陕西铜川市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级（2028届)期末考试 数学试题 考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟。 第1卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第75百分位数为() A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 2.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有7个评委打分，去掉一个最 高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分·设对于某选手的演讲， 7个评委的原始评分分别为75,80,85,90,85,95,85，则对比原始评分和有效分两组数据，下 列特征数中，发生改变的是() A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 3.已知复数z满足z·(1+V3)=2,则() A.z=1 B.z=1-3i C.之的虚部为- 2 D.z+乏=V5 4.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01,02,03，··，50 进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()（注：表为随机数 表的第8行和第9行) 63016378591695556719981050717512867358074439523879 33211234297864560782524207443815510013429966027954 A.00 B.13 C.42 D.44 y 5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，若A1C1=2,△A1B1C的面积为2V2, 则AB的长为) 145° A.2 B.2W17 C.2 D.8 C A 6.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若m/a,n/a,则m//n B.若mLa,a⊥3，则m/3 C.若m//3,a⊥3，则m⊥a D.若mLa,nLa,则m/m 第二学期高一期末考试试卷第1页（共4页） 7已知A,B,C三点不共线，点0在平面ABC外，点P满足正=OA+pB+号0C,则当点P, A,B,C四点共面时，实数x=() R司 8.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点E是棱BC1的中点，点F是线段 D CD1上的一个动点·有以下三个命题： B ①异面直线AC1与B1F所成的角是定值 ②三棱锥B-A1EF的体积是定值 ③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值. 其中真命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知在三棱锥A-BCD中，BC⊥CD,AB=AD=V2,BC=1,CD=V3,则() A三棱锥的外接球的体积为 4π B.三棱锥的外接球的体积为3 π C.三棱锥的体积的最大值为 D.三棱锥的体积的最大值为√ 6 10.某班级有50名学生，其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测 验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88， 93.则下列说法不正确的是() A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B.这种抽样方法是一种简单随机抽样 C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 11.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，O是△ABC内部的一个点，下列四个命 题中为真命题的有() A.若AB.BC<0,则△ABC为锐角三角形 B.若O是△ABC的重心，则OA+OB+OC=可 C.若O为△ABC的垂心，AB.AC=2,则AO.AB=2 D.若2OA+OB+3OC=0,S△A0C,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积，则 S△40C:S△ABC=1:6 第二学期高一期末考试试卷第2页（共4页） 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.我国古代数学有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五 百.用分层随机抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则西乡抽人. 13.已知在三棱锥P-ABC中，AC=V2,BC=1,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC, 则其外接球体积为 0 14.如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC,点E为AD的中点， A=a,OB=7,0C=,OA=OC=4,OB=3, ∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，则试用向量d,b,d表示向量 0正= :OE.AC= B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量元=(a,V3b),向量 元=(cosA,sinB),且元/元. (1)求角A: (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积. 16.(本小题15分)已知复数z=m2-m-2+(m-2)i,m∈R,其中i为虚数单位. (1)若z是纯虚数，求实数m的值； (2)若m=3,2是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根，求a+b的值； 17.(本小题15分)某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防满水” 网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率 分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数： 第二学期高一期末考试试卷第3页（共4页） (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防湖水达人”优秀证书，试估计获得“防湖水达人”的成绩至少 为多少分： (3)已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在[60,80)内的平均成绩是73，方差是29，求落 在[70,80)内的平均成绩和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,1,s;n,2,s,记两组数据总 体的样本平均数为四，则总体样本方差子=n干，品+国-四门+n”居+-门。 m+n 频率 组距 0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 405060708090100成绩/分 18.（本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形， PA⊥底面ABCD,PA=AB=a. (1)求四棱锥P-ABCD的表面积； (2)求点C到平面PBD的距离. 19.（本小题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平 面ABCD,AD/BC,AD⊥CD,且AD=CD=V2, BC=2V2,PA=2. (1)取PC的中点N,求证：DN/平面PAB: (2)求直线AC与PD所成角的余弦值： (③)在线段PD上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面 ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与平面MAC所成 角的大小：如果不存在，请说明理由， B 第二学期高一期末考试试卷第4页（共4页）铜川市第一中学2025一2026学年度第二学期高一(2028届)期末考试 数学答题卡 姓名： 准考证号 班级： 考场： 座次： 试卷类型[A][B] 缺考标记口 正确填涂 注意事项 填涂样例 ■ 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、 错误填涂 班级、姓名和座位号，答案使用2B铅笔填涂。 口口回] 2.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。 单项选择题 (40分) 多项选择题(18分) A B c D 9 A B c☑ D 2 A B D 3 D 10 A B c☑ D 4 A B [c] 11 A B□ c D 5 B D 6 D A B A B D 三.填空题(15分) 12 13 14 並禁茬此处作答 严禁在此处作答 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 15. 严禁茬此处作答 第1页（共2页）数学 严禁在此处作答 16. …严禁崔此处作答 切 割 严禁在此处作答 17. 严禁茬此处作答 严禁在此处作答 18. 1 A B C 严禁茬此处作答 第2页（共2页）数学 严禁在此处作答 19. B 严禁在此处作答 切 割铜川市一中2025-2026学年度第二学期高一年级(2028届)期末考试 数学试题答案 考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟。 第1卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第75百分位数为() A.7 B.7.5 C.8 D.8.5 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了百分位数的求解，考查了学生的运算能力，属于基础题。 因为10×75%=7.5，进而可以求解. 【解答】 解：因为10×75%=7.5， 故数据1,2,3,4,5,6,8,9,10的第75百分位数为8. 2.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有7个评委打分，去掉一个最高 分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分·设对于某选手的演讲，7个 评委的原始评分分别为75,80,85,90,85,95,85，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征 数中，发生改变的是() A.平均数 B.中位数 C.方差 D.众数 【答案】C 【解析】原数据由小到大依次为75,80,85,85,85,90,95， 其平均数为75+80+85×3+90+95=85，中位数为85，众数为85， 方若为×5-P+(0-5+3×5-5+90-P+(5-851-2. 从原数据中去掉一个最高分与一个最低分， 剩余的数据由小到大依次为80,85,85,85,90， 新数据的平均数为80+85×3+90=85，中位数为85，众数为85， 5 方差为80-85P+3×(85-852+(90-85}=10, 故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变 第1页，共14页 3.已知复数z满足z·(1+V3)=2,则() A.2=1 B.z=1-3i C之的虚部为-D.g+=V3 2 【答案】A 【解析】解：复数z满足之·(1+V3)=2, 2 2(1-3)1-v3i 1+V3i(1+V3)1-V30= 2，故B错误： 之的虚部为-3，故C错误： 2 以=V分+(=1，故4正确： 1 名+元=22 +1+5=1,故D错误. i+ 2 故选：A. 4.某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01,02,03，··，50 进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第6个个体是()（注：表为随机数表 的第8行和第9行) 63016378591695556719981050717512867358074439523879 33211234297864560782524207443815510013429966027954 A.00 B.13 C.42 D.44 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查简单随机抽样，属于较易题. 从随机数表中第9行第11列开始向右读出符合条件的数，即可得到选出的第6个个体号码. 【解答】 解：从随机数表中找出第9行第11列开始向右读， 符合条件的是42,07,44，38,15,13,02， 故选出的第6个个体是13. 故选：B. 第2页，共14页 5.水平放置的△ABC的直观图如图所示，若AC1=2,△ABC的面积为22，则AB的长为() 人45° 7Ci A: A.V2 B.2V17 C.2 D.8 【答案】B 【解析】略 6.已知m,n是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，则下列说法正确的是() A.若m/a,n//a,则m//m B.若mLa,a⊥3，则m//3 C.若m/3,a⊥3，则mLa D.若mLa,nLa,则m/m 【答案】D 【解析】对于A,由m//a,n/a可得m/n或m,n相交或异面，故A错误； 对于B,由m⊥a,a⊥3可得m//3或mCB,故B错误； 对于C,如图，在长方体ABCD-EFGH中，取平面CDHG为平面a,平面ABCD为B,EF为直线m, 则a⊥B,m//3,但此时m/a,故C错误 对于D,由线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行，可知D正确. H G 机 B 7已知A,B,C三友不共线，点0在平有40C外，点P满是P=O++0,则当方P, A,B,C四点共面时，实数x=() 7 1 1 A.一12 B.一2 c.3 5 D.12 【答案】A 【解析】因为P,A,B,C四点共面， 所以可设AP=mAB+nAC=m(OB-OA)+n(OC-OA)=-(m+n)OA+mOB+nOC, 因为A,B,C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足AP=xO+0B+0C, 第3页，共14页 -m-n=t. 1 m≠4 117 所以 1 故x=432 一题多解 由Ap=01+oi+o0, 得OP-OA=x0A+loB+0C, 则o=e+10+pi+oc, 因为点P,A,B,C四点共面， ++-1,解得E=- 所以(c+1)+4+3 121 8.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点E是棱BC的中点，点F是线段CD1上的一个动点·有以下三个 命题： ①异面直线AC1与BF所成的角是定值； ②三棱锥B-A1EF的体积是定值氵 ③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值. 其中真命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】【分析】 本题重点考查了异面直线所成角、线面夹角及棱锥体积，考查推理论证能力和空间想象能力， 证明ACL平面BCD1,得到AC与BF垂直，判断①的正误；利用线面平行的判定易知CD/面ABE, 第4页，共14页 由等体积法知VB-AEF=VF-ABE,即可判断②的正误；根据线面角的定义，由A1F的情况判断直线A1F 与平面B1CD1所成角的正弦值是否变化，进而可知直线A1F与平面B1CD1所成的角是否为定值. 【解答】 解：在正方体ABCD-AB1CD1中，AB⊥平面BCCB1, .B1CC平面BCCB1, ∴AB⊥B1C, 又.BC1⊥B1C,AB∩BC1=B,ABC平面ABC1,BC1C平面ABC1, ∴.B1C⊥平面ABC1, .·AC1C平面ABC1, ∴.AC1⊥BC,同理可得AC1⊥CD1, 又B1C∩CD1=C,B1CC平面B1CD1,CD1C平面B1CD1, ,∴.AC⊥平面B1CD1,而B1FC平面B1CD1, 则AC与BF垂直，即异面直线AC1与BF的夹角为定值，故①正确： VB-AEF=VF-ABE,又CD1/BA1,CD14平面A1BE,BA1C平面A1BE, .CD/平面A1BE,而F是线段CD1上的一个动点，即F到平面A1BE距离恒定， ∴.VB-AEF为定值，故②正确； 显然，A1F的长度随F的变化而变化，而A1到平面B1CD1的距离不变 所以直线A1F与平面B1CD1所成角的正弦值会随F的变化而变化，则角度也会发生改变，故③错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知在三棱锥A-BCD中，BC⊥CD,AB=AD=V2,BC=1,CD=V3,则() A.三棱锥的外接球的体积为 B三枝锥的外接球的体积为 C.三棱锥的体积的最大值为 D.三棱锥的体积的最大值为√3 6 【答案】AC 【解析】解：如图，因为BC⊥CD,BC=1,CD=V3,所以BD=2, 因为AB=AD=V2,由AB2+AD2=BD2可知AB⊥AD, 所以BD的中点O为三棱锥的外接球的球心， 4π 且球的半径为1，所以球的体积为3，故A正确，B错误： 当平面ABD⊥平面CBD时，点A到平面CBD的距离最大， 第5页，共14页 故此时三棱锥的体积最大，此时高为A0=BD=1, 兰楼体积的辰大值为×分40分BCxCD1xv5=5,故C正路，D错误 3 6 10.某班级有50名学生，其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验 中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93. 则下列说法不正确的是() A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样 B.这种抽样方法是一种简单随机抽样 C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差 D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】ABD 【解析】若抽样方法是比例分配的分层随机抽样，则男生、女生应分别抽取6人、4人，所以A不正确：由 腿日看不出是简单随机抽样，所以B不正确：这5名男生成绩的平均数1=86+94+8+92+90=90， 这5名女生成绩的平均数-8+93+93+8+93=91，故这5名男生成绩的方差为 5 ×[s6-0P+0400+s-0+2-07-00-90月 =8,这5名女生成绩的方差为 ×88-91}×2+(93-91×3=6,所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差，但该班 男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数，所以C正确，D不正确. 11.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边，O是△ABC内部的一个点，下列四个命 题中为真命题的有() A.若AB.BC<0,则△ABC为锐角三角形 B.若O是△ABC的重心，则OA+OB+OC=可 C.若O为△ABC的垂心，AB.AC=2,则AO.AB=2 D.若2OA+OB+3OC=可，S△A0C,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积，则 S△A0C:S△ABC=1:6 【答案】BCD 第6页，共14页 【解析】解：对于A,由AB.BC=AB1BC1cOs(π-∠ABC)<0,得cos(π-∠ABC)<0, 即2<T-∠ABC<元，0<∠ABC<, 仅可得∠ABC为锐角，故A为假命题； 对于B,如图1，D为BC的中点，且AO=2OD, 所以OA+OB+OC=OA+2OD=可，故B为真命题 对于C,如图2，CE⊥AB,所以 AB.AC=AB·AC]cos.∠BAC=ABAE=AB1AO1cos∠BAO=AB.AO=2,故C为真命题； 对于D,如图3，设F,G分别为AC,BC的中点， 则20A+0B+30C=2(0A+0C)+0B+0d=40F+20G=可， 1 11 1 即OG=-2OF,可得O为FG上靠近点F的三等分点，易知S△A0c=3S△4GC=3×2S△ABC=S△ABC, 即S△A0C:S△4BC=1:6,故D为真命题. B 图1 图2 图3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.我国古代数学有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百.用 分层随机抽样的方法从这三个乡中抽出00人服役，则西乡抽人. 【答案】200 500 1 【解折】由题意得9000×8100+900+5400=9000×45=200. 第7页，共14页 13.已知在三棱锥P-ABC中，AC=v2,BC=1,AC⊥BC且PA=2PB,PB⊥平面ABC,则 其外接球体积为」 【若案1号 【解析】AB=√AC+BC2=V3,设PB=h,则由PA=2PB,可得vV3+h2=2h,解得h=1, 可将三棱锥P-ABC还原成长方体，则三棱锥P一ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径 为R,则2R=VP+W@+=2,R=1,所以其外接续的体积V=智心-智. 14.如图，在空间四边形OABC中，2BD=DC,点E为AD的中点，设OA=a,OB=万，OC=C, OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，则试用向量d,b,C表示向量 OE=:OE.AC= 0 A ◇ 1 【答案】 2+ 6+c;-8 Γ3 【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积运算，空间向量基本定理，属于中档题 由空间向量的线性运算，结合图形，利用数量积的运算律，可得答案. 【解答】 解：因为2BD=DC,所以BD=BC, 3 又因为E是AD的中点，所以A正=AD, 所以0E=0+A正=O+AD -0A+(AB+BD) =0A+号oB-0A+BC =0A+50B-0+30C-0 第8页，共14页 =oi+oi+o0=++, 因为AC=OC-OA=-a+元， a.=|db1cos∠AOB=6, d.c=|c1cos∠AOC=8, B.=llcl cos ZBOC =6, 所以oC=京++言)-（←元+） =司a+.t-.万+都.t-a+信 4,88 =-8+4-2+2-3+3=-3 斧家为：++： 1 8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题13分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,向量元=(a,√3b),向量元=(cosA,sinB),且元/元. (1)求角A; (2)若a=V7,b=2,求△ABC的面积， 【答案】解：(1)向量元=(a,V3b),向量元=(cosA,sinB), 因为元/元，所以a sin B-V3 bcos A=0, 由正弦定理，得sin Asin B-V3 sin B cos A=0, 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 则tanA=V3,又A∈(0，π)， 所84= (2)若a=V7,b=2, 由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA, 即7=4+c2-2c, 解得c=3或c=-1(舍去)， 所以△ABC的面积S= besin A=3V3 2 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第9页，共14页 16.(本小题15分) 已知复数z=m2-m-2+(m-2)i,m∈R,其中i为虚数单位. (1)若z是纯虚数，求实数m的值 (2)若m=3,2是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根，求a+b的值 【答案】(1)若x是纯虚数， m2-m-2=0解得m=-1: m-2≠0. (2)当m=3时，z=4+i,因为2是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根， 所以元=4-i也是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根， 所以z+乏=-a=4+i+i=8,之·元=b=(4+i)(4-)=17,即a=-8,b=17,故a+b=9. 【解析】略 17.（本小题15分) 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用 分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数： (2)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为 多少分： (3)己知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在[60,80)内的平均成绩是73，方差是29，求落在 [70,80)内的平均成绩和方差. (附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m,1,s;n,心2，s,记两组数据总 体的样本平均数为0，则总体样本方差g2=ms+(国1一四门+1号+(2-0门. m+n m+n 4频率 组距 003“ 0.025 0.015 0.01 0.005 405060708090100成绩/分 【答案】解：(1)一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05， 所以平均数估计为： 第10页，共14页 45×0.10+55×0.15+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=71. 由图可知，众数为75，以样本估计总体， 该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分： (2)前4组的频率之和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.70<0.90， 前5组的频率之和为0.70+0.25=0.95>0.90， 所以第90%分位数落在第5组，设为x, 则0.70+(x-80)×0.025=0.90, 解得x=88, 所以“防溺水达人”的成绩至少为88分： (3)[60,70)的频率为0.15，[70,80)的频率为0.30， 0.15 1 所以60,70)的频率与[60,80)的频率之比为0.15+0.30-3' 0.30 2 70,80)的频率与60,80)的频率之比为0.15+0.30=3' 设[70,80)内的平均成绩和方差分别为2，s2,， 2 依题意有73=3×67+3×2，解得四=76， 29-专×9+6G7-78月+号×号+(6-9，解得号-=12. 所以[70,80)内的平均成绩为76，方差为12. 【解析】本题主要考查了分层随机抽样的方差，分层随机抽样的样本均值，百分位数、平均数、众数、中 位数的概念，属于中档题. (1)在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点， 据此求解. (2)依题意可知题目所求是第90%分位数，先判断第90%分位数落在哪个区间再求解即可； (3)先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 18.（本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB=a. 第11页，共14页 A ::2D (1)求四棱锥P-ABCD的表面积： (2)求点C到平面PBD的距离. 【答案】(1)易知CD⊥PD,CB⊥PB,则四棱锥P-ABCD的四个侧面均为直角三角形，且S△PAB =S APAD=.S△PBC=S△P00Via=9.放 2 ⑧典2x2士22x2+0=2+V20②因为AC的中点在BD上，所以点C到平面PBD的 距离与点A到平面PBD的距离相等.由VP-ABD=VA-PBD,得点C到平面PBD的距离 d= 30. 【解析】略 19.（本小题17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/BC,AD⊥CD,且AD=CD=V2, BC=2V2,PA=2. p (1)取PC的中点N,求证：DN/平面PAB; (2)求直线AC与PD所成角的余弦值： (3)在线段PD上，是否存在一点M,使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°？如果存在，求出BM与 平面MAC所成角的大小：如果不存在，请说明理由， 【答案】解：取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON, 则AD兰CE,四边形ADCE为平行四边形，又AD⊥CD,AD=CD, 则口ADCE为正方形，AC⊥DE,O为AC的中点，OA=OD=OC=OE=1, 又点N为PC中点，则NO/∥PA,又PA⊥平面ABCD,则NO⊥平面ABCD, 建立如图所示的空间直角坐标系， 第12页，共14页 ò M A D B E A(0,-1,0),B(2,-1,0),C(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,-1,2), (1)证明：PC中点N(0,0,1), .D=(1,0,1), 设平面PAB的法向量为元=(x,,2),由AP=(0,0,2),AB=(2,0,0), 可得：一个法向量元=(0,1,0)，.D.元=0， DN4平面PAB,.DN∥平面PAB. (2)AC=(0,2,0),PD=(-1,1,-2), 设直线AC与PD所成角a, 2 V6 ∴.cosa= 2.6=6 故直线AC与PD所成角的余弦值为 6 (3)假设存在M点使得平面MAC与平面ACD的夹角为45°， 设M(c,,)及P7=PD0<入<1)， x=一入 y+1=入→M(-入，入-1,2(1-)， 之-2=-2λ 设平面ACM的法向量为元=(x,y,2), 由AC=(0,2,0),A7=(-入，入，2(1-)， 由 AC元=0，可得一个法向量元=2-2以，0，川， A.元=0 第13页，共14页 平面ACD的一个法向量为元=(0,0,1)， .lcos<元，元> 1·VA2+(2-2A)2 ÷V2以=V5-以+4，解得X- 2 M333) 212 822 2 故存在M点， 设BM与平面MAC所成角为0， 1 1 ∴.sin0= cos<B7,元>= 9=2 22 .22 3 0= 6· 故BM与平面MAC所成角为6· 【解析】本题考查利用空间向量研究立体几何中的问题，属于中档题 取BC的中点E,连接DE,交AC于点O,连接ON,则AC⊥DE,NO⊥平面ABCD,以A为原 点，建立空间直角坐标系O-xy之. (1)计算D示和平面PAB的法向量，利用向量法求证即可： (2)利用向量的夹角公式计算异面直线所成的角： (3)假设存在点M符合题意，根据二面角、线面角的向量求法计算即可. 第14页，共14页