1.3 矩形的性质与判定（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.3矩形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 考向01 矩形性质理解 【例1】下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．每条对角线平分一组对角 考向02 利用矩形的性质求角度 【例2】如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 考向03 根据矩形的性质求线段长 【例3】如图，矩形的顶点，分别在的边，上，顶点，在的对角线上． (1)求证：； (2)若为的中点，， ①求证：四边形是菱形． ②当，时，直接写出矩形的面积． 考向04 根据矩形的性质求面积 【例4】如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为__________． 考向05 根据矩形的性质证明 【例5】如图，在矩形中，点、分别是、边上的点，连接、，，求证：四边形是平行四边形． 考向06 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（     ） A． B． C．7 D．8 考向07 矩形与折叠问题 【例7】如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接． (1)填空：_________（填“”或“”）； (2)求的度数； (3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明． 【对点1】已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【对点3】如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【对点4】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中以为对角线作一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以为对角线作一个面积为6的矩形． 【对点5】如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，过点以同样的方式作射线交于点，分别过点，作，，分别交，于点，，连结． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，探索与的数量关系并证明． 【对点6】如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 【对点7】如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证： (2)若，，求的面积． 考点02 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 考向01 斜边的中线等于斜边的一半 【例1】如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【对点1】如图，在中，、分别为边、的中点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 考点03 矩形的判定 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 考向01 矩形的判定定理理解 【例1】如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 考向02 添一条件使四边形是矩形 【例2】在平行四边形中，下列条件中不能判定它是矩形的是（    ） A． B． C． D．（为对角线交点） 考向03 证明四边形是矩形 【例3】如图，在平行四边形中，过点作于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求平行四边形的周长． 考向04 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】某课外小组的同学尝试利用勾股定理测量学校教学楼的高度（如图所示）．经测量，无人机的遥控器离地面的高度米，围墙的高度米．观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米；观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米；无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． (1)求观测点到围墙的水平距离． (2)求教学楼的高度．（忽略无人机自身的尺寸） 考向05 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】如图，体育课上，小杨与他的同学玩荡秋千，秋千在平衡位置时，下端E离地面，当秋千荡到位置时，下端B距平衡位置时的水平距离为，距地面，请计算秋千的长． 考向06 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列命题是假命题的是（     ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形对边平行 D．对角线相等的四边形是矩形 【对点2】如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 【对点3】如图，是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，求的长及菱形的面积． 【对点4】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【对点5】如图，在四边形中，，，，对角线平分，若，则的长为________． 【对点6】如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D．24 一、选择题 1．已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（     ） A．添加条件，则是菱形 B．添加条件，则是矩形 C．添加条件，则是矩形 D．添加条件，则是菱形 2．如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 3．如图，在矩形中，点是边的中点，点是上的一点，连接，，点是中点，连接，要求长，只需知道以下线段（     ）的长． A． B． C． D． 4．如图，是的两条中位线，与三角形两边围成了四边形，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是菱形 5．如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，矩形是某小区地下停车位（，单位：）．经测量，该矩形的周长与面积的数值恰好相等，车位的长和宽均为正整数，则该停车位的面积是（     ） A． B． C． D． 7．下列命题中，是真命题的有（     ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点，记，．当点，的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，过点C作，交边于点E，连结．若平分，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 二、填空题 11．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，连接，则的长为___________． 12．图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 13．如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为________． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点于点，若，则的最小值为___________． 15．如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 三、解答题 16．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求长． 17．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 镜面四边形 【概念理解】 如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”，这条对角线叫做它的“镜面轴”． 【问题解决】 问题1：（1）下列四边形一定是“镜面四边形”的有____________（填序号）． ①平行四边形   ②矩形   ③正方形   ④菱形   ⑤梯形 问题2：如图2，在矩形中，是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”（点在四边形内），连接并延长交于点． 求证：四边形是“镜面四边形”． 证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， … 任务： (1)问题1中应填_______________． (2)补全问题2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形，是边的中点，连接．请你用无刻度直尺和圆规，在平行四边形内找一点，使得四边形是以为镜面轴的“镜面四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求用无刻度直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图1，在网格中取一点，使得四边形是平行四边形． (2)如图2，在和上分别取点M，N，连接，使得． 19．如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 20．如图，长方形在直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，点在轴上，点在边上，且，点的坐标为，动点在线段上． (1)求直线的表达式； (2)在直线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 1.3矩形的性质与判定 知识归纳与题型总结 考点01 矩形的性质 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 对边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相平分 ， 考向01 矩形性质理解 【例1】下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对边平行且相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】D 【分析】只需对比两类图形的性质，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形的性质为二者共有， ∵平行四边形具有对角线互相平分、对边平行且相等的性质， ∴选项A，C都是菱形和矩形共有的性质，不符合题意； ∵对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质， ∴选项B不符合题意； ∵菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角， ∴该性质是菱形具有而矩形不一定具有的性质，故选项D符合题意． 考向02 利用矩形的性质求角度 【例2】如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，根据矩形的性质推出，，再结合，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】如图，连接交于点， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，即，． 考向03 根据矩形的性质求线段长 【例3】如图，矩形的顶点，分别在的边，上，顶点，在的对角线上． (1)求证：； (2)若为的中点，， ①求证：四边形是菱形． ②当，时，直接写出矩形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)①证明：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②16 【分析】（1）由矩形的性质得到，则可证明；再证明，即可证明，进而可证明； （2）①连接，证明四边形是平行四边形，得到，由矩形的性质推出，则可证明，即可证明平行四边形是菱形；②连接交于点O，连接，由菱形的性质得到，；可证明，得到，则可证明；证明点O为的中点，得到，可求出，得到；过点F作于点R，证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图所示，连接交于点O，连接， 由（3）①知四边形是菱形， ∴，； ∵四边形是矩形，， ∴； ∵为的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由（1）得 ∴， ∴， ∴，即点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点F作于点R， 在中，， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 考向04 根据矩形的性质求面积 【例4】如下图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为，则第个矩形的面积为__________． 【答案】 【分析】标记各点，并连接对角线交于点O，则四边形是矩形，根据矩形性质，得到是的中点，同理可得、、分别为、、的中点，再根据三角形中位线定理，得出第二个矩形的面积第一个矩形的面积的，进而推出第n个矩形的面积第一个矩形的面积的，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点，并连接对角线交于点O，则四边形是矩形， ∴对角线、互相平分，即对角线、的交点为， ∴是的中点， 同理可得，、、分别为、、的中点， 又∵、、、分别为、、、的中点， ∴、、、分别为、、、的中位线， ∴、、、， ∴矩形的面积为， 即第二个矩形的面积第一个矩形的面积的， 同理可得，第三个矩形的面积第二个矩形的面积的第一个矩形的面积的， …… 故第n个矩形的面积第一个矩形的面积的， ∵第一个矩形的面积为， ∴第个矩形的面积为． 考向05 根据矩形的性质证明 【例5】如图，在矩形中，点、分别是、边上的点，连接、，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， 又点在上，点在上， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形中，，， ∴四边形是平行四边形． 【分析】首先利用矩形的性质，得到为直角，且与互相平行，在中，可得与的和为，结合题目给出的，即可推出与相等，结合的性质，可得与相等，通过等量代换得到与相等，进而推出与平行，最后依据平行四边形的判定定理即可完成证明． 【详解】略． 考向06 求矩形在坐标系中的坐标 【例6】如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（     ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【分析】过作于，过作于，延长线交于，根据矩形的性质和等面积法可算得，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， 作点关于直线的对称点，可得，最小值为的长度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于，延长线交于， ∵四边形为矩形，，， ∴矩形面积， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点的轨迹是平行于、且到距离为2的定直线， 以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， ∴，，点所在直线为， 作点关于直线的对称点， ∴，最小值为的长度， 由勾股定理： ， ∴的最小值为． 考向07 矩形与折叠问题 【例7】如图1，在矩形中，，点、分别在边、上，且满足．将矩形沿直线折叠，使点与重合，点与重合，点恰好落在边上，连接． (1)填空：_________（填“”或“”）； (2)求的度数； (3)如图2，过点作的平分线，交直线于点．请猜想线段、和之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2) (3)解：猜想，证明如下：     如图，在线段上截取，连接， 由（1）得， ， 在矩形中，， 由折叠的性质可得， ∴， ， ， ； 平分， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形，     ，， ， ， ，         ，， ， ，     又， ．     【分析】（1）由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，则可证明，得到； （2）连接，由折叠的性质得，，证明，得到，再证明，即可得到；         （3）如图，在线段上截取，连接，证明，推出，则可证明，再证明为等腰直角三角形，得到，，证明，得到，，则可证明，再由勾股定理即可得到结论．     【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由折叠的性质得，， 在矩形中，，， ， ， ，         ， 又， ， ，             ；         （3）略 【对点1】已知矩形，对角线、交于点，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵四边形是矩形，对角线、交于点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ，即，故C选项正确，不符合题意； ，，， ∴，故D选项正确，不符合题意． 由于矩形的对角线不一定垂直，故B选项不一定正确，符合题意． 【对点2】如图，矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【对点3】如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在菱形中，对角线、相交于点， ∴，即， ∴平行四边形是矩形； (2)14 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质推出，据此可证明四边形是矩形； （2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在菱形中，对角线、相交于点， ∴，即，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形的周长． 【对点4】图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中以为对角线作一个面积为4的平行四边形； (2)在图②中以为对角线作一个面积为6的矩形． 【答案】(1)如图①中，四边形即为所求； (2)如图②中，四边形即为所求 【分析】（1）作一个底为2，高为2的平行四边形即可； （2）作一个为对角线，邻边分别为，的矩形即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：略 【对点5】如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径作弧交于点，作射线交于点，过点以同样的方式作射线交于点，分别过点，作，，分别交，于点，，连结． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，探索与的数量关系并证明． 【答案】(1) 证明：由尺规作图可知，平分，平分， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形为矩形． (2) 解：，理由如下， 由（1）可知四边形为矩形，连接 ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先由尺规作图判定角平分线，再结合平行四边形性质证，结合、得到直角，即可证四边形是矩形； （2）先由矩形性质得，结合推出；再用角平分线和平行线证、，结合平行四边形得，推导出，等量代换即可证． 【详解】（1）略． （2）略． 【对点6】如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和点A，C的坐标即可得到B点坐标；由折叠和平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，、 ∴，，， ∴B点坐标为； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 【对点7】如图，四边形是矩形，把矩形沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点． (1)求证： (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， 矩形沿对角线折叠点落在点处， ∴，， ∴，, 在和中， ∴． (2) 【分析】（1）根据矩形的对边相等可得，，再根据翻折的性质可得，，然后求出，，再利用“角角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，勾股定理求出，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ∴由勾股定理得， ∵， ， ∴的面积． 考点02 直角三角形的性质定理 1. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2. 数学语言描述：如图，在Rt 中，，D为AC 的中点，则 ． 3. 定理的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 在中，若，且D为AC的中点，则为直角三角形． 考向01 斜边的中线等于斜边的一半 【例1】如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，， 又点在的延长线上 四边形是平行四边形 (2) 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明； （2）证明是中点，利用斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，        ， ，         点为的中点， ， ， ． 【对点1】如图，在中，、分别为边、的中点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别为边的中点， ∴， ∴， ∵． ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴． 又∵F为边的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．由E、F分别为边的中点可推出．即可利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，证明四边形是平行四边形，即得出结果． （2）由，，可推出，根据直角三角形斜边中线的性质，可推出，所以平行四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 考点03 矩形的判定 1．根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．根据对角线：对角线相等的四边形是矩形． 3．根据角：有三个角是直角的四边形是矩形． 考向01 矩形的判定定理理解 【例1】如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是（     ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】C 【详解】解：如图：可知可拼成平行四边形、等腰梯形和矩形三种不同的形状． 可知将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开不能拼成的特殊四边形是菱形． 考向02 添一条件使四边形是矩形 【例2】在平行四边形中，下列条件中不能判定它是矩形的是（    ） A． B． C． D．（为对角线交点） 【答案】C 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形是矩形，由可以判定平行四边形是矩形，不符合题意； B选项，有一个角是直角的平行四边形是矩形，由可以判定平行四边形是矩形，不符合题意； C选项，邻边相等的平行四边形无法判定是矩形，符合题意； D选项，平行四边形对角线互相平分，为对角线交点，，，，，对角线相等的平行四边形是矩形，可以判定平行四边形是矩形，不符合题意． 考向03 证明四边形是矩形 【例3】如图，在平行四边形中，过点作于点，，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，则可证明，进而证明四边形是平行四边形，再由，即，即可证明平行四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，接着求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长 ． 考向04 根据矩形的性质与判定求角度 【例4】某课外小组的同学尝试利用勾股定理测量学校教学楼的高度（如图所示）．经测量，无人机的遥控器离地面的高度米，围墙的高度米．观测者站在围墙外处，无人机悬停在围墙上方处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米；观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米；无人机悬停在教学楼顶部处，观测者从向教学楼走到处，遥控器显示无人机到遥控器的距离米． (1)求观测点到围墙的水平距离． (2)求教学楼的高度．（忽略无人机自身的尺寸） 【答案】(1)为4米 (2)为13.5米 【分析】（1）先根据垂直与等长线段判定四边形为矩形，得到直角，算出直角边长度，再直接运用勾股定理求出水平距离． （2）作辅助线构造两个共直角边的直角三角形，设为未知数，分别对、列勾股定理等式，联立方程解出，求出后加上底部的高度得到教学楼总高． 【详解】（1）解：依题意得：，，点，，共线， ，， ， 四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ， ， 是直角三角形， ，， ． 在中，由勾股定理得：（米）， 答：观测点D到围墙的水平距离为4米； （2）解：延长交于点，如图所示： 依题意得：，，米，米，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ，米， 和都是直角三角形，设米， 米， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：，     （米）， （米）， 答：教学楼的高度为13.5米． 考向05 根据矩形的性质与判定求线段长 【例5】如图，体育课上，小杨与他的同学玩荡秋千，秋千在平衡位置时，下端E离地面，当秋千荡到位置时，下端B距平衡位置时的水平距离为，距地面，请计算秋千的长． 【答案】 【分析】过点B作地面的垂线，垂足为D，延长于地面交于点C，则四边形是矩形，可得到，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作地面的垂线，垂足为D，延长与地面交于点C， 由题意得，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：秋千的长为． 考向06 根据矩形的性质与判定求面积 【例6】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，作于M，交于N，则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，从而得出． 【详解】解：如图，作于M，交于N， ∵四边形是矩形， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【对点1】下列命题是假命题的是（     ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．矩形的对角线相等 C．平行四边形对边平行 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据矩形和平行四边形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解： A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，这是平行四边形的判定定理，是真命题； B．矩形的对角线相等，这是矩形的性质，是真命题； C．平行四边形对边平行，这是平行四边形的性质，是真命题； D．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等，但等腰梯形不是矩形，因此该命题是假命题． 【对点2】如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故选D． 【对点3】如图，是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证，四边形是矩形． (2)若，，求的长及菱形的面积． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 平行四边形是矩形； (2)的长为1；菱形的面积为 【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形．由菱形对角线互相垂直，得，即，进而即可证四边形是矩形； （2）由菱形四边相等得，结合，可判定是等边三角形，故，则．由菱形对角线互相垂直，在中由勾股定理得，故．代入菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， 又， 是等边三角形， ． ∴， ， ∴， ， ∴． 【对点4】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【对点5】如图，在四边形中，，，，对角线平分，若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点B作于点M，过点D作于点N，根据与勾股定理求出，，由角平分线与平行线的性质证明，得到，即可求出的长，证明四边形是矩形，求出与，再由得出为等腰三角形，求出，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点B作于点M，过点D作于点N，则． ∵， ∴在中，， ． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【对点6】如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D．24 【答案】B 【分析】连接交于，与相交于点K，根据菱形的性质得到，，根据三角形中位线的性质证明四边形是矩形，根据矩形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：连接交于，与相交于点K， ∵四边形是菱形，且面积为， ∴，， ∴，． ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是矩形． ∴． 一、选择题 1．已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（     ） A．添加条件，则是菱形 B．添加条件，则是矩形 C．添加条件，则是矩形 D．添加条件，则是菱形 【答案】C 【分析】结合矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，仅能说明边等于对角线，无法推出邻边相等，不能判定是菱形，选项说法错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加，是菱形，不是矩形，选项说法错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，选项说法正确； D、由知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，不是菱形，选项说法错误． 2．如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定及性质，菱形的面积公式以及三角形外角的性质判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，故①正确， 如图，设与交于点，   ， 由题意得垂直平分， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确， ，， ，故③错误， ， ， ，故④正确， 综上所述，①②④正确． 3．如图，在矩形中，点是边的中点，点是上的一点，连接，，点是中点，连接，要求长，只需知道以下线段（     ）的长． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理证明且，从而证得四边形为平行四边形，得出，再利用直角三角形斜边中线定理即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， 四边形是矩形， ，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，是斜边的中点， ， ， 要求长，只需知道的长． 4．如图，是的两条中位线，与三角形两边围成了四边形，下列说法不正确的是（     ） A．四边形一定是平行四边形 B．若，则四边形是矩形 C．若，则四边形是菱形 D．若，则四边形是菱形 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理可得 ，，从而判定四边形 为平行四边形；再根据矩形、菱形的判定定理结合选项条件逐一判断即可． 【详解】解：，是 的两条中位线 ， 四边形是平行四边形，故 A 选项说法正确； 若，则平行四边形是矩形，故 B 选项说法正确； 若， 是的中点 ，即 平行四边形是菱形，故 D 选项说法正确； 若，不能推出，即不能推出 四边形 不一定是菱形，故 C 选项说法不正确． 5．如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，延长交于点，得出四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质进而得出，则，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， 即， ，， ， ． 6．如图，矩形是某小区地下停车位（，单位：）．经测量，该矩形的周长与面积的数值恰好相等，车位的长和宽均为正整数，则该停车位的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据该矩形的周长与面积的数值恰好相等得到，则可推出，根据均为正整数求出符合题意的的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为正整数， 又∵为正整数， ∴或或， ∴或或， 当时，，满足，符合题意，则该停车位的面积是； 当时，，不满足，不符合题意； 当时，，不满足，不符合题意； 综上所述，该停车位的面积是． 7．下列命题中，是真命题的有（     ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可得到答案． 【详解】解：①，的平方根是，不是，因此①是假命题； ②对角线相等的平行四边形才是矩形，等腰梯形的对角线也相等，但不是矩形，因此②是假命题； ③根据三角形中位线定理，顺次连接任意四边形各边中点所得四边形的两组对边，分别平行于原四边形的两条对角线，因此所得四边形的两组对边分别平行，是平行四边形，因此③是真命题； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的判定定理，因此④是真命题； 综上，真命题一共有个． 8．如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为，宽为的矩形，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，于是过定点沿直线向矩形射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，则该直线与矩形边的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形的中心坐标，再结合点的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边的交点坐标即可． 【详解】解：矩形的长为，宽为，且点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上， 点，点，点，点， 直线将矩形分成面积相等的两部分， 该直线必经过矩形的对称中心（即对角线的中点）， 设矩形中心为点，则点的坐标为，即， 设过点和点的直线解析式为， ，解得， 直线解析式为， 点，点， 线段在直线上， 令，则，解得， 该直线与矩形边的交点坐标为． 9．如图，射线，，，分别是，上的两个动点（不与，重合），，是上一点，，是的中点，记，．当点，的位置发生变化时，下列代数式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造中位线辅助线，利用三角形中位线定理、平行线性质，结合的数量关系，推导出、固定关系式，再逐个化简选项代数式判断定值． 【详解】解：延长至，使，连接， 是中点，， 是的中位线，， 即， 设， 由得：， 设，则，，， ，， 、， ， 作延长线于点，则四边形为矩形， ， 根据勾股定理，，， ， 即， ， A、随动点变化，差值改变； B、随动点变化； C、随动点变化； D、，为定值． 10．如图，在四边形中，，过点C作，交边于点E，连结．若平分，，，则的长是（     ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，证明四边形是矩形，得到，结合已知条件证明是等腰直角三角形，求出，再利用角平分线和等腰三角形性质求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 又， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 平分， ， ， 在上取点，使得， ， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， ． 二、填空题 11．如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点，连接，则的长为___________． 【答案】4.1 【分析】根据矩形的性质和垂直平分线的性质表示边长，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵矩形，，， ∴，，， ∵为的垂直平分线， ∴， 设， ∴， ∴， 在中，，，，根据勾股定理， ∴， 整理得， ∴， ∴的长为． 12．图1是轨道示意图，其中四边形是矩形，对角线，相交于点，．机器人以的速度在轨道上作匀速运动，且运动方向只能在点，，，，处发生改变．机器人从点出发，经过其余四点各一次后，回到点．设机器人的运动时间为（单位：），机器人到点的距离为（单位：），与的函数图象如图2所示，则取最大值时，机器人在轨道上的位置是点_____． 【答案】 【分析】首先由矩形性质得到，然后结合函数图象判断出取最大值时的位置点． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵由图象可得，当时，， ∴当时，机器人从点运动到点，或从点运动到点， ∵从时到取最大值时，随的增大而增大， ∴机器人从点运动到点，或从点运动到点， 根据题意可知，机器人从点出发，需要经过其余四点各一次后，回到点， 若机器人从点运动到点，再点运动到点，运动方向没有发生变化，从函数图象看运动方向发生了变化，此种情况不符合题意，舍弃， ∴可得出机器人从点运动到点，再从点运动到点，且在点时取得最大值． 13．如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为________． 【答案】/ 【分析】本题考查实数的计算，根据勾股定理计算出的长度，然后计算点的横坐标即可． 【详解】在矩形中，， ， 点横坐标为：， 即点 14．如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点于点，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图：连接，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵于点于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小， ∴， ∴，解得：， ∴的最小值为. 15．如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接和，若，，①四边形是菱形；②；③；④若点是直线上的一个动点，则的最小值是9．其中一定正确的结论的序号为________________． 【答案】①②④ 【分析】对于①，容易判断直线垂直平分，则，，进而证明，则，结合可得，从而得到，因此四边形是菱形；对于②，由勾股定理可得，再使用勾股定理可计算出；对于③，直接使用菱形的面积公式进行计算即可；对于④，由垂直平分线的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：由尺规作图可知，直线垂直平分， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 在中，，故②正确； ∵， ∴③错误； ∵直线垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 又∵， ∴的最小值为，故④正确； 综上，正确的结论为①②④． 三、解答题 16．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求长． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ， 点为中点， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形． (2)5 【分析】本题主要考查了菱形综合，熟练掌握菱形性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 根据菱形性质得到，结合中点性质得到，根据得到四边形为平行四边形，结合垂线性质，即可得出结论； 由菱形的性质得，，结合中点性质得到，中由勾股定理得到，由矩形的性质得到，，得到，中由勾股定理得到． 【详解】（1）略 （2）四边形为菱形， ，， ， 点为的中点， ， ，， ， 由(1)知，四边形是矩形， ，， ． 17．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 镜面四边形 【概念理解】 如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”，这条对角线叫做它的“镜面轴”． 【问题解决】 问题1：（1）下列四边形一定是“镜面四边形”的有____________（填序号）． ①平行四边形   ②矩形   ③正方形   ④菱形   ⑤梯形 问题2：如图2，在矩形中，是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“镜面四边形”（点在四边形内），连接并延长交于点． 求证：四边形是“镜面四边形”． 证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， … 任务： (1)问题1中应填_______________． (2)补全问题2的证明过程． (3)如图4，四边形是平行四边形，是边的中点，连接．请你用无刻度直尺和圆规，在平行四边形内找一点，使得四边形是以为镜面轴的“镜面四边形”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)③④ (2)证明：如图3，连接． ∵四边形是矩形， ， 是的中点， ． ∵将沿折叠后得到， ， ， ． 在和中， ， ∴四边形沿折叠完全重合， ∴四边形是“镜面四边形”． (3)如图，四边形即为所求． 【分析】（1）根据“镜面四边形”的定义进行判断即可； （2）证明，则四边形沿折叠完全重合，即可证明结论成立； （3）作以为圆心，为半径画弧交于点F，连接，则四边形即为所求． 【详解】（1）解：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“镜面四边形”，据此可知一定是“镜面四边形”的有③正方形和④菱形； （2）略 （3）略 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求用无刻度直尺作图，保留作图痕迹． (1)如图1，在网格中取一点，使得四边形是平行四边形． (2)如图2，在和上分别取点M，N，连接，使得． 【答案】(1)如图，四边形即为所求， (2)如图，线段即为所求， 【分析】（1）取格点D，连接，四边形即为所求作的平行四边形； （2）取格点E，F，连接交于点M，取格点G，H，连接交于点N，连接，则． 【详解】（1）解：图略，理由： ∵，， ∴四边形即为所求作的平行四边形； （2）解：图略，理由， ∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴点M是的中点，点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 19．如图，在矩形中，点、分别在、上．直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵直线分别交、的延长线于点、， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）利用矩形对边平行且相等，结合推出与平行且相等，证得四边形是平行四边形； （2）根据菱形四边相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求出，再等量代换得到． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故． 20．如图，长方形在直角坐标系中，点在轴上，点的坐标为，点在轴上，点在边上，且，点的坐标为，动点在线段上． (1)求直线的表达式； (2)在直线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得点D的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）分点在下方和上方两种情况，分别画出图形，运用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：长方形中，点的坐标为， ，点的纵坐标为． ， ． 点的坐标为．                      设直线的表达式为， 得，解得． ∴直线的表达式为． （2）解：①如图：当点在下方时，过点作轴交轴于点，交于点，则． 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，． ． ． ． ，． 设的坐标为， ，． ， ． ． ． ； ②点在上方时，过点作轴交轴于点，交直线于点， 同理得， ，． 设， ，． 又， ． ． ． ． 所以点的坐标为或． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $