足，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1 【考点1：用不等式表示不等关系】 2 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 4 【考点3：作差法比较大小】 6 【考点4：作商法比较大小】 7 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 10 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 12 【知识梳理】 1、不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 2、两个实数大小的比较 如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 3、比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 4、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 5、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 6、倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 7、有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 【考点1：用不等式表示不等关系】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）一般的人，下半身长与全身长的比值小于且不小于，用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小于且不小于，. 2．（2026高三·全国·专题练习）限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由限速40km/h，可知汽车的速度v小于或等于40km/h，即. 3．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 4．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 5．（专题03不等式的基本性质及一元二次方程、不等式01（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和大于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 【考点2：利用不等式的性质比较大小】 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 2．（25-26高一上·天津滨海新区·期末）如果，，那么________（用不等号“>”或“<”填空）. 【答案】> 【分析】根据不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 故答案为： 3.（25-26高一上·辽宁铁岭·阶段检测）设，，，则的大小顺序是______.（用“”连接） 【答案】 【分析】计算可得、，则，即可得解. 【详解】， ， 故. 故答案为：. 4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 5．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）若正实数满足不等式组，则的大小关系为______（按由小到大排列） 【答案】 【分析】根据给定条件，变形并进行大小比较，再利用不等式性质求解即得. 【详解】由不等式组及均为正实数，得， 则，即， 所以. 故答案为： 【考点3：作差法比较大小】 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 4．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 5．（25-26高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 【考点4：作商法比较大小】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 2．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．（专题01不等式及其应用（比大小、求范围）（压轴题专项训练）数学高一沪教版2020必修第一册）试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 4．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 5．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）比较下列两式大小. (1)与； (2)时，与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差比较两式大小； （2）利用作商比较两式大小 【详解】（1）因为，所以 （2）当时，因为，所以 【考点5：由已知条件判断所给不等式是否正确】 1．（25-26高二下·北京昌平·期末）已知，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，在的情况下讨论；对于B，取，讨论即可；对于C，在的情况下讨论；对于D，通过不等式变换即可. 【详解】选项A：若，则，错误. 选项B：若，，，，错误. 选项C：若，，，错误. 选项D：因为，所以，故成立，正确. 2．（25-26高二下·江西萍乡·期末）已知实数，则下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，故，A正确； 对于B，因为，所以，所以，B错误； 对于C，因为，所以，所以，C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以，D正确. 3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】若 ，则，即，A选项正确； 当，，满足 ，但，B选项错误； 当，，满足 ，但，C选项错误； 若 ，有，则，即，D选项正确. 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）（多选）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 5．（25-26高二下·山东临沂·期末）（多选）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可知，且. 选项A：因为在上单调递增，且，因此，A正确； 选项B：因为，所以，，因此，B错误； 选项C：由，可得，，由得，C正确； 选项D：变形不等式， 已知即，且即，因此乘积为负，不等式成立，D正确. 【考点6：利用不等式的性质求取值范围】 1．（25-26高一上·新疆巴州·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】， ，故A正确； ，，故B错误； ，则，故C正确； ，则，即，故D错误． 故选：AC． 2．（25-26高一上·广东·期末）（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为，，所以， 即，故A正确； 因为，所以，即，故B不正确； 因为，则，又因为，所以，所以，故C不正确； 因为，则，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·浙江·期中）（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质就可以得到答案. 【详解】对于A：两个不等式相加得,所以A正确; 对于B：因为，所以,因为，所以,所以B正确; 对于C：两个不等式相乘得,所以C正确; 对于D：因为，所以,因为，所以,所以D错误. 故选：ABC 4．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知实数、满足，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】因为实数、满足，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，由不等式的性质可得，故，故， 即，D对. 故选：ACD. 5．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $