2.4 一元二次方程的应用（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.4一元二次方程的应用 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次方程应用中的常见数量关系 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 考点02 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 考向01 传播问题 【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 考向02 增长率问题 【例2】一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 考向03 与图形有关的问题 【例3】南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 考向04 数字问题 【例4】如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，根据对话描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】解：设这个数为x， 则， 整理得， ， 解得． 即这个数是． 考向05 营销问题 【例5】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 考向06 动态几何问题 【例6】如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 考向07 工程问题 【例7】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 考向08 行程问题 【例8】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 考向09 图表信息问题 【例9】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 考向10 握手，循环赛问题 【例10】在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 考向11 其他问题 【例11】我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【答案】(1)， ∵ ∴ ， 所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根． (2) (3)或 【分析】（1）列式计算得出方程的判别式，再进行分析，即可作答． （2）结合对称根方程以及对称中心值的定义进行列式计算，即可作答． （3）分别整理得出，，再结合这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，得，最后解得或，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， 根据韦达定理得到， ∵该方程又是对称根方程，且对称中心值为， ∴， ∴， ∴． （3）解：设的对称中心值为，该方程的根记为， ∴，， ∴ ∴对称中心值， 设的对称中心值为，该方程的根记为 ∴， ∴ ∴对称中心值， ∵这两个方程互为互补对，它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值 ∴， ∴或 ∴或． 【对点1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 【对点2】松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【对点3】某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 【对点4】如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 【对点5】黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【答案】(1)18元 (2)解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 【分析】（1）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定是否有解． 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价元． 由题意得． 解得，． 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． （2）略 【对点6】如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当时和当时，分别求解即可； 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：， ∴，， ∴； 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，，则，， ， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴． 综上所述，或． 【对点7】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【对点8】已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【对点9】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 【对点10】2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 【对点11】小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)总消耗热量不可能达到380千卡 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，则总消耗热量为千卡，根据题意，可得，令总消耗热量为380千卡，列出一元二次方程，根据解的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，第t分钟消耗的热量是：千卡； t分钟总消耗热量是：千卡； （2）解：总消耗热量不可能达到380千卡，理由如下： 设快跑时长为x分钟，则慢跑时长为分钟，核心力量训练时长为t分钟，（其中x、t均为整数）， 则总消耗热量为：千卡， 根据题意可列方程，，则， 则总消耗热量为：千卡， 当总消耗热量为380千卡时，，整理可得，， 则，即方程没有实数根， 总消耗热量不可能达到380千卡． 一、选择题 1．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 3．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 4．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． ∵初始有人患流感， ∴第一轮传染后，总患病人数为， ∵第二轮传染中，有个患者，每人传染人， ∴新增患病人数为， ∴． 5．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 6．近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算年和年的空气优良天数的比例即可得出结论． 【详解】解：∵年苏州市空气优良天数的比例为， 又∵年的年平均增长率为， ∴年的空气优良天数的比例为，年的空气优良天数的比例为， ∴可列方程． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 【详解】解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 8．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 9．如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．分、两种情况利用相似三角形的性质分别列比例得到关于的一元二次方程，再利用根的判别式求解即可． 【详解】解：设，则 情形①， 则，即 解得：； 情形②， ∴，即 ∴， ∴， ∵与相似，这样的P点共有2个， 当①成立时，则②中只有唯一的一个解， 即，解得： 当②有两个解时（即情形②有两个点），则①中的解与②中的一个解相同， 即是的解， ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或， 故选：A． 10．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系列方程求解，再判断各选项． 【详解】解：设这批椽的数量为株，一株椽的价钱为p文， ∵少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， ∴， 又∵这批椽的价钱为216文， ∴， 将p代入得：，即， 解方程：，， 解得或（舍去）， ∴， ， 总运费为文， ∴A、C、D正确，B错误． 故选：B． 二、填空题 11．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 【答案】约为 【详解】解：设药品的原始零售价为，每次涨价的百分率为， 则， 解得：（舍），， 即每次涨价的百分率约为． 12．有一个人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，则平均每人传染_____人． 【答案】 【分析】设每轮传染中平均每人传染了人，那么第一轮传染中有人被传染，第二轮则有人被传染，已知“共有人患了流感”，那么可列方程，然后解方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了人， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 平均每人传染人． 13．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 14．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 15．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 【答案】 【分析】利用菱形的性质和翻折的性质，结合解30度直角三角形和勾股定理设未知数列出方程，即可求得的长度． 【详解】解：在菱形中，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图，设与交点为H， ∴，即， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 三、解答题 16．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 17．某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 【答案】每件童装降价元 【分析】本题利用总盈利=每件盈利×平均每天销售量的数量关系列一元二次方程求解，根据题目扩大销售量的要求，选取符合题意的解即可． 【详解】解：设每件童装降价元．由题意可知，每降价元，平均每天可多售出件， 因此降价元后，每件盈利为元，平均每天销售量为件， 根据总盈利为元，列方程得： 整理方程得 因式分解得 解得， ∵要求扩大销售量，降价越多销售量越大， ∴ 答：每件童装降价元． 18．有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 【答案】 【分析】根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人，初始有5个人患流感，第一轮传染后，总患病人数为，第二轮传染后，总患病人数为， 根据题意列方程得：， 解得，（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染6人． 19．目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若a，b满足代数式，求； (3)若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)平方米； (2)； (3)原长方形的长为60米，宽为40米． 【分析】（1）根据两条人行道的总面积等于两个长方形面积之和减去重叠部分的面积求解即可； （2）等式两边进行分母有理化即可解答； （3）由题意可列方程，结合（2）中的比值，设，，求解出即可解答． 【详解】（1）解：∵两条人行道的长分别为a米和b米，宽均为2米， ∴两条人行道的总面积为平方米； （2）解： ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，四块草坪的面积之和为， ∵， ∴设，， 则， 解得（负值已舍去）， ∴（米），（米）， 答：原长方形的长为60米，宽为40米． 20．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)当时， 的面积为 (3)存在，或 【分析】（1）根据题意得出时，，当时，，当时，，当时，，即可求解； （2）分两种情况分析：当P在线段 上时，当P在延长线上时，作出相应图形，然后利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况分析：当平分时，当平分的外角时，利用角平分线的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理解三角形求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：∵， 动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是， ∴， ∴时，， 当时，， ∴ ∵P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发， ∴当时，， 当时，， ∴； （2）根据题意得：点 P在线段上时，;当点P在延长线上时，， 的面积 ， ①当P在线段 上时： ， 整理得： ， ， ∴方程无实数根； ②当P在延长线上时： ， 整理得：， 解得： ∵此时P在延长线上， ∴,即 舍去，符合题意； 答：当时， 的面积为； （3）存在， 当平分时，过点P作 于点D，如图所示： ∵平分 ， 在 中，， ， ∵， ， ， ∵， ∴， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 当平分的外角时，过点P作 于点D，如图所示： 同理得， ，， ， ∵ ∴， 解得：，符合题意； 综上可得：或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 2.4一元二次方程的应用 知识归纳与题型总结 考点01 一元二次方程应用中的常见数量关系 1. 几何问题 （1）面积公式：，，，； 说明：①a，b分别为长方形的长、宽； ②a为正方形的边长； ③r为圆的半径； ④a为三角形的一边长，h为边长为a的边上的高． （2）体积公式：，，，． 说明：①a，b，h分别为长方体的长、宽、高； ②a为正方体的棱长； ③R为圆柱底面圆的半径，h为圆柱的高； ④R为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高． 2. 传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=二轮传染后被传染的总数． 3. 计数问题 若参赛队伍数为n，则单循环赛中每队比赛场数为场，比赛总场数为场. 双循环赛中每队比赛场数为2场，比赛总场数为场． 4. 数字问题 两位数 十位数字 个位数字 三位数 百位数字 十位数字 个位数字 5. 平均增长（降低）率问题 设增长（降低）的基数为a，每次的平均增长率（降低率）为x，增长（降低）n次后的数量为b， 则增长率公式为，降低率公式为． 6. 销售利润问题 （1）利润=售价－进价； （2）利润率=； （3）售价=进价； （4）总利润=每件商品的利润×销售量=总收入－总支出． 考点02 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可简单地分为审、设、列、解、验、答六个步骤． （1）审：认真审题，分析题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系； （2）设：用字母（如x）表示题目中的一个未知量； （3）列：根据等量关系，列出所需的代数式，进而列出方程； （4）解：解方程，求出未知数的值； （5）验：检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去； （6）答：写出答案（包括单位名称)． 考向01 传播问题 【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 考向02 增长率问题 【例2】一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 考向03 与图形有关的问题 【例3】南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 考向04 数字问题 【例4】如图是小丽与DeepSeek的对话截屏，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（     ） A． B．1 C． D． 考向05 营销问题 【例5】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 考向06 动态几何问题 【例6】如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 考向07 工程问题 【例7】某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 考向08 行程问题 【例8】《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 考向09 图表信息问题 【例9】如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    考向10 握手，循环赛问题 【例10】在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 考向11 其他问题 【例11】我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对． 已知关于的方程 (1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值； (3)若是它的互补对，求的值． 【对点1】有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【对点2】松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【对点3】某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【对点4】如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（     ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A． B． C． D．1 【对点5】黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【对点6】如下图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为________． 【对点7】某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【对点8】已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【对点9】体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【对点10】2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【对点11】小健为了科学健身，依次采用慢跑、快跑、核心力量训练的健身模式，每次健身总时长60分钟．慢跑平均每分钟消耗热量6千卡，快跑平均每分钟消耗热量12千卡，核心力量训练时，第一分钟消耗千卡，后续每分钟比前一分钟多消耗千卡． (1)小健在某次健身时，其中核心力量训练时长为t分钟（t为整数），则最后一分钟消耗的热量是__________（用含t的代数式表示）千卡，t分钟总消耗热量是__________（用含t的代数式表示）千卡． 提示：若一列数，，…，，满足，则． (2)小健在某次健身中，慢跑时长为快跑时长的3倍，他在本次训练中，总消耗热量是否有可能达到380千卡？若能，请写出慢跑、快跑及核心力量训练的时长，若不能，请说明理由． 一、选择题 1．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 3．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 5．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 6．近年来，苏州环境空气质量稳中向好，各项空气质量指标整体稳定在国家二级标准，下图是“年苏州市空气优良天数比例”条形统计图．若设年苏州市空气优良天数比例的年平均增长率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 7．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 8．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 9．如图，，，，，在边上取点P，使得与相似，这样的P点共有2个，则m满足的条件是（    ） A．或 B． C． D． 10．《四元玉鉴》是中国古代数学家朱世杰创作的一部数学著作，成书于1303年．该书是一部成就辉煌的数学名著，在宋元数学发展的高峰中占有重要地位．嘉淇对其中的“买椽多少”问题进行了改编：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为216文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．下列说法不正确的是（   ） A．设这批椽的数量为x株，则 B．这批椽的总运费为24文 C．一株椽的价钱为24文 D．这批椽一共有9株 二、填空题 11．某药品两次涨价，零售价涨为原来的倍，已知两次涨价的百分率一样，求每次涨价的百分率________（精确到，） 12．有一个人患了流感，两轮传染后共有人患了流感，则平均每人传染_____人． 13．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 14．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 15．如图，在菱形中，，，点E是边上一点，连接，将沿翻折得到；线段所在直线与所在直线交于点G，当时，求线段的长______． 三、解答题 16．长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 17．某商场服装专柜在销售中发现，某款童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量．经过调查发现，每件童装降价4元，平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装降价多少元？ 18．有5个人患了流感，经过两轮传染后共有245个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？ 19．目前，瓜沥镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）． (1)用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积； (2)若a，b满足代数式，求； (3)若已知值满足（2）的条件，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？ 20．如图，在中，，，．有一动点P从B点出发，在射线方向移动，速度是．在P点出发2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线方向移动，速度是．若设P出发后时间为t秒． (1)用含t的代数式分别表示线段的长度，并写出相应的t的取值范围． (2)连接，求使面积为时相应的t的值． (3)问是否存在这样的时间t，使平分或者的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $