第13章 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 学案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学学案聚焦匀质薄板重心位置确定，核心知识点包括重心概念、悬挂法等确定方法及坐标公式。通过悬挂法动手操作导入，联系几何图形对称中心与坐标系知识，以表格梳理概念和方法构建学习支架。 资料特色在于融合动手操作与数学建模，通过悬挂法探究和坐标公式计算，培养学生几何直观与运算能力。习题结合正方形分割与L型角钢实例，体现模型意识，提升合作探究与实践应用能力，助力发展数学眼光与思维。

综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 人教版八年级上册 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 教材：人教版八年级上册 一、学习目标 1. 了解物体重心的概念，理解匀质薄板的重心与几何中心的关系，掌握用悬挂法确定简单平面图形重心位置的方法。 2. 掌握重心坐标公式，能运用公式计算由规则图形组成的平面组合图形的重心位置。 3. 通过探究活动，体会数学建模思想在工程实践中的应用，提升动手操作能力和合作探究能力。 二、知识梳理 1. 重心概念 项目 内容 说明 定义 物体所受重力的等效作用点，叫作物体的重心。 重心不一定在物体上 匀质薄板 的重心 匀质薄板（质量分布均匀的薄板）的重心位于其几何中心。 匀质 = 质量分布均匀 几何中心 规则几何图形的对称中心。如：矩形的几何中心是对角线交点，三角形的几何中心是三条中线的交点。 也叫形心 2. 确定重心的方法 方法 操作步骤 适用范围 悬挂法 用细线悬挂物体，记下重力作用线（悬线方向）；换一个悬挂点重复操作，两条重力作用线的交点即为重心。 适用于任意形状的薄板，尤其是不规则形状 几何中心法 对于规则匀质薄板，重心在几何中心处。如正方形重心在对角线交点，三角形重心在三条中线交点。 适用于规则几何图形 坐标法 建立平面直角坐标系，将组合图形分割成若干规则部分，利用重心坐标公式计算整体重心位置。 适用于由规则图形组合而成的匀质薄板 3. 重心坐标公式 项目 内容 说明 公式 其中 S₁、S₂ 为各部分面积， (x₁, y₁)、(x₂, y₂) 为各部分重心坐标 适用条件 匀质薄板，可分割成若干规则部分，且各部分的重心坐标已知。 适用于平面组合图形 正方形示例 边长为6的正方形，分成宽2和4的两个长方形。S₁=12, N₁(1,3); S₂=24, N₂(4,3)。代入公式验证得 N(3,3)，与几何中心一致。 验证公式正确性 三、课堂练习 练习1（正方形重心计算） 边长为6的正方形，将其分成两个长方形，长均为6，宽分别为2和4。 建立平面直角坐标系，已知正方形重心 N(3, 3)，左长方形重心 N₁(1, 3)，右长方形重心 N₂(4, 3)。 (1) 分别求两个长方形的面积 S₁ 和 S₂。 (2) 利用重心坐标公式，验证 N₁(1, 3)、N₂(4, 3) 与 N(3, 3) 之间的关系。                         练习2（L型角钢横截面重心计算） 如图，L型角钢横截面。将其分割成两个长方形，建立平面直角坐标系。 已知：长方形①的重心 N₁(6, 60)，面积 S₁ = 1440 cm²； 长方形②的重心 N₂(46, 6)，面积 S₂ = 816 cm²。 利用重心坐标公式，求 L 型角钢横截面的重心坐标 N(x, y)。（结果可用分数表示）           四、参考答案 练习1 答案 解：(1) 左长方形：宽2，高6，； 右长方形：宽4，高6，。 (2) 由重心坐标公式： 正方形的重心坐标为 N(3, 3)，与几何中心（对角线交点）重合。 解析：本题验证了重心坐标公式的正确性。正方形的几何中心就是对角线交点 (3, 3)，通过公式计算得到的结果与之完全一致，说明匀质薄板的重心就在其几何中心。 练习2 答案 解：将 L 型角钢横截面分割成两个长方形。 长方形①： 长方形②： 由重心坐标公式： 化简： L 型角钢横截面的重心坐标为 ，即 N(20.47, 40.47)。 解析：本题展示了重心坐标公式在实际工程中的应用。首先将 L 型角钢横截面分割成两个规则的长方形，分别确定各部分的重心坐标和面积，然后代入公式计算整体重心。注意：分母 2256 = 1440 + 816，分子中 48 是 2256 和 46176（及 91296）的公因数，化简后得到最简分数形式。 学科网（北京）股份有限公司 $