精品解析：陕西西安市鄠邑区第四中学2025-2026学年高一下学期期末质量检测数学试卷

2025-2026学年第二学期高一期末质量检测 数学试题 本卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷共4页，四大题，19小题． 2．答卷前考生务必浏览试卷和答题卡，检查印刷和页码数．务必规范、完整填写卷头． 3．答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效．考试结束后，只交答题卡． 4．考生作选择题时，请使用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应位置．非选择题请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答． 第Ι卷 客观题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】没有反面向上的概率， 所以至少一枚反面向上的概率. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由和两边分别平方，解方程组即得的值. 【详解】由，得，即，① 由，得，即，② 由①②得. 4. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的运算，求得的表达式. 【详解】依题意， . 故选：B 【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题. 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A，分别把、、当作直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，，，则，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，分别视为，则，故D不正确. 6. 如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，分别求得，即可求解． 【详解】设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以． 从看的俯角为，则，所以． 由于、在的同侧，则． 7. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】比赛的得分升序排列为：， 由，可知下四分位数为第4项和第5项的平均数，即． 8. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为， 由，解得， 所以正四面体的棱长为. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．） 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得，再利用复数的概念、复数的模、共轭复数的概念以及复数的几何意义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，复数z的虚部是，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，复数z的共轭复数是，故C正确； 对于D，，在复平面内，对应点的坐标为， 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限，故D正确. 故选：CD 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.36 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.94 【答案】AD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式，互斥事件和对立事件的概率求解. 【详解】设甲每次命中为事件，，设乙每次命中事件，， 选项A，两人都命中为事件，甲和乙是否命中互不影响，，故选项A正确； 选项B，恰好有一人命中为， ，故选项B不正确； 选项C，两人都没有命中为事件，，故选项C不正确； 选项D，至少有一人命中的否定为两人都没有命中，两人都没有命中为事件， ，至少有一人命中的概率为，故选项D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，平移直线到直线；对B，作出线面所成的角，再利用三角函数求解；对C，作出二面角的平面角，再求正切值；对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球. 【详解】如图所示，连接， 对A，平移直线到直线，则异面直线AC与所成的角，显然为正三角形，，故A正确； 对B，，，，平面，为线面角，，，，故B错误； 对C，在三角形中，，为二面角的平面角，，故C正确； 对D，利用补形法即三棱锥的外接球为正方体的外接球，，，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查空间中角的概念与计算，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题. 第Ⅱ卷 主观题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在△ABC中，若，则△ABC一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角） 【答案】直角 【解析】 【分析】利用和角正弦公式可得，结合三角形内角性质判断形状即可. 【详解】由题设，则，又， 所以，即△ABC一定是直角三角形. 故答案为：直角 13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平均数的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值. 【详解】因为各个个体的值是有小到大排列的，所以， 又总体平均值为，所以. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为： 14. 在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)中，，分别是，的中点，有下列三个论断：①；②平面；③平面．其中正确论断的序号为________． 【答案】①② 【解析】 【分析】取的中点，连接，证明面即可判断①；利用直线与平面平行的判定定理可判断②利用直线与平面垂直的性质可判断③，进而可得正确答案. 【详解】 对于①：取的中点，连接，， 由，可得，，因为， 所以面，因为面，所以，故①正确； 对于②：因为，分别是，的中点，所以，因为平面， 平面，所以平面，故②正确； 对于③：若平面，则，因为，所以 ，而正三棱锥中与不垂直， 故③不正确． 故答案为：①② 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果； （2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果. 【详解】（1）因为向量，， 则， 则 （2）因为向量，， 则， 若， 则， 解得：． 【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型. 16. 周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 【答案】（1），众数为85，平均成绩为77.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质及众数、平均数定义求解即可. （2）结合分层抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， ，解得． 由频率分布直方图可知初赛成绩的众数为85， 估计初赛成绩的平均数为：． 所以，众数为85，平均成绩为77.5． 【小问2详解】 由（1）知，成绩在，的频率之比为， 则在中随机抽取了人，记为，， 在中随机抽取了人，记为，，， 从5人中随机抽取2人的样本空间为： ，共10个样本点， 设事件“有1名或2名学生的成绩在内”， 则，有7个样本点， 因此， 所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理和余弦定理来求解角的大小； （2）应用三角形的面积公式计算边的数量关系. 【小问1详解】 由可知， 由正弦定理，得， 即． 所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知． 所以， 又， 所以， 所以，即． 所以的周长为． 18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. 【小问2详解】 该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点． （1）求证：AE⊥平面PCD； （2）若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由面面垂直的性质得到平面，即可得到，从而得证； （2）取的中点，连接，，可证平面，则为直线与平面所成的角，即可求出，取的中点，连接，，即可得到为侧面与侧面所成的角，从而得解． 【小问1详解】 证明：在中，，为的中点，所以， 因为平面平面．平面平面， ，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为平面，平面，， 所以平面． 【小问2详解】 解：取的中点，连接，． 在中，，所以． 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面． 所以为直线与平面所成的角． 在中，， 所以， 在中，， 所以，因为，平面，平面，所以平面． 设平面平面，平面，． 所以． 取的中点，连接，． 在中，，所以，所以． 所以为侧面与侧面所成的角， 在中，，所以． 所以侧面与侧面所成的角为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一期末质量检测 数学试题 本卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷共4页，四大题，19小题． 2．答卷前考生务必浏览试卷和答题卡，检查印刷和页码数．务必规范、完整填写卷头． 3．答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效．考试结束后，只交答题卡． 4．考生作选择题时，请使用2B铅笔将正确答案涂在答题卡对应位置．非选择题请用0.5毫米黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答． 第Ι卷 客观题（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则至少出现一枚反面向上的概率为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，为边上的中线，为边的中点，若，则可用表示为 A. B. C. D. 5. 已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某校高二年级个班参加朗诵比赛的得分如下： 则这组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对得3分，选错或不选得0分．） 9. 已知i为虚数单位，在复平面内，复数，以下说法正确的是（ ） A. 复数z的虚部是 B. C. 复数z的共轭复数是 D. 复数z的共轭复数对应的点位于第四象限 10. 甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中的概率均为0.7，乙每次命中的概率均为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则下列结论正确的是（ ） A. 两人都命中的概率为0.56 B. 恰好有一人命中的概率为0.36 C. 两人都没有命中的概率为0.6 D. 至少有一人命中的概率为0.94 11. 如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A. 异面直线AC与所成的角为60° B. 直线与平面成角为45° C. 二面角的正切值为 D. 四面体的外接球的体积为 第Ⅱ卷 主观题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在△ABC中，若，则△ABC一定是__________三角形.（请填写锐角，直角，或钝角） 13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10．则的最小值为_____________． 14. 在正三棱锥(底面为正三角形且侧棱相等)中，，分别是，的中点，有下列三个论断：①；②平面；③平面．其中正确论断的序号为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 周口市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）． （2）按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求至少有1名学生的成绩在内的概率． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求的周长． 18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． （1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率． 19. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，△PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为棱PD的中点． （1）求证：AE⊥平面PCD； （2）若直线PC与平面ABCD所成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $