精品解析：河南省郑州市郑北一中学校2022-2023学年八年级数学下学期第一次月考试卷

2022-2023学年郑州市郑北一中八年级数学下学期第一阶段评价材料 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. x与1的和是非负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A. a－2＜b－2 B. a＋2＞b＋2 C. ＜ D. －3a＞－3b 3. 在△ABC中， AB=AC=4，∠B=30°，点P是线段 BC上一动点，则线段AP的长可能是( ) A. 1 B. C. D. 4. 下列说法，正确的是（ ） A. 在直角三角形中，已知两边的长分别为3和4，则第三边的长为5 B. 是直角三角形，三边长分别为a，b，c，则满足 C. 以三个连续自然数为三边的长度不可能构成直角三角形 D. 在中，若，则是直角三角形 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. 的周长等于 C. D. 点是线段的中点 6. 如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 9. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 18 C. 36 D. 72 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 11. 如图，∠A=20°，∠C=40°，∠ADB=80°，则图中共有等腰三角形__个． 12. 如图，，，．若，则______． 13. 已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm． 14. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________． 15. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 16. 的最小值是a，的最大值是b，则 ______ 17. 如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x_______﹣y（填“＜、＞、或=”） 18. 若不等式ax>b的解集是x<，则a的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为①，所以②，故③ 问： （1）上述解题过程中，从第_______步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程． 20. 今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶处，情况危急！救援队伍在处测得在的北偏东的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑米到达处，再从处下水游向处救人，已知在的北偏东的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为米/秒．在陆地上奔跑的速度为米/秒，试问哪组救援队先到处？请说明理由．（参考数据） 21. 已知：如图四边形中，，是边的中线，，，垂足为E．求证：． 22. 如图①，在中，，是边上的任意一点，过点分别向，作垂线，垂足分别为点，． （1）当点在上的什么位置时，？请说明理由． （2）过点作边上的高线，如图②，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）若在等腰三角形中，，，则______． 23. 如图，在等腰直角三角形中，，． 操作：如图①，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交所在的直线于点D，过点B作交于点F，交所在的直线于点E，连接． （1）猜想的形状． （2）请利用图②，图③作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作，画出相应的图形． （3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请利用图②说明理由；若你认为不成立，请利用其中一图说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年郑州市郑北一中八年级数学下学期第一阶段评价材料 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. x与1的和是非负数，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵与的和为，非负数是指大于或等于的数， ∴根据题意可得不等式为． 2. 若a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A. a－2＜b－2 B. a＋2＞b＋2 C. ＜ D. －3a＞－3b 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】A、不等式的两边同减去2，不改变不等号的方向，即，则此项不成立； B、不等式的两边同加上2，不改变不等号的方向，即，则此项成立； C、不等式的两边同除以2，不改变不等号的方向，即，则此项不成立； D、不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，即，则此项不成立； 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记不等式的性质是解题关键． 3. 在△ABC中， AB=AC=4，∠B=30°，点P是线段 BC上一动点，则线段AP的长可能是( ) A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据直角三角形的性质即刻得到结论． 【详解】过A作AD⊥BC于D． ∵∠B＝30°，∴ADAB＝2． ∵点P是线段BC上一动点，∴4≥AP≥2． 故选D． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 4. 下列说法，正确的是（ ） A. 在直角三角形中，已知两边的长分别为3和4，则第三边的长为5 B. 是直角三角形，三边长分别为a，b，c，则满足 C. 以三个连续自然数为三边的长度不可能构成直角三角形 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟记相关概念，逐一分析选项即可得到答案． 【详解】解：A．∵在直角三角形中，已知两边长为和，当为斜边长时，第三边长为，∴第三边长不一定为，故A错误； B．∵是直角三角形，题目没有说明哪条边是斜边，若斜边为，应满足，∴不一定满足，故B错误； C．∵三个连续自然数3，4，5满足，可以构成直角三角形，故C错误； D．∵，三角形内角和为，∴最大角，∴是直角三角形，故D正确． 5. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，下列结论错误的是（ ） A. 平分 B. 的周长等于 C. D. 点是线段的中点 【答案】D 【解析】 【分析】由在中，，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得与的度数，又由的垂直平分线是，根据线段垂直平分线的性质，即可求得，继而求得的度数，则可知平分；可得的周长等于，又可求得的度数，求得，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵在中，， ， ∵的垂直平分线是， ， ， ， ∴平分，故A正确； ∴的周长为：，故B正确； ， ， ， ， ，故C正确； ∵， ， ， ∴点不是线段的中点，故D错误． 6. 如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后根据直角三角形的两个锐角互余进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作于，于，于，则， ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 8. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 9. 在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 10. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC＝3，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】如图，作DE⊥AB于E， 由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DE＝DC＝3， ∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×12×3＝18， 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，共32分） 11. 如图，∠A=20°，∠C=40°，∠ADB=80°，则图中共有等腰三角形__个． 【答案】2 【解析】 【详解】根据三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，得∠ADB=∠ABD，∠DBC=∠C，再根据等角对等边得出图中等腰三角形的个数． 解：∵∠ABD=180°﹣20°﹣80°=80°， ∠DBC=∠ADB﹣∠C=40°． ∴∠ADB=∠ABD=80°，∠DBC=∠C=40°， 故△ABD和△BCD是等腰三角形． 故填2． 12. 如图，，，．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，接着根据含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到的长． 【详解】解：过点作于点，如图， ， 平分，， 而，， ， ， ， ， ． 13. 已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 ______ cm． 【答案】15 【解析】 【详解】根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 14. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂足分别为点E、F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为________． 【答案】 【解析】 【详解】∵在正方形ABCD中， ∴AB=BC， ∵AE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠BFC=90°， ∴∠ABE+∠CBF=∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE=∠BCF， ∴△BFC≌△AEB， ∴CF＝BE， ∴． 15. 如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 16. 的最小值是a，的最大值是b，则 ______ 【答案】-4 【解析】 【详解】分析：解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答． 详解：因为x≥2的最小值是a，∴a=2； x≤﹣6的最大值是b，∴b=﹣6； 则a+b=2﹣6=﹣4，所以a+b=﹣4． 故答案为﹣4． 点睛：解答此题要明确，x≥2时，x可以等于2；x≤﹣6时，x可以等于﹣6． 17. 如果2x﹣5＜2y﹣5，那么﹣x_______﹣y（填“＜、＞、或=”） 【答案】> 【解析】 【详解】如果2x﹣5＜2y﹣5，两边都加5可得2x＜2y；同除以（﹣2）可得：﹣x＞﹣y． 18. 若不等式ax>b的解集是x<，则a的取值范围是__________． 【答案】a<0 【解析】 【详解】解：∵不等式ax＞b的解集为x＜， ∴a＜0 故答案为：a＜0 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为①，所以②，故③ 问： （1）上述解题过程中，从第_______步开始出现错误； （2）错误的原因是什么？ （3）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）② （2） 不等式的两边同时乘同一个负数，不等号的方向要改变，原解题过程未改变不等号方向，正确结果应为 （3） 解：因为， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）首先回忆不等式的基本性质，明确不等式两边同乘负数时不等号方向的变化规则，以此为依据判断原解题步骤的错误位置． （2）结合不等式性质3，对应原步骤中乘负数的操作，分析错误的本质原因． （3）先依据不等式性质3处理原不等式两边同乘的步骤，再依据不等式性质1处理两边加1的步骤，完成正确的大小比较． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶处，情况危急！救援队伍在处测得在的北偏东的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑米到达处，再从处下水游向处救人，已知在的北偏东的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为米/秒．在陆地上奔跑的速度为米/秒，试问哪组救援队先到处？请说明理由．（参考数据） 【答案】第二组先到． 【解析】 【分析】本题中重点是求AB的长，可通过作辅助线构建直角三角形来求解．过A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，那么就有了一条公共直角边AD，可先求出AD的长，然后再求AB的长，然后再根据时间=路程÷速度比较两者的时间，看看是谁先到． 【详解】过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∵A在B北偏东60°方向上， ∴∠ABD=30°， 又∵A在C北偏东30°方向上， ∴∠ACD=60°， 又∵∠ABC=30°，所以∠BAC=30°， ∴∠ABD=∠BAC，所以AC=BC， ∵BC=120，所以AC=120， 在Rt△ACD中，∠ACD=60°，AC=120， ∴CD=60，AD=60， 在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°， ∴AB=120， 第一组时间：≈207.84， 第二组时间：+＝150， 因为207.84＞150所以第二组先到达A处． 答：第二组先到． 【点睛】在解此类实际问题中，构建直角三角形是关键，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点． 21. 已知：如图四边形中，，是边的中线，，，垂足为E．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题重点考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解答该题的关键． 【详解】证明：∵，是边的中线，，  ∴，  ∴，  在和中，  ，  ∴，  ∴ ． 22. 如图①，在中，，是边上的任意一点，过点分别向，作垂线，垂足分别为点，． （1）当点在上的什么位置时，？请说明理由． （2）过点作边上的高线，如图②，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）若在等腰三角形中，，，则______． 【答案】（1）当为中点时，．理由如下： 连接， ∵，为中点， ， ，， ， ， ， ； （2）猜想：， 如图，连接， ， ， ， ， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）点为中点时满足，连接，利用等腰三角形三线合一得到角平分线，通过证明三角形全等，证得线段相等． （2）连接，把大三角形拆成两个小三角形，依据面积和相等列等式，结合化简，推导出的数量关系． （3）先作底边的高，用勾股定理算出高，求出三角形面积，再结合第问结论，求出，得到的数值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作，垂足为，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 由（2）的结论， ． 23. 如图，在等腰直角三角形中，，． 操作：如图①，过点A任作一条直线（不经过点C和点B）交所在的直线于点D，过点B作交于点F，交所在的直线于点E，连接． （1）猜想的形状． （2）请利用图②，图③作与上述位置不同的直线，然后按上述方法操作，画出相应的图形． （3）在经历（2）之后，若你认为（1）中的结论是成立的，请利用图②说明理由；若你认为不成立，请利用其中一图说明理由． 【答案】（1）是等腰直角三角形； （2） （3）成立，理由如下： 如图②，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形； 如图③，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【解析】 【分析】（1）利用“”证明，得到，即可得解； （2）根据点在的延长线上和点在的延长线上，利用图②，图③分别作图即可； （3）同（1）理证明即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $