专题01 库仑定律的应用解题模型 专项训练--2026-2027学年高二上学期物理人教版必修第三册

**基本信息** 以库仑定律为核心，通过“核心知识-模型归纳-模型突破-素养提升”四阶体系，系统构建静电力平衡与动力学问题的解题方法，强化模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识|/|梳理电荷守恒定律、库仑定律及适用条件|从电荷基本概念到库仑定律，形成“概念-规律-条件”认知链| |模型归纳|2类模型|归纳静电力平衡模型（共线/非共线）特征及规律|基于库仑定律，构建平衡问题的分类解决框架| |模型突破|3模型（典例3+变式6）|提炼平衡方程法、受力分析、牛顿第二定律应用技巧|通过典例-变式，实现方法从单一到综合的迁移| |综合素养提升|15题（单选6+多选1+解答8）|综合应用多情境问题解决策略|整合平衡与动力学，形成“规律-模型-应用”完整逻辑链|

专题01 库仑定律的应用 01 核心知识 一、电荷守恒定律 电荷 守恒 定律 内容 电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。 三种起电方式 摩擦起电、接触起电、感应起电 实质 得失电子 元电荷 e＝1.60×10－19C，所有带电体的电荷量都是e的整数倍。 比荷 带电体的电荷量与质量之比 电子比荷： 点电荷 当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。 库仑 定律 内容 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 表达式 F＝k，式中的k叫作静电力常量。在国际单位制中，静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2。 适用条件 (1)真空中；(2)静止；(3)点电荷 易错提醒 (1)利用库仑定律计算静电力大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。 (2)利用同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引来判断方向。 (3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。 (4)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。 02 模型归纳 静电力作用下的平衡模型 分类 模型特点 示例 共线三个自由点电荷的平衡问题 三个自由电荷平衡规律 “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 非共线力作下的带电体平衡 1.确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要根据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象； 2.进行受力分析，只是多了库仑力； 3.根据牛顿第二定律F合＝0列方程，如果采用正交分解，则有。 03 模型突破 模型1 共线三个自由点电荷的平衡问题 【解题指导】1.对于三个自由点电荷的平衡问题，只需对其中每个电荷列平衡方程。 2.三自由电荷电量的定量关系：。 【典例01】如图所示，光滑水平面上有A、B两个带正电点电荷，质量均为m，电荷量分别为Q和4Q，在真空中相距l。已知静电力常量为k。现引进第三个点电荷C，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷C（　　） A．带正电 B．应放在A的左侧与处 C．应放在B的右侧处 D．电荷量大小为 【变式1-1】（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动 【变式1-2】如图所示，将相距为的、两点电荷放置在绝缘斜面上，点电荷、的电荷量分别为、。现引入第三个点电荷，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，点电荷、、的重力不计，则点电荷的电荷量可能为（　　） A． B． C． D． 模型2 非共线力作用下带电体的平衡问题 【解题指导】分析库仑力作用下的平衡问题时，方法与力学中分析物体的平衡问题的方法一样，只是多出一个库仑力作用（容易漏）。 【典例02】如图，用两根绝缘细线把质量分别为、的A、B带电小球（视为质点）悬挂在同一点，两小球恰好静止于同一水平面上，细线与竖直方向的夹角分别为、且，A、B两球所受库仑力大小分别为、，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】甲、乙两个带电金属小球放在半球形光滑绝缘碗内，球心为O。甲球质量为、电荷量为，乙球质量为、电荷量为，两带电小球均可看作点电荷。静止时甲、乙两球如图所示，已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，且，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 模型3 含库仑力作用下的动力学问题 【解题指导】1.确定研究对象； 2.进行受力分析，只是多了库仑力； 3.根据牛顿第二定律F合＝ma列式求解。 【典例03】 （多选）如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 【变式3-1】 如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾斜角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将小球A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小； (2)当A球的速度最大时，A球与B点的距离。 【变式3-2】如图所示，两个完全相同的小球质量均为m、电荷量均为+q，分别用长度为L的绝缘细线悬挂在O点。两球之间用另一条水平绝缘细线连接，此时水平绝缘细线张紧，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角为α=37°。烧断水平绝缘细线，当两球摆动到最高点时，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角变为β=53°。不计空气阻力，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，则（　　） A．烧断水平绝缘细线前，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 B．烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小为 C．烧断水平绝缘细线前，水平绝缘细线中的张力大小为 D．当两球摆动到最高点时，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 04 综合素养提升 一、单选题 1．如图，质量为M的箱子静止在水平地面上，箱子内质量均为m的两个带电小球a、b用绝缘细线分别系于箱子的上下两端，均处于静止状态，球b受到细线的拉力为F。下列说法正确的是（　　） A．连接a的细线的拉力为2mg B．剪断连接球a的细线瞬间，地面受到的压力大于Mg C．剪断连接球b的细线瞬间，地面受到的压力为 D．若给箱子瞬间向上的加速度，则连接球a的细线的拉力瞬间为 2．如图，光滑细杆水平固定放置，带负电的点电荷a固定于杆的上方，两个带正电的小球b，c的质量相等，电荷量均为q，二者均套在杆上保持静止，且不受杆的弹力。若a，b，c两两距离均为L，静电常数为k，重力加速度大小为g，则（　　） A．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 B．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 C．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 D．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 3．如图，两带电小球A的质量为，B的质量为。小球用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．球静止时，轻绳上拉力为 B．球静止时，球与球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球加速度大小为 D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对球的作用力变小 4．如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 5．如图所示，电荷量为的小球被绝缘棒固定在点，右侧有固定在水平面上、倾角为的粗糙绝缘斜面。现有质量为、电荷量为的小滑块停在与小球等高的点，刚好不上滑。已知重力加速度大小为，静电力常量为，滑块与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则之间的距离为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法不正确的是（     ） A．细线上的拉力一直减小 B．B球受到的库仑力先减小后增大 C．B球的运动轨迹是一段圆弧 D．支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小 二、多选题 7．如图所示，两根长度相同且不变的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与均匀带电小球M、N相连，两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的光滑绝缘墙壁上，与小球N相连的轻绳与竖直方向夹角为θ。若小球M的电荷量保持不变，在小球N的电荷量缓慢减少过程中，下列说法正确的是（     ） A．两小球间的库仑力增大 B．与小球N相连的轻绳上的拉力不变 C．与小球M相连的轻绳上的拉力减小 D．小球M对墙壁的压力减小 三、解答题 8．如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径，在圆形绝缘细管中心处固定一个带电荷量为的点电荷，一质量为、电荷量为的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，已知重力加速度为，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力大小。 9．如图所示，在平面直角坐标系的坐标原点处固定一正点电荷，电荷量为。一质量为m、带电荷量为 的粒子在库仑力作用下以速度绕正点电荷做匀速圆周运动，其轨迹在坐标系所在平面内且沿逆时针方向。k为静电力常量，忽略粒子重力。 (1)求粒子做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若粒子运动过程中经过y轴上的A点时，速度瞬时由增加到，方向不变。当运动到图中B点时，速度方向首次与A点速度方向相反，已知B点的坐标为（0，-d），求粒子从A点运动到B所用的时间t及在B点时的速度。 10．如图所示，在O点正上方固定带负电荷的小球A，小球A电荷量的绝对值是q，质量未知的小球B带正电，所带电荷量为2q，在重力和库仑力的作用下刚好绕O点在水平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知AO两点间的距离是，重力加速度为g，两小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B两个小球之间的库仑力大小； (2)小球B做匀速圆周运动的角速度。 11．如图所示，倾角为30°的斜面上放着三个均可视为质点物体A、B、C，其中A不带电且光滑，A、B的质量，，B、C的电量、，B与斜面间的动摩擦因数。A与B紧靠在一起（两者不粘连），C固定在挡板上。开始时给AB施加一平行于斜面向下的力F，使AB被缓慢推至某点静止，此时BC间的距离。已知静电力常量，。 (1)突然撤去推力F的瞬间，求B的加速度大小和AB之间的弹力大小； (2)撤去推力F后，AB沿斜面向上运动，求向上运动过程中AB速度最大时BC间的距离； (3)撤去推力F后，AB沿斜面向上运动直至分开，求此过程中B运动的距离。 12．如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 13．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为（未知）的圆环套在竖直杆上。质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，、均保持静止，两者连线与水平地面的夹角，圆环距地面的高度为，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受库仑力的大小和所带电荷量； (3)滑块所受摩擦力。 14．类比是研究和解决物理问题的常用方法，万有引力定律和库仑定律都是平方反比定律，它们具有许多相似性，比如天体在万有引力的作用下做匀速圆周运动，带电体也可以在库仑力的作用下做匀速圆周运动。如图甲所示，足够大的绝缘光滑水平面处于真空中，将质量为M、电荷量为的带电小球A锁定在O点，质量为m、带电量为的带电小球B绕小球A做半径为r的匀速圆周运动。静电力常量为k，不计带电小球间的万有引力作用，带电小球B绕小球A运动时可视为质点。 (1)求小球B运动的线速度大小； (2)求小球B运动的周期； (3)如图乙所示，解除对小球A的锁定，它们均绕AB连线上的N点做匀速圆周运动，此时小球A和小球B间的距离为L； ①带电小球A做圆周运动的轨道半径， ②带电小球B做圆周运动的角速度和周期大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 库仑定律的应用 01 核心知识 一、电荷守恒定律 电荷 守恒 定律 内容 电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移过程中，电荷的总量保持不变。 三种起电方式 摩擦起电、接触起电、感应起电 实质 得失电子 元电荷 e＝1.60×10－19C，所有带电体的电荷量都是e的整数倍。 比荷 带电体的电荷量与质量之比 电子比荷： 点电荷 当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。 库仑 定律 内容 真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 表达式 F＝k，式中的k叫作静电力常量。在国际单位制中，静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2。 适用条件 (1)真空中；(2)静止；(3)点电荷 易错提醒 (1)利用库仑定律计算静电力大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。 (2)利用同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引来判断方向。 (3)不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了。 (4)对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离。 02 模型归纳 静电力作用下的平衡模型 分类 模型特点 示例 共线三个自由点电荷的平衡问题 三个自由电荷平衡规律 “三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上； “两同夹异”——正、负电荷相互间隔； “两大夹小”——中间电荷的电荷量最小； “近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷。 非共线力作下的带电体平衡 1.确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要根据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象； 2.进行受力分析，只是多了库仑力； 3.根据牛顿第二定律F合＝0列方程，如果采用正交分解，则有。 03 模型突破 模型1 共线三个自由点电荷的平衡问题 【解题指导】1.对于三个自由点电荷的平衡问题，只需对其中每个电荷列平衡方程。 2.三自由电荷电量的定量关系：。 【典例01】如图所示，光滑水平面上有A、B两个带正电点电荷，质量均为m，电荷量分别为Q和4Q，在真空中相距l。已知静电力常量为k。现引进第三个点电荷C，正好使三个点电荷均处于平衡状态，则点电荷C（　　） A．带正电 B．应放在A的左侧与处 C．应放在B的右侧处 D．电荷量大小为 【答案】D 【详解】由“两大夹小，两同夹异”可知第三个小球应带负电，且位于、两小球之间某位置，假设第三个小球带电荷量大小为，距小球的距离为，则对第三个小球有 解得   对A小球有 解得 故选D。 【变式1-1】（多选）如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c恰好都处在平衡状态，除相互作用的静电力外不受其他外力作用。已知a、b间的距离是b、c间距离r的2倍，a、b、c所带电荷量的绝对值分别为q1、q2、q3。下列说法正确的是（　　） A．若a、c带正电，则b带负电 B．若a、c带负电，则b带正电 C．q1∶q2∶q3＝36∶4∶9 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，b仍静止，a、c将会运动 【答案】ABC 【详解】AB．三个点电荷在同一直线上处于平衡状态，则一定满足“两同夹异，近小远大”原理，即两边的电荷电性相同和中间的电性相反，判断电量大小关系时，距离远的电量大于距离近的电量，故AB正确； C．根据库仑定律和矢量的合成，已知q1、q2间的距离是q2、q3间的距离的2倍，则有 解得q1：q2：q3=36：4：9，故C正确。 D．三个点电荷的电荷量均变为原来的一半，即电量之比不变，则仍静止，a、b、c仍会都静止，故D错误。 故选ABC。 【变式1-2】如图所示，将相距为的、两点电荷放置在绝缘斜面上，点电荷、的电荷量分别为、。现引入第三个点电荷，恰好使三个点电荷都处于平衡状态，点电荷、、的重力不计，则点电荷的电荷量可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点电荷、带异种电荷，且点电荷A的电荷量小于点电荷B的电荷量，三个点电荷都处于平衡状态，可知点电荷C应带负电，且电荷量大于，应放在A、B外侧靠近点电荷A的某位置，设点电荷C与点电荷A的距离为x，根据点电荷C受力平衡有 解得 根据点电荷A受力平衡有 解得 因点电荷C带负电，则 故选A。 模型2 非共线力作用下带电体的平衡问题 【解题指导】分析库仑力作用下的平衡问题时，方法与力学中分析物体的平衡问题的方法一样，只是多出一个库仑力作用（容易漏）。 【典例02】如图，用两根绝缘细线把质量分别为、的A、B带电小球（视为质点）悬挂在同一点，两小球恰好静止于同一水平面上，细线与竖直方向的夹角分别为、且，A、B两球所受库仑力大小分别为、，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】AB．两小球间的库仑力是一对相互作用力，大小相等，即，故A错误，B错误。 CD．分别对、两球受力平衡，有， 由，得 因且两角均为锐角，所以，则，故C错误，D正确。 故选D。 【变式2-1】甲、乙两个带电金属小球放在半球形光滑绝缘碗内，球心为O。甲球质量为、电荷量为，乙球质量为、电荷量为，两带电小球均可看作点电荷。静止时甲、乙两球如图所示，已知A、O、B三点位于同一个竖直平面内，且，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AC．对物体甲受力分析，如图所示 设两个电荷间的库仑力为，根据几何关系，可得到 同理对物体乙分析，有 可解得 由于 所以 可知，故A正确，C错误； BD．两个电荷间的库仑力公式为，大小相等方向相反，是成对出现的。可以求得库仑力大小但根据题干的信息无法计算两个电荷各自的电荷量大小，故BD错误。 故选A。 【变式2-2】（多选）如图所示，质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方的绝缘柱上，其中O点与小球A的间距为l，O点与小球B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角。带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k。则（　　）。 A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力大小 C．细线拉力大小 D．细线拉力大小 【答案】AD 【详解】A．由余弦定理有 因此A、B间库仑力大小，故A正确； BCD．A的受力如图所示 几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例有 解得绳子拉力，，故BC错误，D正确。 故选AD。 模型3 含库仑力作用下的动力学问题 【解题指导】1.确定研究对象； 2.进行受力分析，只是多了库仑力； 3.根据牛顿第二定律F合＝ma列式求解。 【典例03】 （多选）如图所示，静置于光滑水平面上两带电物体A、B质量为和，相距为。水平恒力作用在上，同时释放A、B，A、B会一起相对静止的向右运动。当恒力大小不变，仅方向改变作用在上，改变A、B的间距，也可使A、B一起相对静止的向左运动。则下列说法正确的是（　　） A．两物体一定带异种电荷 B．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 C．作用在上时，A、B间的库仑力大小为 D．作用在上时，A、B间的距离为 【答案】ABD 【详解】A．因B随A一起向右运动，可知A、B间的库仑力为引力，A、B一定带异种电荷，故A正确 B．对A、B构成的整体进行分析，由牛顿第二定律有 对进行分析有 解得，故B正确； C．恒力作用在B上，对进行分析有 解得，故C错误； D．由库仑力公式有， 结合上述解得，故D正确。 故选ABD。 【变式3-1】 如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾斜角为α，小球A带正电，电荷量为q。在杆上B点处固定一个电荷量为Q的正电荷。将小球A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求： (1)A球刚释放时的加速度大小； (2)当A球的速度最大时，A球与B点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）A球刚释放时，由牛顿第二定律可得 根据库仑定律则有 由几何关系可得 联立解得 （2）当A球受到的合力为零，即加速度为零时，速度最大。设此时A球与B点间的距离为d，则有 解得 【变式3-2】如图所示，两个完全相同的小球质量均为m、电荷量均为+q，分别用长度为L的绝缘细线悬挂在O点。两球之间用另一条水平绝缘细线连接，此时水平绝缘细线张紧，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角为α=37°。烧断水平绝缘细线，当两球摆动到最高点时，倾斜绝缘细线与竖直方向的夹角变为β=53°。不计空气阻力，静电力常量为k，重力加速度为g，sin37°=0.6，则（　　） A．烧断水平绝缘细线前，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 B．烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小为 C．烧断水平绝缘细线前，水平绝缘细线中的张力大小为 D．当两球摆动到最高点时，每条倾斜绝缘细线中的张力大小为 【答案】C 【详解】A．烧断水平绝缘细线前，根据对称性可知，两条倾斜绝缘细线中的张力大小相等，令为，对左侧小球进行分析，根据平衡条件有 解得，故A错误； B．结合上述，烧断水平绝缘细线前，两条倾斜绝缘细线中的张力的合力大小 结合上述解得，故B错误； C．烧断水平绝缘细线前，令水平绝缘细线中的张力大小为，对左侧小球进行分析，在水平方向上有 结合上述解得，故C正确； D．烧断水平绝缘细线，小球做圆周运动，根据对称性可知，两小球始终处于同一水平面上，当两球摆动到最高点时，小球所需向心力为零，即小球沿半径方向的合力为零，令倾斜绝缘细线中的张力大小为，对左侧小球进行分析有 解得，故D错误。 故选C。 04 综合素养提升 一、单选题 1．如图，质量为M的箱子静止在水平地面上，箱子内质量均为m的两个带电小球a、b用绝缘细线分别系于箱子的上下两端，均处于静止状态，球b受到细线的拉力为F。下列说法正确的是（　　） A．连接a的细线的拉力为2mg B．剪断连接球a的细线瞬间，地面受到的压力大于Mg C．剪断连接球b的细线瞬间，地面受到的压力为 D．若给箱子瞬间向上的加速度，则连接球a的细线的拉力瞬间为 【答案】C 【详解】A．以ab合在一起为研究对象，库仑力为内力连接a的细线的拉力为 故A错误； B．剪断连接球a的细线瞬间，球a的加速度大小为 方向竖直向下。以整体为研究对象 以b球为研究对象，则 联立两式解得 根据牛顿第三定律，地面受到的压力小于Mg，故B错误； C．剪断连接球b的细线瞬间，球b的加速度大小为 方向竖直向上。以整体为研究对象 以b球为研究对象，则 联立两式解得 故C正确； D．若给箱子瞬间向上的加速度，对a球受力分析可得 得 故D错误。 故选C。 2．如图，光滑细杆水平固定放置，带负电的点电荷a固定于杆的上方，两个带正电的小球b，c的质量相等，电荷量均为q，二者均套在杆上保持静止，且不受杆的弹力。若a，b，c两两距离均为L，静电常数为k，重力加速度大小为g，则（　　） A．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 B．电荷a的电荷量为q，两小球质量均为 C．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 D．电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 【答案】D 【详解】两个带正电的小球b，c的质量相等，设其质量为，电荷a的电荷量为； 以小球b为研究对象进行受力分析，小球b受到重力mg、c对b的库仑斥力和a对b的库仑引力。根据题意，a、b、c 构成一个边长为L的等边三角形，因此库仑引力与水平方向（即杆的方向）的夹角为 60°。 由于小球静止且不受杆的弹力，所以这三个力的合力为零，由平衡条件有， 解得电荷a的电荷量为2q，两小球质量均为 故选D。 3．如图，两带电小球A的质量为，B的质量为。小球用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球用固定的绝缘轻杆连接。球静止时，轻绳与竖直方向的夹角为，两球连线与轻绳的夹角为，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．球静止时，轻绳上拉力为 B．球静止时，球与球间的库仑力为 C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球加速度大小为 D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对球的作用力变小 【答案】A 【详解】AB．根据题意球静止时，对球受力分析，如图所示 根据力的平衡条件得， 解得，，A正确，B错误； C．剪断轻绳前，小球所受合力为零，库仑力与重力的合力和轻绳拉力等大反向，即库仑力与重力的合力为，剪断轻绳瞬间，轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，球所受合外力大小为，由牛顿第二定律得 可得，C错误； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间球受到的库仑力、重力不变，小球仍然处在静止状态，则轻杆对球的作用力不变，D错误。 故选A。 4．如图所示，在天花板上点通过两根长度分别为、的细绳悬挂两个带电小球P、Q，静止时两根细绳与竖直方向之间的夹角分别为和，已知，，则P、Q质量之比为（　　） A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．∶4∶9 【答案】A 【详解】将两个小球视为整体，以悬挂点O为转轴，整体静止，合力矩为零：绳子拉力作用点在O，力矩为零；两球之间的库仑力是内力，一对相互作用力的总力矩为零，因此只有两个重力的力矩平衡，则有 解得 故选A。 5．如图所示，电荷量为的小球被绝缘棒固定在点，右侧有固定在水平面上、倾角为的粗糙绝缘斜面。现有质量为、电荷量为的小滑块停在与小球等高的点，刚好不上滑。已知重力加速度大小为，静电力常量为，滑块与斜面间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知小滑块在A点处恰好不上滑，则摩擦力沿斜面向下且恰好达到最大静摩擦力，即 根据受力平衡，设库仑力为，沿斜面方向有 垂直斜面方向有 根据库仑定律得 联立解得OA的距离为，故ABC错误、D正确。 故选D。 6．如图所示，水平面上放置一个绝缘支杆，支杆上的带电小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止。在此过程中以下说法不正确的是（     ） A．细线上的拉力一直减小 B．B球受到的库仑力先减小后增大 C．B球的运动轨迹是一段圆弧 D．支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小 【答案】B 【详解】ABC．如图所示，设A、B间的距离为r，O、A间的距离为h，O、B间距离为l，B球重力为mg，A、B之间的库仑力大小为 根据力的矢量三角形与距离的几何三角形相似可得 解得， 现缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离，支杆始终静止，且两球的电荷量均不变，则l减小，h不变，所以F减小，即细线上的拉力一直减小；r不变，即B球的运动轨迹是一段圆弧，并且B球受到的库仑力大小不变，故AC说法正确，B说法错误； D．根据平衡条件可知，支杆受到的地面的摩擦力与B对A的库仑力的水平分量大小相等、方向相反，而B对A的库仑力大小不变，方向由水平向左变为斜向左下，所以水平分量变小，即支杆受到地面向右的摩擦力逐渐减小，故D说法正确。 故选B。 二、多选题 7．如图所示，两根长度相同且不变的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端分别与均匀带电小球M、N相连，两小球均处于静止状态，与小球M相连的轻绳竖直，小球M紧靠在左侧竖直的光滑绝缘墙壁上，与小球N相连的轻绳与竖直方向夹角为θ。若小球M的电荷量保持不变，在小球N的电荷量缓慢减少过程中，下列说法正确的是（     ） A．两小球间的库仑力增大 B．与小球N相连的轻绳上的拉力不变 C．与小球M相连的轻绳上的拉力减小 D．小球M对墙壁的压力减小 【答案】BCD 【详解】A．对小球受力分析，受重力、轻绳的拉力以及小球对其的库仑斥力，根据共点力平衡条件，重力、拉力和库仑力组成一个闭合的矢量三角形，该力三角形与几何三角形相似，根据相似三角形性质有 由于轻绳和的长度相同且不变，即 在小球的电荷量缓慢减小的过程中，库仑力变小，两球间的距离减小，因此两小球间的库仑力减小，故A错误； B．由相似关系可知 因为，所以与小球相连的轻绳上的拉力保持不变，故B正确； C．对、整体受力分析，受总重力、墙壁对的水平向右的支持力、绳的拉力（方向沿），以及绳的拉力（方向竖直向上），在竖直方向上有 解得 在小球的电荷量缓慢减小的过程中，向左下方运动，夹角减小，增大，而不变，所以与小球相连的轻绳上的拉力减小，故C正确； D．在水平方向上有 因为夹角减小，而不变，所以支持力减小，根据牛顿第三定律，小球对墙壁的压力减小，故D正确。 故选BCD。 三、解答题 8．如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径，在圆形绝缘细管中心处固定一个带电荷量为的点电荷，一质量为、电荷量为的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，已知重力加速度为，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力大小。 【答案】 【详解】设小球在最高点时的速度为，根据牛顿第二定律有 设小球在最低点时的速度为，管壁对小球的作用力为F，根据牛顿第二定律有 小球从最高点运动到最低点的过程中，由动能定理有 联立解得 由牛顿第三定律得小球在最低点时对管壁的作用力大小。 9．如图所示，在平面直角坐标系的坐标原点处固定一正点电荷，电荷量为。一质量为m、带电荷量为 的粒子在库仑力作用下以速度绕正点电荷做匀速圆周运动，其轨迹在坐标系所在平面内且沿逆时针方向。k为静电力常量，忽略粒子重力。 (1)求粒子做匀速圆周运动的半径和周期； (2)若粒子运动过程中经过y轴上的A点时，速度瞬时由增加到，方向不变。当运动到图中B点时，速度方向首次与A点速度方向相反，已知B点的坐标为（0，-d），求粒子从A点运动到B所用的时间t及在B点时的速度。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）库仑力提供向心力，由牛顿第二定律 整理得半径 匀速圆周运动周期 代入得 （2）库仑力的形式和万有引力形式相似，这个过程类似于卫星变轨问题，可以应用开普勒第三定律，因此圆轨道和椭圆轨道的周期 T 与半长轴 d 满足 又 因此 故A到B的时间为 由开普勒第二定律可知在极短时间内，负电荷与正电荷连线在 A 点和 B 点扫过的面积相等，即 弧长近似等于位移大小有， 由扇形面积公式求得， 由扇形面积公式求得 解得 10．如图所示，在O点正上方固定带负电荷的小球A，小球A电荷量的绝对值是q，质量未知的小球B带正电，所带电荷量为2q，在重力和库仑力的作用下刚好绕O点在水平面内做半径为R的匀速圆周运动。已知AO两点间的距离是，重力加速度为g，两小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B两个小球之间的库仑力大小； (2)小球B做匀速圆周运动的角速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由几何关系可知，小球与小球之间的距离为 解得 根据库仑定律可得、两个小球之间的库仑力大小为 解得 （2）设、连线与竖直方向夹角为，小球的质量为，根据几何关系有 解得 对小球进行受力分析，根据平衡条件和牛顿第二定律分别有， 联立解得 11．如图所示，倾角为30°的斜面上放着三个均可视为质点物体A、B、C，其中A不带电且光滑，A、B的质量，，B、C的电量、，B与斜面间的动摩擦因数。A与B紧靠在一起（两者不粘连），C固定在挡板上。开始时给AB施加一平行于斜面向下的力F，使AB被缓慢推至某点静止，此时BC间的距离。已知静电力常量，。 (1)突然撤去推力F的瞬间，求B的加速度大小和AB之间的弹力大小； (2)撤去推力F后，AB沿斜面向上运动，求向上运动过程中AB速度最大时BC间的距离； (3)撤去推力F后，AB沿斜面向上运动直至分开，求此过程中B运动的距离。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）对AB整体分析，由牛顿第二定律 解得 对A分析，由牛顿第二定律 解得 （2）对AB整体分析，当合力为零时达到最大速度，则 解得 （3）恰好分开时，AB之间弹力为零，对A分析有 解得 对B分析 解得 故位移 12．如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 【答案】(1)C球带负电荷，2q (2) 【详解】（1）由题意可知C球带负电荷，对A球有 解得 （2）设三球运动加速度为a，对A球有 对三球整体有 解得 13．如图所示，水平地面上固定一竖直的光滑绝缘细杆，一质量为、带电荷量为（未知）的圆环套在竖直杆上。质量为、带电荷量为的滑块静置于水平地面上，、均保持静止，两者连线与水平地面的夹角，圆环距地面的高度为，静电力常量为，重力加速度为。求： (1)圆环所带电荷种类； (2)圆环所受库仑力的大小和所带电荷量； (3)滑块所受摩擦力。 【答案】(1)带正电 (2) (3)，方向水平向左 【详解】（1）对圆环进行受力分析，圆环静止，受力平衡，圆环与滑块之间为斥力，所以圆环和滑块之间带同种电荷，则圆环带正电。 （2）对圆环受力分析有，， 联立解得， （3）对滑块进行受力分析 方向水平向左。 14．类比是研究和解决物理问题的常用方法，万有引力定律和库仑定律都是平方反比定律，它们具有许多相似性，比如天体在万有引力的作用下做匀速圆周运动，带电体也可以在库仑力的作用下做匀速圆周运动。如图甲所示，足够大的绝缘光滑水平面处于真空中，将质量为M、电荷量为的带电小球A锁定在O点，质量为m、带电量为的带电小球B绕小球A做半径为r的匀速圆周运动。静电力常量为k，不计带电小球间的万有引力作用，带电小球B绕小球A运动时可视为质点。 (1)求小球B运动的线速度大小； (2)求小球B运动的周期； (3)如图乙所示，解除对小球A的锁定，它们均绕AB连线上的N点做匀速圆周运动，此时小球A和小球B间的距离为L； ①带电小球A做圆周运动的轨道半径， ②带电小球B做圆周运动的角速度和周期大小。 【答案】(1) (2) (3)①，②， 【详解】（1）由库仑力提供向心力得 解得 （2）由库仑力提供向心力得 解得 （3）解除对小球A的锁定后，小球A和小球B绕N点做匀速圆周运动，具有相同的角速度和周期，小球A和小球B受到的向心力大小相同，设小球A和小球B做圆周运动的半径分别为和，则 又，解得 ②对小球A，由库仑力提供向心力得 解得 则带电小球B做圆周运动的周期为 解得 学科网（北京）股份有限公司 $