1.1 集合的概念与表示 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“集合的概念与表示”，通过方程解的有无问题导入，衔接初中点集、数集基础，以1~10奇偶数组集等实例为支架，引导学生从具体到抽象理解集合概念及元素与集合的关系。 以问题链驱动探究，如用“较小的数能否构成集合”辨析元素确定性培养推理意识，对比列举法与描述法引导用符号语言表达，分层目标适配学情，助力教师高效教学，学生提升抽象能力与应用意识。

教案设计 科 目 数学 年 级 高二 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 1.1 集合的概念与表示 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。 2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言 刻画集合。 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义。 教材分析 集合是刻画一类事物的语言和工具，集合语言可以简洁、准确地表述数学对象及研究范围，是现代数学的基础.本单元要在初中初步接触集合的基础上，学习集合的初步知识，为后续学习做好语言和工具的准备. 集合是一个原始的、不加定义的描述性概念，高中阶段学习的主要任务是通过实例理解其含义，并用正反例辨析集合的确定性，用描述法表示集合中元素的共同特征是重点、也是难点 教科书选取了奇数集、偶数集和有理数集等实例以帮助学生理解和突破难点. 本单元是高中数学的第一单元，按照“集合的含义→表示→基本关系→基本运算”的顺序展开，体现了类比、分类讨论的数学思想方法，本单元还进行了“符号化”，建立了符号表示与数学意义之间的联系.Venn图和数轴则是梳理集合的基本关系和基本运算的有效工具，体现了数形结合的思想方法. 学情分析 1.学生在初中已经接触过集合，对点集、数集有了一定的感性认识．本单元的新概念、新符号较多如元素与集合、属于与包含、交集、并集、全集、补集等，抽象程度较高，学生会有一定的困难. 2.对于空集的理解存在困难．空集概念很抽象,不含任何元素,是任何集合的子集，这一特殊性使得学生在具体情境中，往往遗漏了要考虑给定的集合是否为空集.为此，需要通过典型事例帮助学生加深空集含义的理解，逐步形成相应的思维习惯. 3.描述法是集合表示方法中最重要的一种，涉及对数学对象一般特征的抽象，还需要用恰当的符语言进行表示，这对学生有较大的困难.为此，教学中需要通过具体事例帮助学生分析数学对象，加强号语言的运用，更准确地抽象化数学对象. 单元教学目标 1.集合的概念与表示 ①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. ②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. ③在具体情境中，了解全集与空集的含义. 2.集合间的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.集合的基本运算 ①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集. ③能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 单元教学重点 难点 构建集合的符号语言体系，集合的基本关系和运算. 单元课时分配 本单元分为4课时: 第1课时， 集合的概念与表示； 第2课时， 集合间的基本关系； 第3、4课时，集合的基本运算. 第一课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能通过具体实例说明哪些是集合、哪些不是集合，能判断元素与集合的关系，并会用符号ϵ，∉表示元素与集合的关系. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能在具体的情境中用列举法、描述法表示集合，并会根据具体情况选择合适的表示方法. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，通过集合的相关符号语言学习，初步建立集合的符号语言体系，感受数学的简洁美. 课时学习重难点 教学重点：集合的概念与表示方法，元素与集合的关系． 教学难点：用描述法表示集合． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 思考并回答以下问题： （1）你能求出的解吗？ （2）方程有解吗？ 答：（1） ； （2）无实数解 2、 预习课本：(通过阅读课本，思考问题1的答案) 示例:1~10之间的奇数是1,3,5,7,9，把其中每一个数作为元素，这些元素的全体就是一个集合. 阅读课本2~3页回答问题1，总结集合的概念 问题1 你能仿照引例说明下列（1)~(6）也是集合吗？它们的元素分别是什么？ （1） 1~10之间的所有偶数； （2）我们学校今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线 的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋． 答：都是集合，元素分别为 （1）能构成集合，元素是2，4，6，8，10； （2）能构成集合，元素是我们学校今年入学的每一位高一学生； （3）能构成集合，元素是每一个正方形； （4）能构成集合，元素是到直线l的距离等于定长d的每一个点； （5）解方程，因式分解得(x-1)(x-2)=0，根为x=1和x=2，所以元素是1，2； （6）能构成集合,元素是太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。预习评估：（学生能说出总结出集合的概念). 1.集合的概念: 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集） 三、目标一： 学生通过自主探究，能通过具体实例说明哪些是集合、哪些不是集合，能判断元素与集合的关系，并会用符号ϵ，∉表示元素与集合的关系. 。 任务一： 阅读课本2~3页回答问题2，总结元素与集合的关系 问题2 阅读教科书第2页到第3页第一段，并回答下列问题： （1）“较小的数”能构成集合吗？为什么？ （2）集合里面的元素能重复出现吗？ （3）你能举出两个相等的集合的例子吗？ （4）元素与集合可能有哪些关系？用怎样的符号表示？你能举例说明吗？ 答： （1） 不能构成集合。因为“较小的数”没有明确、统一的判定标准，不满足集合元素的确定性，无法确定哪些数属于这个集合。 （2）集合里的元素不能重复出现，集合元素具有互异性。 （3）例子：集合A={1,2}，集合B={2,1}，这两个集合相等； 或者方程(x-1)(x-2)=0的根组成的集合与{1,2}相等。 （4）元素与集合有两种关系： ①属于：符号ϵ。例如：2ϵ{1,2,3}； ②不属于：符号∉。例如：4∉{1,2,3}。 2.元素的性质：确定性、互异性、无序性。 3.相等的集合：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 3.元素与集合的关系: 集合通常用大写字母表示，如A,B,C,···，元素通常用小写字母表示，如a,b,c,···，如果a是A 的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是A的元素，就说a不属于A，记作a∉A. 评估一： 其实我们初中已经学习了一些集合，比如所有自然数组成的集合，称为“自然数集”，是常用的集合.为了方便表达，我们可以用符号"N"表示.阅读教科书，给出自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集等的符号表示，并完成下列填空. 用符号“∈”或“∉”填空： 0 ____ N; -3 ____ N ; 0.5 ____ Z ; ____ Z; . 答： N：自然数集（包含 0,1,2,…）， Z：整数集（包含正整数、0、负整数）， Q：有理数集（整数和分数）， R：实数集（有理数 + 无理数）； 四、目标二： 能在具体的情境中用列举法、描述法表示集合，并会根据具体情况选择合适的表示方法. 任务二： 问题： 除了用自然语言表示集合，能否有更简洁的方法表示集合？请大家阅读教科书第3页，并说说什么叫“列举法”. 4.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例1. 你能用列举法表示以下集合吗？ （1）小于10的所有自然数所组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）不等式x-7<3的解集. 答： （1）能，设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么 A=(0. 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9 }. （2）能，设方程的所有实数根组成的集合为B，那么B={0,1}. （3）不能. （小组讨论）思考：为什么（3）不能用列举法表示？那么该如何表示这类集合呢？请大家阅读教科书第4页，并回答下列问题. （1）{x∈R|x<10} 表示哪些元素所组成的集合？ （2）你能类比{x∈R|x<10}，尝试表示全体奇数所组成的集合吗？全体偶数又该如何表示？ （3）归纳（1）（2）的共性，你能给出集合的描述法的含义吗？ 答：（1）小于10的所有实数； （2） 奇数集可以写成：{x∈Z|x=2k+1,k∈Z} 或者{x|x=2k+1,k∈Z}或者{x|x=2k+3,k∈Z}等 ；偶数集可以写成：{x∈Z|x=2k,k∈Z} 或者{x|x=2k,k∈Z} 或者{x|x=2k+2,k∈Z} 等。 （3） 5.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法. 评估二：会根据具体情况选择合适的表示方法 例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B． （3）一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合. 答：(1)设x∈A，则x是一个实数，且=0.因此，用描述法表示为A={x∈R|}. 方程有两个实数根，-，因此，用列举法表示为A={，-}. (2)设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为 B={x∈Z|10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19}. (3)先解方程组： 把代入第二个方程：，即，得，代入得。 描述法：{ }（或{ }） 列举法： 五、目标三： 通过集合的相关符号语言学习，初步建立集合的符号语言体系，感受数学的简洁美. 任务三：通过习题的练习，体会符号语言的简洁美 练习：用适当的方法表示下列集合： （1）不等式4x-5<3的解集； （2）由方程的所有实数根组成的集合； （3）二次函数的函数值组成的集合； （4）反比例函数的自变量的取值组成的集合. 答： （1）解不等式 ，即4x< 8，解得 x < 2 ， ∴用描述法表示：{ } （2）解方程 ∴用列举法表示：{} （3）二次函数 ， ∴用描述法表示函数值的集合：{ } （4）反比例函数 ，分母不能为 0，即 ∴自变量取值组成的集合：{ } 评估三： 回顾本节内容，描述集合有几种方法？你能结合例子说明如何选择这些方法吗？ 答：两种，列举法与描述法。 学生通过思考发现由于研究范围的不同，答案也不同.因此确定研究范围是研究数学问题的基础. 通过阅读课本，回答问题1，能说出解决每个问题所表示的集合以及其中的元素，教会学生通过阅读和预习解决和研究问题。 先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结，给出元素、集合等概念. 学生通过阅读教科书、举例，感知集合元素的确定性、互异性等，明确两个集合相等的含义，明确元素与集合的属于、不属于关系，教师板书集合、元素的符号语言 学生独立思考、作答，教师总结点评。 学生阅读教科书，先回答常用数集的符号，再完成填空. 学生阅读教科书并说明什么叫列举法. 学生小组讨论，派成员上台展示。 学生独立思考作答，互相补充完善，教师归纳总结. 学生独立思考后回答 先让学生独立思考、回答，教师再引导学生互相评价第二个问题答案是否正确. 通过具体实例，引导学生感知明确研究范围对研究数学问题的重要性，从而了解本章的学习意义. 因为集合是不加定义的概念，所以先用引例给出描述，再通过具体实例让学生进行模仿，帮助学生熟悉元素、集合等概念的内涵. 通过具体实例了解集合的概念，通过正反例辨析理解集合的确定性，得出元素与集合关系和符号表示. 常用数集的符号表示是一种约定，由学生阅读即可.通过阅读，不仅可以使学生知道相关符号，还可以培养其阅读习惯.通过填空让学生熟悉常用数集及其符号表示，感受数学的简洁美. 巩固集合表示的两种方法，并学会根据元素的特征选择合适的方法表示集合.集合的元素不一定是数，可以是点、图形、现实事物等. 提高学生分析问题、总结问题的能力 课堂小结 1.集合的概念 2.元素的性质 3.相等的集合 4.集合与元素的关系 5.表示集合的方法：列举法与描述法 学生作业 1.基础性作业：教科书第5页，练习第1、2、3题； 答案：１.(１)是.满足集合中元素的确定性. (２)不是. “ 游泳能手” 无明确的标准，因此 “高中学生中的游泳能手”不能组成集合. ２. ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ ３. (１){３，－３}；(２){(１，４)}；(３){ｘ｜ｘ<２}. 2. 提升性作业：教科书第5~6页习题1.1第1、2、3、4题． 答案：１.(１)∈ ∉ ∈ ∉ (２)∉　 (３)∉　 (４)∈ ∉ ２.(１){２,３,４,５}；(２)Ａ＝{１,－２}；(３)Ｂ＝{０,１}. ３.(１){ｘ｜ｘ ＝ ２ｎ,ｎ∈Ｚ 且 １≤ｎ≤５}. (２) {１,２,３,１２,２１,１３,３１,２３,３２,１２３,１３２, ２１３,２３１,３１２,３２１}. (３){４,５,６}. (４){造纸术,印刷术,指南针,火药}. 4.(１){ｙ｜ｙ ＝ｘ２ －４，ｘ∈Ｒ} ＝ {ｙ｜ｙ≥－４}. (２){ｘ｜ｘ≠０}. (３){ｘ｜ｘ≥} 3.拓展性作业:类比数的大小、相等关系,思考两个集合是否能比较大小。 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $