精品解析：河南濮阳市第一高级中学2027届高三上学期第一次质量检测数学试题

2024级高三上学期第一次质量检测 数学 2026.07 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，则. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 4. 已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 5. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用零点存在性定理，只需得到，即可得到结论． 【详解】函数的定义域为， 又函数，，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以， 所以零点所在的大致区间为. 故选：B. 6. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2027年 【答案】D 【解析】 【分析】若2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】不妨取2024年是第1年， 根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则，则第4年符合题意， 即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 7. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可将方程变为，通过分析可确定，将问题转化为在上有解的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围. 【详解】与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. ，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】运用比较法、特值法、不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A：因为， 所以，所以A正确； 对于B：当时，显然不成立，所以B不正确； 对于C：， 因为， 所以， 所以， 即，所以C不正确； 对于D：因为，， 所以，所以D正确. 故选：AD 10. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 11. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. D. 若，则的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“高斯函数”的定义，结合特殊值，判断AC，对于BD，首先判断函数的值域，再判断高斯函数的值域. 【详解】对于A：由题意，故A错； 对于B：， ，当时，；当时，， 所以的值域为，故B正确； 对于C：因为当时，，所以，故C错； 对于D：， 当时，；当时，， 所以的值域为，故D错. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，得，解得． 所以函数的定义域为． 13. 函数，若，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解逻辑，首先由解析式分析，，再分类讨论，求出值. 【详解】已知. 设，则 由分段函数可知，仅有1个解为，所以结合分段函数性质可得. 若，则，，所以； 若，则，解得. 因此满足条件的的值为或. 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对任意的恒成立，设，利用导数结合题意推得，将其化成，设，利用导数求出其最大值即得. 【详解】根据题意，可得对任意的恒成立． 设，则． 若，则在上单调递增， 当且时，，不符合题意． 若，令，得， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 所以，所以． 设，（），则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即的最大值为， 此时． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式化简集合，解对数不等式化简集合，再根据补集、交集的定义计算可得； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意是的真子集，显然，即可得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由，即，即，解得，即， 由，即，所以，解得，即， 所以，则. 【小问2详解】 由，即， 因为恒成立，解得， 所以， 由是的充分不必要条件，所以是的真子集，显然， 所以（等号不同时取到），解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围； （2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值. 【小问1详解】 由题意知：定义域为，； 令，则有两个不等正根， ，解得：，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知：，是的两根，则； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ， 即的最小值为. 17. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】（1），， （2）销售价格元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）将数据代入解析式，求出a，b的值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，当时，利用导数求出的单调性和最值，当时，根据基本不等式，求出的最值，分析比较即可得答案. 【小问1详解】 由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意：， 当时，， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 18. 设，． （1）证明：； （2）令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，分别计算的表达式，即可证明结论；（2）①先分析单调性及奇偶性定义，利用结论结合函数定义域解不等式； ②令，则在上恒成立，再结合二次函数最值分类讨论求解即可． 【小问1详解】 由题意可知 ， 故，即； 【小问2详解】 ①由题意得，定义域为 ，为奇函数. 当时，易知单调递增，则在单调递减， 为奇函数，在单调递减， ， 又有为奇函数， 在单调递减，由定义域知 当时，，不等式恒成立； 当时， ， ，解得； 当时， ，此时，与题意矛盾，舍去. 综上： ②当，单调递减，则， ，即 设，则在上恒成立， 当，即时，，解得，； 当，即时，，解得，； 综上，实数的取值范围为． 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 【答案】（1）； （2）①； ②证明：，即，， 两式相加得， 即， 成等差数列，故，故， ， 故，即， 又，故， 故，即， ， 下面推导对数平均不等式，，， 只需证，即证， 令，只需证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，又，故，证毕， ，又，故等号取不到， 所以，即， 所以，由①知，， 故，证毕. 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，令，求出函数递减区间； （2）①变形得到，故有3个不同的正根，令，则需有两个极值点，则需有两个不同的变号零点，令，求导，得到其单调性，结合函数走势，得到，得到答案； ②，，两式相加得，结合成等差数列， 变形得到，利用对数平均不等式和基本不等式得到，所以，由①知，，故，证毕. 【小问1详解】 ，定义域为， ， 令得， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 ①，即，故， 有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，定义域为，则需有两个极值点， 则需有两个不同的变号零点， 令，则， 令得， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，故当时，， 又时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足， 此时存在实数b，使得有3个不同的正根， a的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三上学期第一次质量检测 数学 2026.07 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A. 2023年 B. 2024年 C. 2025年 D. 2027年 7. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等式正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. ，，则 10. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号．称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，例如，，则下列说法错误的是（ ） A. 在上单调递增 B. 若，则的值域为 C. D. 若，则的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为__________． 13. 函数，若，则__________． 14. 已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）求； （2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数存在两个极值点. （1）求的取值范围； （2）求的最小值. 17. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 18. 设，． （1）证明：； （2）令． ①解关于实数a的不等式：； ②若对于任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数. （1）若，求函数的单调递减区间； （2）若存在实数b，使得函数有三个不同的零点. ①求a的取值范围； ②若成等差数列，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $